J149 - Figure obligée.
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons.
Q1 Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q2 Démontrer qu'à l'inverse pour n = 2017, il existe au moins une configuration dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Un parallélogramme est formé lorsque deux de ses sommets, séparés par k cases (vides ou occupées), sont situés dans une colonne, et que ses deux autres sommets, situés dans une autre colonne, sont également séparés par le même nombre k de cases (on peut évidemment appliquer le même raisonnement en remplaçant « colonne » par « ligne » ).
-Q1 : k peut prendre 2017 valeurs distinctes de 0 à 2016.
Supposons d’abord que les 2018 jetons soient répartis à raison de 2 par colonne. D’après le principe des tiroirs, puisqu’il y a 2018 colonnes et 2017 k distincts, deux colonnes auront le même k, et donc chacune aura deux jetons séparés par le même nombre de cases vides, formant ainsi un parallélogramme.
Si une colonne a k>2 jetons, ils sont séparés deux à deux par C(k,2) cases vides, ce qui condamne à interdire d’un coup les mêmes intervalles dans C(k,2) autres colonnes, et entraîne la formation d’un parallélogramme encore plus vite que dans le cas précédent.
-Q2 : numérotons les colonnes de C1 à C2018 , et les lignes de L1 à L2018 , aucun parallélogramme ne sera formé en plaçant :
2018 jetons sur L1 .
1 jeton sur l’intersection L2 /C1 1 jeton sur l’intersection L3 /C2 ………
1 jeton sur l’intersection L2018 /C2017
On a ainsi placé 2018+2017 jetons sans former aucun parallélogramme.
Le principe est illustré par la figure « obligée » ci-dessous : dans une grille 5x5 sont disposés 9 jetons sans former aucun parallélogramme. Mais un dixième jeton créerait un parallélogramme.
