TD 22 : Topologie

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http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_topologie.pdf

TD 22 : Topologie

Pour le vendredi 18 mars

Ouverts et fermés

Exercice 1.Démontrer que l’ensembleA=©

(x,y)∈R²|yÊ0 etx²+y²É1ª

est un fermé deR²^. Exercice 2.Démontrer que l’ensembleU=©

(x,y)∈R²|x²>yª

est un ouvert deR².

Exercice 3.Démontrer que l’ensembleA={P∈R3[X]|P(0)+P(1)=1} est un fermé deR3[X].

Continuité

Exercice 4.Étudier la continuité des fonctions définies surR²^{par :}

f(x,y)= x y

px²+y² si (x,y)̸=(0, 0) 0 si (x,y)=(0, 0)

g(x,y)= x²−y²

x²+y² si (x,y)̸=(0, 0) 0 si (x,y)=(0, 0)

Exercice 5.Démontrer que l’application

f : Mn(R) → R A=(a_{i j}) 7→

Xn i=1

Yn j=1

a_{i j}

est continue.

Continuité et applications

Exercice 6.Démontrer que la fonctionf : (x,y)7→x y+x+yadmet un maximum sur l’ensemble : A=©

(x,y)∈R²|0ÉyÉ1,yÉxetyÊx−1ª

Exercice 7.Dans l’espaceMn(R), on considère l’ensembleSconstitué des matricesA=(ai j) qui vérifient les deux conditions suivantes :

(i) ∀i,j∈ 1,n,ai jÊ0 ; (ii) Au=uavecu=

µ₁

... 1

¶

∈Rⁿ.

Démontrer queSest un ensemble convexe, fermé et borné deMn(R). Démontrer qu’il existe des matricesM1,M2∈Stelles que :

∀A∈S, tr(M₁)Étr(A)Étr(M₂)

Exercice 8.SoientEun espace vectoriel normé de dimension finie,K une partie fermée et bornée deEetf :K→K telle que :

∀x,y∈K,x̸=y ===≻ °

°f(x)−f(y)°

°<°

°x−y°

°

Démontrer que l’équationf(x)=xpossède une unique solution dansK.

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TD 22 : Topologie

Indications

Ex 1. Utiliser l’une des méthodes du cours (plusieurs possibilités).

Ex 4. Méthodes du cours.

Ex 7. Méthodes du cours pour convexe, fermé et borné. Justifier que l’application tr est continue et utiliser le théorème concernant les fonctions continues sur un fermé borné.

Ex 8. Procéder en deux temps, existence et unicité. L’unicité est facile. Pour l’existence, considérer g:x∈K7→ ∥f(x)−x∥et s’intéresser à l’existence d’un minimum pourg.