G154 : L'énigme du polyèdre.
Énoncé : J’ai fabriqué la maquette d’un polyèdre régulier qui comporte n faces que je numérote de 1 à n. Je lance ce polyèdre à la manière d’un dé et je note le numéro de la face sur laquelle il repose sur la table.La probabilité d’obtenir un numéro quelconque est la même pour tous les numéros.Je constate qu’après de très nombreux lancers, il faut un nombre moyen de lancers voisin de 72 pour obtenir au moins une fois tous les entiers de 1 à n.
Comment s’appelle ce polyèdre ?
Rappel : Loi géométrique : On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p. On s'intéresse à la variable aléatoire X du nombre d'itérations effectuées avant (au sens large) le premier succès.
On a l'espérance : E(X)=1/p , i.e. il faut itérer en moyenne 1/p fois l'expérience avant d'obtenir un succès.
Revenons-en donc à notre polyèdre :
Il faut lancer 1=nn fois ce polyèdre pour obtenir un premier nombre.
De plus, après avoir obtenu k nombres différents, la probabilité d'obtenir un nombre différent de ces k nombres est n−k
n , il faut donc lancer le polyèdre en moyenne n
n−k fois supplémentaires avant d'obtenir un nombre différent des k précédents.
Par récurrence, il faut donc lancer le polyèdre n n n
n−1⋯n
1=n×
∑
k=1 n
1
k fois.
Cette suite est croissante et vaut environ 72 pour n=20.
Notre polyèdre est donc un icosaèdre.
