E127. Pérégrinations en milieu hostile
Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = kn en est exclu.
L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k = 2 (http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).
Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".
Q1 Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.
Q2 Déterminer le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9 et 11.
Q3 Déterminer le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11.
SOLUTION
Q
1 De manière assez intuitive, 𝑛% doit être un multiple de PPCM(2, 4, 6, 8, 10)=120.Or, on constate que 120 convient. Donc 𝒏𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 .
Q
2 De la même manière, 𝑛- doit être un multiple de PPCM(3, 5, 7, 9, 11)=3 465.Or, on constate que 3 465 et 6 930 ne conviennent pas car il ne sont pas 3-hostiles.
Ainsi, on a 𝒏𝟐= 𝟏𝟎 𝟑𝟗𝟓 .
Q
3 Enfin, 𝑛2 doit être un multiple de PPCM(𝑛% ; 𝑛-) = 83 160.Et 83 160 convient. Donc 𝒏𝟑 = 𝟖𝟑 𝟏𝟔𝟎 .
Complément En posant 𝑎 = 83 160, les 50 premiers entiers à être 𝑘-hostiles pour 𝑘 ∈ ⟦2 ; 11⟧ sont : 𝑎 × {1, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107,109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 221, 223}.
On serait donc tenté de penser que cette liste (divisée par 𝑎) est constituée exclusivement de tous les nombres premiers supérieurs à 12 et de certaines puissances des nombres premiers supérieurs 2 (comme 25, 49, 81, 121 et 169, les cubes semblant exclus…).
Mais il n’en est rien, car 𝟐𝟐𝟏 = 𝟏𝟑 × 𝟏𝟕 !
En page 2, le programme Python permettant de trouver la liste des entiers 𝑘-hostiles pour 𝑘 ∈ ⟦2 ; 11⟧.
Il trouve les 10 premières valeurs en 41 secondes…
