E127 - Pérégrinations en milieu hostile

Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = k.n en est exclu.

L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k

= 2 (http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).

Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".

Q₁ Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.

Q₂ Déterminer le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9,11.

Q₃ Déterminer le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11

En base k, l’ensemble S(k) contient tous les nombres dont l’écriture ne se termine pas par un zéro ; puis ceux se terminant par deux zéros, puis quatre, etc... L’écriture d’un nombre k-hostile en base k se termine par un nombre impair de zéros : il est donc divisible par k sans l’être par k

, ou par k

sans l’être par k

, etc...

Q

: 120, ppcm de 6, 8 et 10, convient puisque divisible par 4 et 2

, et non par 4

=2

. Q

: le nombre cherché doit être divisible par 9 (et pas par 81) et par une puissance impaire de 3, donc par 27 : le nombre cherché est 27*5*7*11=10395

Q

: le nombre cherché doit avoir les mêmes facteurs impairs que le précédent et divisible par une puissance impaire de 2, 4 et 8 soit 8*10395=83160.

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