cours fonctions polynômes-second degré

Ch...: Fonctions polynômes et second degré

Jusqu'à présent, on ne savait résoudre que des équations du premier degré à une inconnue et certaines du second degré, celles de la forme x² = a (a un réel positif) en troisième. Nous allons dans c chapitre approfondir l'étude des fonctions de différents degré en s'intéressant plus particulièrement aux fonctions du second degré.

I- Fonctions polynômes:

1) Notion de fonction polynôme:

Dire qu'une fonction définie sur ℝ est une fonction polynôme, signifie qu'il existe des réels a0, a1...an ( avec n entier naturel) tels que pour tout réel x:

fx=a_nxⁿa_n−1xⁿ⁻¹...a₁xa₀

Remarque: une fonction de la forme fx=x^k (avec ∈ℝ, k∈ℕ ) est appelée fonction monôme. Une somme de telles fonction est appelée fonction polynôme.

Exemples: Les fonctions suivantes sont-elles polynômes ? fx=3x³−5x3, gx=0,hx=1

x .

2) Degré d'une fonction polynôme:

Un polynôme non nul f peut s'écrire de façon unique sous la forme:

fx=a_nxⁿa_n−1xⁿ⁻¹...a₁xa₀ avec a_n≠0 . On dit alors que:

➢ l'entier naturel n représente le degré du polynôme f;

➢ les réels a0; a1,...,an sont les coefficient du polynôme f;

➢ a_px^p (avec p compris entre 0 et n) est le terme de degré p du polynôme f.

Exemples: Déterminer le degré des polynômes suivants:

Px=x⁴5x²4,Qx=2x²−7x1,Rx=x³−6 .

3) Égalité de deux polynômes:

Propriété 1 (admise)

Deux polynômes non nuls sont égaux si et seulement si ces polynômes ont le même degré et les coefficients de leur termes de même degré deux à deux égaux.

Exercice: f est le polynôme défini par fx=4x³2x²−2x−1 .

a) Démontrer que pour tout réel x, f(x) = (2x + 1)(ax² + bx + c) où a, b, c sont des réels à déterminer.

b) Résoudre l'équation f(x) = 0.

...

II- Fonction trinôme du second degré:

1) Notion de trinôme:

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur ℝ de la forme:

P(x) = ax² + bx + c (où a, b et c sont des réels) L'expression ax² + bx + c est également appelée ...

Exercice: Démontrer que si deux fonctions polynômes sont égales alors leurs coefficients sont égaux.

Soient deux fonctions polynômes P(x) = ax² + bx + c et Q(x) = a'x² + b'x + c'.

Si P(x) et Q(x) sont égales alors ... (1) Donc déjà, c = c' si x = 0.

L'égalité (1) devient donc ...

Avec x = 1 puis x = - 1, on obtient donc un système (S):

Ajouter membre à membre et en déduire que 2a = 2a' et que 2b = 2b'.

Donc ici a =a' et b = b'. Les coefficients de P et Q sont bien égaux.

2) Forme canonique:

Pour tout trinôme du second degré ax² + bx + c (avec a non nul), on peut trouver deux réels  et  tels que:

∀x∈ℝ, ax²bxc=ax−² . L'écriture ax−² est appelée...

Démonstration: Soit le trinôme P(x) = ax² + bx +c

● Comme a est non nul, on peut le mettre en facteur dans les deux premiers termes puis on fait apparaître le début d'une identité remarquable:

● On développe partiellement pour extraire la dernière partie de l'identité remarquable hors du développement puis on met au même dénominateur:

● Poser  et  puis conclure.

...

Exemple: Mettre f(x) = 2x² + 12x – 6 sous forme canonique.

Étape 1: Mettre le coefficient de x² en facteur dans 2x² + 12x:...

Étape 2: Transformer l'expression entre parenthèses pour faire apparaître le début d'une identité remarquable. ...

Étape 3: Développer partiellement pour retomber sur la forme du trinôme.

3) Courbe et sens de variation:

Soit fx=ax²bxca≠0 . De la forme canonique, on déduit que la courbe de f est la translatée de la parabole d'équation y = ax² par la translation de vecteur u; où =−b

2a . Il s'agit donc aussi d'une parabole. En repère orthogonal, elle possède un axe de symétrie appelé axe de la parabole.

La courbe C d'équation y = ax² + bx + c représentant la fonction f(x) = ax² + bx + c est une parabole de sommet d'abscisse −b

2a .

La courbe C d'équation y = ax² + bx + c représentant la fonction f(x) = ax² + bx + c est une parabole de sommet d'abscisse −b

2a .

x −∞ −b

2a ∞

f(x) = ax²+ bx + c

x −∞ −b

2a ∞

f(x) = ax² + bx + c

Démonstration: Soit f(x) = ax² + bx +c.

Comme ax²+ b +c = a(... )² +... , la courbe C d'équation y = ax² + bx + c est l'image de C': y = ax² par la translation de vecteur  i j . Elle a la même orientation que C' (vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0). Son sommet est le translaté du sommet O de C', il a donc pour abscisse =... . On en déduit de même son axe de symétrie en repère orthogonal.

● La fonction fx=ax−² a le même sens de variation que la fonction gx=ax−² . Or g est la composée de u(x) = ... suivie de la fonction v(x) = ... .

La fonction u est strictement croissante sur ℝ ; v a le même sens de variation que la fonction carré si a > 0, le sens de variation contraire si a... .

En composant, on obtient les variations de f.

Exercice: Utiliser les variations d'une fonction trinôme.

On cherche parmi les rectangles de périmère 8 celui d'aire maximale. Soit x l'un des côtés.

1. Exprimer l'aire A(x) du rectangle en fonction de x et préciser l'ensemble de définition de A.

2. Donner les variations de A; en déduire le rectangle d'aire maximale.

...

III- Équations du second degré:

1) Résolution:

Il s'agit de résoudre une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a non nul.

Ses solutions, si elles existent, sont appelées ... du polynôme ax² + bx + c.

Démonstration:

On a montré que ax²bxc=ax b

2a²−b²4ac

4a par la forme canonique.

Ainsi, ax² + bx + c = 0 équivaut à ce que ...

Poser =b²−4ac . Donc on a bien x b

2a²= 

4a² . Examinons ensuite 3 cas:

● 1er cas: si 0 , comme 4a² > 0, alors 

4a²... 0. Donc l'équation x b

2a²= 

4a² n'a pas de solutions réelles (mais 2 solutions complexes conjuguées)

● 2ème cas: Si =0 alors x b

2a²=0 donc x = ...

● 3ème cas: Si 0 , comme 4a² > 0, on a aussi 

4a²... 0. Dans ce cas, x b

2a²= 

4a² équivaut à ce que x b

2a=... ou .. c'est-à-dire à x =... ou x =...

D'où la propriété suivante:

On considère l'équation ax² + bx + c = 0 (où a non nul) et le nombre =b²−4ac appelé discriminant du trinôme ax² + bx + c.

➢ Si 0 , alors l'équation ...

➢ Si =0 , alors l'équation ...

➢ Si 0 , alors l'équation ...

Exemples:

Résoudre les équation suivantes:

a. x² + 2x = 0 b. 2x² – 16 = 0 c. 2x² – 3x – 5 = 0 d. x⁴x²−2=0 . ...

2) Interprétation graphique:

Selon que le trinôme possède 0, 1 ou 2 racines, la parabole le représentant coupe ou non l'axe les abscisses.

On a donc 6 allures possibles suivant les signes de a et de  pour la parabole d'équation y = ax² + bx + c.

Si 0 , aucune racine Si =0 , une seule

racine. Si 0 deux racines x1

et x2

Si a > 0; la parabole est tournée vers le...

Si a < 0, la parabole est tournée vers le ...

IV- Factorisation et signe du trinôme:

1) Factorisation d'un trinôme du second degré:

Il s'agit ici de factoriser le trinôme en un produit de deux polynômes de degré 1.

Démonstration:

● Si 0 , de la forme canonique, on déduit que ax²bxc=a[x b

2a²− 

4a²] d'où la factorisation selon l'identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b) suivante: ...

- Si 0 , on a ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2) où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c.

- Si =0 , on a ax² + bx + c = ... soit a(x – x1)² où x1 =... est l'unique racine.

● Si 0 ; supposons que ax² +bx + c se factorise par un polynôme de degré 1 de la forme mx + p (m non nul). On aurait alors ax² + bx + c = (mx + p)(g(x)) où g(x) serait un autre polynôme.

Dans ce cas, ax² + bx + c s'annulerait comme mx + p, en ... qui serait donc une solution de l'équation ax² + bx + c =0. Or pour 0 , cette équation n'a pas de solution réelle. Il est donc impossible que ax² + bx + c se factorise selon un polynôme de degré 1.

D'où la propriété:

Soit ax² + bx + c avec a non nul, un trinôme du second degré et  sont discriminant.

➢ Si 0 , ax² + bx + c = a(... )( ... ) où x1 et x2 sont les racines du trinôme.

➢ Si =0 , ax² + bx + c = a (x – x1)²où x1 est l'unique racine (appelée aussi racine double).

➢ Si 0 , ax² + bx + c ne se factorise pas par un polynôme de degré 1.

Exemple: factoriser le polynôme -x² – x + 6.

...

2) Signe du trinôme du second degré:

● Si 0 , ax²bxc=ax b

2a²−

4a=a[x b

2a²− 

4a²] . Ce produit est du signe de a pour tout réel x puisque x b ²− 

reste toujours positif comme somme de deux nombres positifs.

● Si 0 , ax²bxc=ax−x₁x−x₂ . On peut donc dresser son tableau de signe en supposant que x1 < x2:

x −∞ x1 x2 ∞

Signe de x – x1 ... ... ...

Signe de x – x2 ... ... ...

Signe de (x – x1)(x – x2) ... ... ...

Signe de a(x – x1)(x – x2) Signe de a Signe opposé à celui de a Signe de a D'où la propriété:

Soit le trinôme ax² + bx + c avec a non nul.

➢ Si 0 , le trinôme a même signe que a pour tout réel x.

➢ Si =0 , le trinôme a m^me signe que a pour tout x mais s'annulant en ...

➢ Si 0 , le trinôme s'annule en deux réels distincts... et ... ; si x1 < x2, son tableau de signe est alors le suivant:

x −∞ x1 x2 ∞

Signe de ax² + bx + c Signe de a Signe de (-a) Signe de a

Remarque: le trinôme est positif sauf entre les racines.

Exemple: Dresser le tableau de signe du polynôme -x² – x + 6.

3) Inéquations du second degré:

Méthode:

Pour résoudre une inéquation du second degré:

(1) On résout l'équation associée ax² + bx + c = 0;

(2) On détermine le signe du trinôme ax² + bx + c à l'aide de la propriété ci-dessus;

(3) On déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Exemple: Résoudre dans ℝ l'inéquation 2x² – 3x – 5 < 0.