1.2 Exemples de suites d’ordre 1 et d’ordre 2

226 : – Suites vectorielles et r´ eelles d´ efinies par une relation de r´ ecurrence u _n+1 = f (u _n ) . Exemples. Applications ` a la r´ esolution approch´ ee d’´ equations.

1 Suites recurrentes

1.1 D´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es

D´efinition 1.Soit (E,d) un espace m´etrique et h∈N^∗. Une suite (un)n `a valeurs dans E est dit r´ecurrente d’ordre h si il existe une application f de E^H dans E tel que∀n≥h, un=f(u_n−1, u_n−2, ...un_h).

Proposition 2.Si (u_n)_n converge vers une limite l dans E et si f est continue en (l,l,...,l), alors on a l=f(l,l,...,l) (l est un point fixe de f )

Proposition 3.Soit I un intervalle de R et une fonction f de I dans R tel que I est f-stable. On consid`ere une suite(un)qui v´erifie :u0∈Iet∀n∈N, un+1=f(un).

— Si f est croissante, la suite (un) est monotone et son sens de monotonie est donn´ee par le signe de u1-u0

— Si f est d´ecroissante, la fonction f o f est croissante et les suites(u2n) (u2n+1) sont monotones, et leur sens de monotonie est oppos´e.

Exemple 4.La suite d´efinie par u0 ∈[−π 2,π

2] et un+1 = sin(un) est convergente vers 0.

1.2 Exemples de suites d’ordre 1 et d’ordre 2

Exemple 5.Suite arithm´etique :u0∈Retf(x) =x+q. Alorsun =u0+nq.

Exemple 6.Suite g´eom´etrique :u₀∈Retf(x) =ax. Alorsu_n=u₀aⁿ. On donne aussi la formule de la progression g´eom´etrique : S_n=

n

X

k=0

u_k=u₀1−aⁿ⁺¹

1−a →

n→+∞0 si|a|<1.

Exemple 7.Suite arithm´etico-g´eom´etrique. u0 ∈ R et f(x) = ax+b. La suite converge versl= b

1−a sia6= 1. Et la suite (un−l)n est g´eom´etrique de raison a.

Exemple 8.Suite hom´eographique

Th´eor`eme 9.Soit (un)n d´efinit par u0 et u1 donn´e, et un+2 =aun+1+bun. On pose ∆ =a²+ 4b, discriminant de l’´equation caract´eristique^r2−ar−b= 0.

— Si ∆ 6= 0, en notant r1 etr2 les solutions de l’´equation caract´eristique, on `a un=Arⁿ₁ +Br₂ⁿ.

— Si ∆ = 0, en notantr= ^a₂ la solution double de l’´equation caract´eristique, on

`

aun=rⁿ∗(An+B).

Exemple 10 (Fibonnaci).La suite de Fibonnaci est d´efinie par F0 = 0,F1 = 1, puisFn+2=Fn+1+Fn. On a une expression pour tout n :Fn= 1

√

5((1 +√ 5 2 )ⁿ− (1−√

5 2 )ⁿ)

1.3 D´ eveloppement asymptotique et vitesse de convergence

D´efinition 11.Soit (un)n une suite convergente vers l. Quitte `a consid´erer|un−l|, on s’int´eresse `a la vitesse de convergence d’une suite (un)n positive qui tend vers 0.

— Une telle suite converge g´eom´etriquement vers 0 siu_n =o(kⁿ), avec 0< k <1.

— Une telle suive converge lentement vers 0 si elle est minor´ee par une suite Cste n^α avecα >0

Proposition 12.SoitPun etPvn deux s´eries `a termes g´en´eraux positifs, tel que un ∼vn.

— Si Pu_n converge,Pv_n converge et les restes v´erifient

∞

X

k=n

u_k ∼

∞

X

k=n

v_k.

— SiP

un diverge,P

vndiverge et les sommes partielles v´erifient

u

X

k=0 k ∼

n

X

k=0

vk.

Application 13. Soit f une application continue d´efinie au voisinage de 0⁺ admettant un d´eveloppement asymptotique en 0 de la forme f(x) = x−ax^α+o(x^α), o`u a > 0 et α > 1. Alors pour u₀ >0 assez pe- tit, la suiteud´efinie paru_n+1=f(u_n)pourn∈Nv´erifieu_n ∼ ¹

(na(α−1))^α−11

. Application 14. Soit (u_n)_n∈N la suite d´efinie par u₀ ∈] − 1,+∞[ et, pour tout n ∈ N, un+1 = ln(1 +un). Alors on a le DA2 suivant : un =

2

n+2 ln(n) 3n² +o

lnn n²

.

Application 15. un+1=sin(un)

2 Point fixe

2.1 Th´ eor` eme de point fixe et applications

Th´eor`eme 16. Soit (E,d) un espace complet et f : E → E une application k- contractante. Alors f admet un unique point fixe et toute suite d´efinie par u0 ∈ E puisun+1=f(un)converge vers ce point fixe

Remarque 17.Si f^rest contractante (r >0), on `a le mˆeme r´esultat.

Application 18 (Th´eor`eme de Cauchy-Lipchitz). Soit I un intervale de R, F : I×R<sup>d</sup>. On consid`ere le probl`eme de Cauchy :

Y⁰(t) =F(t, Y(t)))∀t∈I

Y(0) =Y0∈I (1)

. Si l’application F est continue et localement lipschitzienne par rapport `a la seconde variable, alors il existeJ ⊂I tel qu’il existe dans J une unique solution de1.

2.2 Etude des points fixes dans le cas r´ eel d’ordre 1

Exemple 19.Faire un dessin en annexe des premiers termes d’une suite d´efinie par u0∈Ietun+1=f(un) qui converge versαpoint fixe de f. Tracer les 3 cas suivants :

>1⁰(α)>0 et 1>⁰(α)<0 etf⁰(α)>1.

Proposition 20.Soit α un point fixe de f C¹ de R dans R. Il est dit attractif si

|f⁰(α)|<1. Dans ce cas, il existe un intervalle I autour def(α)tel que toute suite d´efinie par u0∈I etun+1=f(un)converge vers ce point fixe.

Proposition 21. Soit α un point fixe de f C¹ de R dans R. Il est dit r´epulsif si

|f⁰(α)>1. Dans ce cas, il n’existe pas de suite non-stationnaire d´efinie par u0 ∈I etun+1=f(un)qui converge vers ce point fixe.

Proposition 22. On suppose que αest un point fixe attractif de f C¹(R,R). Dans ce cas si une suite d´efinie par r´ecurrence `a l’aide de f converge versα, on sait que la vitesse de convergence est g´eom´etrique de rapport |f⁰(α)|.

3 Application ` a la resolution approch´ ee d’´ equations

3.1 Recherche d’un z´ ero d’une fonction

Proposition 23.Le principe de la dichotomie. Vitesse de convergence lin´eaire.

Th´eor`eme 24(M´ethode de Newton). Soitf : [c, d]→Rde classeC<sup>2</sup>. On sup- pose que f(c) <0 < f(d) etf<sup>0</sup>(x)>0 sur [c, d]. On consid`ere la suite d´efinie par r´eccurence :x0∈[c, d],xn+1=F(xn)o`u F :t7→t− f(t)

f⁰(t). Alors :

— Faire un dessin en ANNEXE.

— f admet un unique z´ero sur[c, d]. Il existeα >0tel que[a−α, a+α] =Isoit F- stable et que∀x0∈[a−α, a+α] =I, la suite(x_n)_n converge quadratiquement vers a.

— Si de plus f⁰⁰(x) > 0 sur [c, d], alors le r´esultat pr´ec´edent est valable pour I = [a, d], et de plus (xn)n est d´ecroissante (ou constante) vers a et on `a l’´equivalent :x_n+1−a∼ f⁰⁰(a)

2f⁰(a)(x_n−a)².

3.2 R´ esolution de syst` eme lin´ eaire (ALLAIRE)

D´efinition 25. — On s’int´eresse `a la r´esolution du syst`eme lin´eaireAx=b. On appelle d´ecomposition r´eguli`ere de A tout couple de matrice (M,N) avec M inversible tel queA=M−N.

— La m´ethode it´erative li´e `a cette d´ecomposition est : x₀ ∈ Rⁿ et M x_k+1 = N x_k+b.

— La m´ethode est dite convergente si∀x0 ∈ Rⁿ, la suite xk converge vers une limite x. Dans ce cas, cette limite est alors solution du syst`eme Ax = b. La m´ethode est convergente si, ∀x0 ∈ Rⁿ, rk = b−Axk converge vers 0 (ou ek =x−xk converge vers 0).

Th´eor`eme 26.Une m´ethode it´erative est convergente ⇐⇒ ρ(M⁻¹N)<1.

Th´eor`eme 27 (M´ethodes it´eratives usuelles). — M´ethode du gradient `a pas fixe : M = ^I_α et N= _α^I −A. On a doncxk+1=xk+α(b−Axk).

— M´ethode de Jacobi :M =D la diagonale de A et N=D−A.

— M´ethode de Gauss-Seidel :M =D−E etN=F o`u -E est la partie inf´erieure stricte triangulaire de A, -F la partie sup´erieure stricte triangulaire.

Lemme 28 (In´egalit´e de Kantorovitch).Soit A∈ S_n⁺⁺(R), alors ∀x∈ Rⁿ,< Ax|x >< A⁻¹x|x >≤ 1

4

(λ_max+λ_min)² λmaxλmin

Th´eor`eme 29 (Algorithme du gradient `a pas optimal).Objectif : On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire de taille n :Ax=b, avec A∈S_n⁺⁺(R).

— Ce syst`eme admet un unique minimum x<sup>∗</sup>. x est solution de ce syst`eme ⇐⇒ x^∗ est l’unique minimum de la fonctionnelle

Φ Rⁿ→ R

x7→ ¹₂< Ax|x >−< b|x >

— L’algorithme suivant :x0∈Rⁿ,r0=Ax0−b, puisxn+1=xn+αkrk, rk+1 = rk −Aαkrk, αk = ||rk[||²

< Ar_k|rk > fournit une suite (xk)k qui v´erifie :||xk−x^∗|| ≤C(λmin−λmax

λ_min+λ_max)^k, et qui converge donc bien vers x^∗.

3.3 Recherche de valeurs propres

Th´eor`eme 30(M´ethode de la puissance).Objectif : trouver la plus grande va- leur propre en valeur absolue de A : |λ₁| ≤... ≤ |λ_n| L’algorithme est le suivant : x₀∈Rⁿ, avec ||x₀= 1puis y_k =Ax_k+1 etx_k= _||y^yk

k||.

Si A est diagonalisable, avecB = (e1, ...en)une base de vecteur propre, si la valeur propreλn est simple et positive, et si le coefficient devanten dans la d´ecomposition dans la base B de x0 est non-nul, alors la m´ethode converge : xk →

k→+∞ ±en et

||yk|| →

k→+∞|λn|

Remarque 31.En appliquant la m´ethode `a la matrice A⁻¹, on est capable de trouver la plus petite valeur propre en valeur absolue.