COURSM1PROBABILITÉS HuayiCHEN

Huayi CHEN

COURS M1 PROBABILITÉS

Université Grenoble Alpes, Institut Fourier (UMR5582), 38402 Saint Martin d’Hères, France.

E-mail : [email protected]

CHAPITRE 1

VARIABLES ALÉATOIRES

1.1. Espaces mesurables et variables aléatoires

1.1.1. Tribus et espaces mesurables. — Soit Ω un ensemble non-vide.

On appelle tribu sur Ωtoute famille F de sous-ensembles de Ωqui vérifie les conditions suivantes :

(1) ∅∈ F,

(2) siAest un élément deF, alors il en est de même deA^c, le complémenatire de A dansΩ,

(3) si (A_n)n∈N est une famille dénombrable d’éléments de F, alors S

n∈NA_n est un élément de F.

Le couple(Ω,F)est appelé un espace mesurable. Rappelons que les conditions (2) et (3) impliquent que, si(A_n)n∈N est une famille dénombrable d’éléments de F, alors leur intersection T

n∈NAn appartient à F.

SiF etF⁰ sont deux tribus sur Ω telles queF⁰ ⊂ F, on dit que F⁰ est une sous-tribu de F.

Exemple 1.1.1. — (1) SiΩest un ensemble non-vide, alors la familleP_Ω de tous les sous-ensembles de Ωest une tribu surΩ.

(2) Si Ω est un ensemble non-vide, (F)i∈I est une famille de tribus sur Ω, alors T

i∈IF_i est une tribu sur Ω. En particulier, si A est une famille de sous-ensembles de Ω, alors l’intersection de toutes les tribus contenant A est une tribu surΩ, appelée la tribu engendrée parA, notée commeσ(A).

(3) SoientE un espace topologique et T la famille des sous-ensembles ouverts de E. La tribu engendrée par la famille T est appelée la tribu borélienne sur E, notée commeB(E).

Soit(Ω,F)un espace mesurable. Les éléments deΩsont appelés destrajec- toires. Les éléments dans la tribu F sont appelés des événements de l’espace mesurable (Ω,F). En particulier, l’ensemble vide ∅ est appelé l’événement impossible et le sous-ensemble total Ωest appelé l’événement sûr.

SoientΩun ensemble non-vide etAune famille de sous-ensembles deΩ. On dit queA est un π-système si l’intersection de deux éléments de Aappartient encore à A. On dit que A est un λ-système si les conditions suivantes sont vérifiées :

(1) Ω∈ A;

(2) si AetB sont deux éléments de Atels queA⊂B, alorsB\A∈ A; (3) si (A_n)_n>0 est une suite d’éléments de A telle que A₀ ⊂ A₁ ⊂ A₂ ⊂. . .,

alors la réunion des A_nappartient à A.

Proposition 1.1.2. — Soient Ω un ensemble non-vide et F un famille de sous-ensembles de Ω. Si F est un λ-système et un π-système, alors il est une tribu.

Démonstration. — CommeF est unλ-système, on a∅= Ω\Ω∈ F. De plus, pour tout A∈ A, on aA^c= Ω\A∈ F.

SoientAetB deux éléments deF. D’après ce que l’on a démontré plus haut, on aA^c∈ F etB^c∈ F. CommeF est unπ-système, on obtientA^c∩B^c∈ F et donc A∪B= (A^c∩B^c)^c∈ F. Par récurrence on peut montrer que la réunion d’une famille finie d’éléments deF appartient encore àF.

Soit (Bn)_n>0 une suite d’élément deF. Pour tout entier n> 0, soit An = S

06k6nB_k. La suite (A_n)_n>0 est croissante. En outre, on aA_n ∈ F quel que soit n∈N. On obtient alors que

[

n>0

An= [

n>0

Bn∈ F.

La proposition est donc démontrée.

Corollaire 1.1.3. — Soient Ω un ensemble non-vide, A un π-système et F un λ-système de sous-ensembles de Ω. Si F ⊃ A, alors F ⊃σ(A)

Démonstration. — Quitte à remplacer F par l’intersection des λ-systèmes contenantA, on peut supposer queF est le plus petitλ-système contenantA.

Il reste à montrer que F est unπ-système et donc est une tribu, compte tenu de la proposition précédente. SoitF₁ l’ensemble desB ∈ F tels que

∀A∈ A, A∩B ∈ F.

1.1. ESPACES MESURABLES ET VARIABLES ALÉATOIRES 3

C’est un λ-système contenant A, qui contient donc F. On obtient alors que, pour toutA∈ Aet toutB ∈ F on aA∩B ∈ F. SoitF₂ l’ensemble desB ∈ F tel que

∀A∈ F, A∩B∈ F.

C’est unλ-système contenantA. Donc il contientF. On obtient alors que, pour tousAetB dansF, on aA∩B ∈ F, c’est-à-dire queF est unπ-système.

1.1.2. Variables aléatoires. — Soient Ω un ensemble non-vide et (E,E) un espace mesurable. On appellevariable aléatoire surΩà valeurs dans(E,E) toute application de Ω vers E. On utilise l’expression X : Ω → (E,E) pour désigner l’énoncé

«X est une variable aléatoire surΩ à valeurs dans (E,E)».

SiX est une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans(E,E), on désigne par σ(X) l’ensemble {X⁻¹(A) : A ∈ E}. C’est une tribu sur Ω, appelée la tribue engendrée par la variable aléatoire X. SiF est une tribu sur Ω, on dit que la variable aléatoire X est F-mesurable si F ⊃ σ(X). On utilisera l’expression X: (Ω,F)→(E,E) pour désigner l’énoncé

«X est une variable aléatoire F-mesurable sur Ω à valeurs dans (E,E)».

Étant donné un espace mesurable (Ω,F), on convient que l’expression «va- riable aléatoire sur (Ω,F)» signifie une variable aléatoire sur Ω qui est F- mesurable.

Dans la suite du cours, l’expression «variable aléatoire» sans précision sur l’espace d’arrivé désigne une variable aléatoire à valeurs dans (R,B(R)).

Exemple 1.1.4. — Soit Ωun ensemble non-vide. Pour tout sous-ensemble A de Ω, on désigne par1l_A l’application de ΩversR définie comme

1l_A(ω) =

(1, siω ∈A, 0, siω 6∈A.

C’est une variable aléatoire sur Ω, appelée la fonction indicatrice de A. En outre, pour toute tribuF surΩ, cette variable aléatoire estF-mesurable si et seulement siA∈ F.

Soient (Ω,F), (Ω⁰,F⁰) et (Ω⁰⁰,F⁰⁰) trois espaces mesurables. Si X est une variable aléatoire surΩà valeurs dans(Ω⁰,F⁰)etf est une variable aléatoire sur Ω⁰à valeurs dans(Ω⁰⁰,F⁰⁰), on désigne parf◦Xouf(X)l’application composée de X avec f. C’est une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans (Ω⁰⁰,F⁰⁰). La

proposition suivante montre que la composition de variables aléatoires respecte la mesurabilité.

Proposition 1.1.5. — Soient(Ω,F),(Ω⁰,F⁰)et(Ω⁰⁰,F⁰⁰)trois espaces mesu- rables,X une variable aléatoire surΩà valeurs dans(Ω⁰,F⁰)etf une variable aléatoire sur Ω⁰ à valeurs dans (Ω⁰⁰,F⁰⁰). Si la variable aléatoire X est F- mesurable et si f estF⁰-mesurable, alors la variable aléatoire composée f(X) estF-mesurable.

Démonstration. — SiA est un élément deF⁰⁰, alors on a f⁻¹(A) ∈ F⁰ car f estF⁰-mesurable. On en déduit queX⁻¹(f⁻¹(A)) = (f◦X)⁻¹(A)∈ F puisque X est F-mesurable. La démonstration est donc achevée.

La proposition suivante montrer que, pour vérifier la mesurabilité d’une variable aléatoire, il suffit de tester les images réciproques d’une famille de sous-ensembles de l’espace d’arrivé qui engendre la tribu que l’on considère.

Proposition 1.1.6. — Soient (Ω,F) et (E,E) deux espaces mesurables. On suppose que la tribuE est engendrée par une familleAde sous-ensembles deE.

Alors toute variable aléatoire X : Ω→(E,E) estF-mesurable si et seulement si X⁻¹(A)∈ F quel que soit A∈ A.

Démonstration. — La nécessité est triviale. Montrons la suffisance. Soit E⁰ l’ensemble des parties A ⊂ E telles que X⁻¹(A) ∈ F. On vérifie facilement queE⁰ est une tribu surE qui contientA. CommeE est la tribu engendrée par A, on obtientE ⊂ E⁰ et donc la variable aléatoireX est F-mesurable.

Corollaire 1.1.7. — Soient M⁰ et M deux espaces topologique, et f :M⁰ → M une application continue. Alors l’application f est mesurable par rapport aux tribues boréliennes.

Démonstration. — Par définition, pour toute partie ouverteU deM, l’image réciproquef⁻¹(U) est une partie ouverte de M⁰, et donc appartient à la tribu borélienne deM⁰. D’après la proposition 1.1.6, on obtient quef est mesurable par rapport à la tribu boréliene deM⁰.

Proposition 1.1.8. — Soient (Ω,F) un espace mesurable et M un espace métrique. Soit (Xn)_n>0 une suite de varaibles aléatoires F-mesurables à va- leurs dansM. Si la suite(Xn)_n>0 converge simplement, alors sa limite est une variable aléatoire F-mesurable.

1.1. ESPACES MESURABLES ET VARIABLES ALÉATOIRES 5

Démonstration. — On désigne pardla fonction de métrique sur M×M. Soit X la limite de la suite(X_n)_n>0. SiF est une partie fermée de M, on a

X⁻¹(F) ={ω ∈Ω : lim

n→+∞d(X_n(ω), F) = 0}

= \

m>1

[

N>1

\

n>N

{ω∈Ω : d(Xn(ω), F)<1/m}.

Comme la fonction d(., F) est continue et la variable aléatoire Xn est mesu- rable, on obtient du corollaire 1.1.7 et de la proposition 1.1.5 que l’ensemble

{ω∈Ω : d(Xn(ω), F)<1/m}

appartient à F. On en déduit X⁻¹(F) ∈ F. D’après la proposition 1.1.6, on obtient que la variable aléatoireX est F-mesurable.

Soient Ω un ensemble non-vide et ((E_i,E_i))i∈I une famille d’espaces mesu- rables. Pour tout i ∈ I, soit fi une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans (Ei,E_i). On désigne parσ(fi, i∈I)la tribu engendrée par S

i∈Iσ(fi). C’est la plus petite tribu qui rend mesurables toutes les variables aléatoires f_i (i∈I).

Cette tribu est appelée la tribuengendrée par la famille de variables aléatoires (f_i)i∈I.

Proposition 1.1.9. — Soient Ω etF deux ensembles non-vides, et ((Ei,E_i))i∈I

une famille d’espace mesurable. Pour tout i∈I, soit f_i une variable aléatoire sur F à valeurs dans (Ei,E_i). Soit X une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans l’espace mesurable (F, σ(f_i, i∈I)). Soit en outre F une tribu sur Ω. La variable aléatoire X est F-mesurable si et seulement si, pour tout i ∈ I, la variable aléatoire composée fi◦X : Ω→(Ei,E_i) estF-mesurable.

Démonstration. — On désigne parGla tribuσ(f_i, i∈I). Par définition, toute variable aléatoirefi estG-mesurable. La partie de nécessité de l’énoncé résulte ainsi de la proposition 1.1.5. Montrons la suffisance dans la suite. Pour tout i∈I, la mesurabilité def_i◦X montre que X⁻¹(A)∈ F pour toutA∈σ(f_i).

CommeGest la tribu engendrée parS

i∈Iσ(Xi), on obtient queX : Ω→(F,G) est en fait F-mesurable, compte tenu de la proposition 1.1.6.

Soit ((Ei,E_i))i∈I une famille d’espaces mesurables. SoitΩ le produit carté- sien Q

i∈IEi. Pour tout i∈I, on désigne par πi : Ω → Ei la projection dans la i^ème coordonnée. C’est une variable aléatoire sur Ωà valeurs dans l’espace

mesurable(E,E_i). On désigne parN

i∈IE_ila tribuσ(πi, i∈I), appelée latribu produit desE_i.

Corollaire 1.1.10. — Soient (Ω,F) un espace mesurable, ((Ei,E_i))i∈I une famille d’espace mesurables et (X_i : Ω → (E_i,E_i))i∈I une famille de va- riables aléatoires. Soit X = (Xi)i∈I la variable aléatoire surΩ à valeurs dans (Q

i∈IEi,N

i∈IE_i) dont la i^ème coordonnée est Xi. Alors la variable aléatoire X estF-mesurable si et seulement si chaque X_i estF-mesurable.

Démonstration. — Pour touti∈I on aX_i =π_i◦X. Le corollaire résulte donc de la proposition 1.1.9.

Remarque 1.1.11. — SoientM etM⁰deux espaces topologiques. Rappelons que les sous-ensembles ouverts de l’espace topologique produitM⁰×M sont les réunions de sous-ensembles de la formeU⁰×U, oùU⁰etU sont respectivement des parties ouvertes deM⁰ etM. En particulier, les projectionsM⁰×M →M⁰ etM⁰×M →M sont continues et donc mesurables, et donc la tribu borélienne de M⁰×M contient le produit des tribus boréliennes de M⁰ etM. Si de plus les espaces topologiques M etM⁰ ont des bases dénombrables, alors on a

B(M⁰×M) =B(M⁰)⊗ B(M).

En effet, siH⁰ etHsont des bases de topologie deM⁰ et deM respectivement, qui sont dénombrables. Alors tout sous-ensemble ouvertV de M⁰×M s’écrit comme une réunion (dénombrable) de sous-ensembles dans

{U⁰×U : U⁰∈ H⁰, U ∈ H}.

On obtient alors V ∈ B(M⁰)⊗ B(M).

1.1.3. Variables aléatoires réelles. — Dans ce sous-paragraphe, on étu- die les variables aléatoires à valeur dans R (muni de sa tribu borélienne). Si (Ω,F)est un espace mesurable, on désigne parM(Ω,F)l’espace vectoriel des variables aléatoires (réelles)F-mesurables. SiXetY sont deux variables aléa- toires réelles sur Ω, on désigne parX∧Y la variables aléatoire min(X, Y), et parX∨Y la variable aléatoiremax(X, Y). On désigne parMb(Ω,F) le sous- espace vectoriel de M(Ω,F)des variables aléatoiresF-mesurables et bornées.

Proposition 1.1.12. — Soient (Ω,F)un espace mesruable, X etY deux va- riables aléatoires réelles F-mesurables. Alors les variables aléatoires X ∧Y, X∨Y,X+Y, XY et|X|sont toutesF-mesurables. En particulier,M(Ω,F) est un espace vectoriel sur R.

1.1. ESPACES MESURABLES ET VARIABLES ALÉATOIRES 7

Démonstration. — L’espace topologique R admet une base de topologie dé- nombrable (qui consiste des intervalles ]a, b[avec a, b ∈ Q). On obtient alors laF-mesurabilité de la variable aléatoire (X, Y) : Ω→R², où on considère la tribue borélienne surR²=R×R(voir la remarque 1.1.11). LaF-mesurabilité des variables aléatoires X ∧Y, X ∨Y, X +Y et XY provient alors de la proposition 1.1.5 et le corollaire 1.1.7, ainsi que la continuité des fonctions (x, y)7→min(x, y),(x, y)7→max(x, y),(x, y)7→x+y et(x, y) 7→xy, respec- tivement. Enfin, on peut écrire |X| sous la forme(X∨0)−(X∧0). Donc la variable aléatoire|X|est également F-mesurable.

Définition 1.1.13. — Soient Ω un ensemble non-vide et H une famille de variables aléatoires positive et bornées sur Ω. On dit que H est une λ-famille si les conditions suivantes sont vérifiées :

(1) 1∈ H;

(2) si X, Y ∈ Heta, b∈[0,+∞[, alors aX+bY ∈ H;

(3) si X etY sont des éléments deHtels queX 6Y, alors Y −X ∈ H; (4) si (Xn)n∈N est une suite croissante et uniformément bornée dans H qui

converge vers une variable aléatoire réelle X surΩ, alors on aX∈ H.

La proposition suivante devrait être considérée comme une version fonction- nelle de la proposition 1.1.2.

Proposition 1.1.14. — Soient Ω un ensemble non-vide et H une λ-famille de fonctions positive et bornées sur Ω, qui contient la fonction constante 1. Si H est stable par l’opérateur ∧, alors toute fonction positive, bornée et σ(H)- mesurable appartient à H. En particulier, la tribuσ(H) s’identifie à l’ensemble des A⊂Ω tels que 1l_A∈ H.

Démonstration. — Si X et Y sont deux variables aléatoires dans H, alors X∨Y = (X+Y)−X∧Y ∈ H. Donc H est stable par l’operateur ∨. En particulier, si X∈ H et siaest une constante positive, alors

(X−a)+:= max(X−a,0) =X∨a−a∈ H.

Cela montre que, pour tout entier n > 1 et tout X ∈ H, on a Xⁿ ∈ H.

En effet, la fonction x 7→ xⁿ est convexe sur [0,+∞[, donc s’écrit comme la borne supérieure d’une famille dénombrable de fonctions de la forme x 7→

(naⁿ⁻¹x−(n−1)aⁿ)₊, oùa∈Q∩[0,+∞[.

Si on désigne parF la famille des sous-ensembles A de Ω tels que1lA ∈ H, alors F est une tribue puisqu’elle est un λ-système et un π-système (cf. la proposition 1.1.2).

SoientX un élément deHett >0un nombre réel. On at⁻¹X∧1∈ H. En outre, la suite 1−(t⁻¹X∧1)ⁿ

n∈Nest croissante et converge vers1l_{X<t}. On obtient donc que 1l{X<t} ∈ H. En particulier, toute variable aléatoire dans H estF-mesurable, et donc σ(H)⊂ F.

Il reste à vérifier que toute variable aléatoire positive, bornée etF-mesurable appartient àH. SoitXune telle variable aléatoire. Pour tout entiern>1, soit

Xn=

n2ⁿ−1

X

k=0

k

2ⁿ1l_{k/2ⁿ6X<(k+1)/2ⁿ}+n1l_{X>n}.

La suite (Xn)_n>1 est croissante, contenue dans H, et converge vers X. Donc on obtientX ∈ H.

Corollaire 1.1.15. — SoientΩun ensemble non-vide etSun espace vectoriel de fonctions bornées surΩ. SiS est stable par l’opérateur∧et par convergence croissante uniformément bornée, alors toute fonction bornée etσ(S)-mesurable appartient àS. En particulier, la tribu σ(S) s’identifie à l’ensemble desA⊂Ω tels que 1l_A∈S.

Démonstration. — SoitS₊l’ensemble des fonctions positives dansS. Il s’avère queS+ est uneλ-famille qui est stable par l’operateur ∧, donc toute fonction positive, bornée etσ(S₊)-mesurable appartient àS₊. En outre, sif ∈S, alors f∨0 =f−f∧0et−f∧0appartiennent àS₊. Cela montre quef =f∨0+f∧0 estσ(S+)-mesurable. Donc on aσ(S+) =σ(S). Enfin, toute fonction bornée et σ(S)-mesurable peut être écrite comme la différence de deux fonctions bornées, positives et σ(S)-mesurables. Donc elle appartient àS.

Les théorèmes suivants sont appelés «théorèmes de classes monotones», qui seront constamment utilisés dans ce cours.

Théorème 1.1.16. — Soient Ω un ensemble non-vide, H une λ-famille de variables aléatoires positives et bornées sur Ω et C un sous-ensemble de H.

Si la famille C est stable par la multiplication, alors toute variable aléatoire positive, bornée et σ(C)-mesurable appartient à H.

Démonstration. — Quitte à remplacerHpar l’intersection desλ-famille conte- nant C, on peut supposer que Hest la plus petite λ-famille qui contient C.

Montrons que H est stable par multiplication. Soit H₁ l’ensemble des va- riables aléatoires positives X sur Ω telles que XY ∈ H pour toute Y ∈ C.

AlorsH₁ est uneλ-famille contenant C, d’oùH₁⊃ H. SoitH₂ l’ensemble des variables aléatoiresX surΩtelles que XY ∈ Hpour touteY ∈ H. C’est aussi

1.1. ESPACES MESURABLES ET VARIABLES ALÉATOIRES 9

une λ-famille. En outre, Comme H₁ ⊃ H, on obtient que H₂ ⊃ C et donc H₂ ⊃ H. On obtient ainsi queHest stable par multiplication.

SoientX etY deux variables aléatoires dansH. Montrons que|X−Y| ∈ H.

Quitte à multiplier|X−Y|par un nombre strictement positif et suffisamment petit, on peut supposer que |X−Y|61. On a

(X−Y)² =X²+Y²−2XY ∈ H.

Soit (X_n)n∈N la suite de variables aléatoires définie par la formule récursive X0= 0, Xn+1 =Xn+1

2 (X−Y)²−X_n²

, n∈N.

On peut vérifier que X_n ∈ H et X_n 6 |X − Y|. En effet, cette proprété est évidemment vérifiée par X0. Si Xn ∈ H et Xn 6 |X −Y|, alors on a nécessairement Xn+1∈ H. De plus, comme|X−Y|61 on aXn+1 6|X−Y| puisque la fonctionz7→z−¹₂z² est croissante sur[0,1]. Par récurrence obtient les propriétés de la suite (Xn)n∈N mentionnées plus haut, qui implique en particulier que la suite(X_n)n∈N est croissante et converge vers |X−Y|, d’où

|X−Y| ∈ H. On en déduit en outre que X∧Y = 1

2 X+Y − |X−Y|

∈ H.

D’après la proposition 1.1.14, on obtient que toute variable aléatoire positive, bornée et σ(H)-mesurable appartient àH. La démonstration du théorème est donc achevée.

Théorème 1.1.17. — SoientΩun ensemble non-vide etS un espace vectoriel de variables aléatoires bornées sur Ω, qui est stable par convergence simple uniformément bornée. Alors, pour tout sous-espace vectoriel C ⊂ H qui est stable par l’opéateur ∧ et qui contient la fonction constante 1, toute variable aléatoire bornée et σ(C)-mesurable appartient à H.

Démonstration. — Soit Θ l’ensemble des sous-espaces vectoriels A de S qui contienneCet qui est stable par l’opérateur∧. C’est un ensemble non-vide car C ∈Θ. En outre, l’ensembleΘ est ordonné par la relation d’inclusion, et tout sous-ensemble totalement ordonné Θ₀ de Θ admet un majorant dans Θ, qui est la réunion de tous les ensembles dans Θ0. Le lemme de Zorn permet alors de trouver un élément S₀ ∈ Θ qui est maximal pour la relation d’inclusion.

L’ensembleS₀est en outre stable par convergence simple uniformément bornée car il est maximal dans Θ. D’après le corollaire 1.1.15, on obtient que S0

contient toute variable aléatoire bornée et σ(C)-mesurable.

1.2. Mesure et intégration, espérance

1.2.1. Définition. — Soit (Ω,F) un espace mesurable. On appelle mesure de probabilité (ouloi de probabilité) sur(Ω,F)toute applicationP:F →[0,1]

qui vérifie les conditions suivantes : (1) P(Ω) = 1,

(2) si (An)_n>0 est une famille dénombrable d’éléments dansF qui sont deux- à-deux disjoints, alors on a

(1.1) P

[

n>0

A_n

=X

n>0

P(A_n).

Le triplet (Ω,F,P) est appelé un espace de probabilité. La propriété (2) est appelée laσ-additivité de la mesure de probabilitéP.

Étant donné un espace de probabilité (Ω,F,P), pour tout élément A de F, le nombre P(A) est appelé la probabilité de l’évément A. Si P(A) = 1, on dit que A est un événement P-presque sûr. Si P(A) = 0, on dit queA est un événementP-négligeable. Soient X etY deux variables aléatoires sur (Ω,F) à valeurs dans un même espace mesurable. Si l’ensemble {X=Y} appartient à F et est de probabilité 1, on dit queX et Y sont égales presque sûrement, ou Y est unemodification de X, noté comme

X =Y P-p.s.

SiA et B sont deux événements dans F, on utilise l’expression A=B P-p.s.

pour désigner la relation 1l_A = 1l_B P-p.s.. Cette condition revient à dire que les événementsA etB diffèrent par un ensemble de probabilité nulle. Si cette condition est vérifiée, on dit que les événements A et B sont égaux P-presque sûrement.

Proposition 1.2.1. — Soit(Ω,F,P) un espace de probabilité.

(a) L’ensemble vide ∅ est un événement P-négligeable.

(b) Si A et B sont deux événements tels que A ⊂ B, alors P(B) = P(A) + P(B\A).

(c) Si (A_n)_n>0 est une suite croissante d’événements dansF, alors on a P

[

n>0

A_n

= lim

n→+∞P(A_n).

(d) Si (A_n)_n>0 est une suite décroissante d’événements dansF, alors on a P

\

n>0

An

= lim

n→+∞P(An).

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 11

Démonstration. — (a) D’après la relation (1.1) on obtient P(∅) =X

n>0

P(∅), d’oùP(∅) = 0.

(b) provient directement de (a) et de la relation (1.1) car B est la réunion disjointe de A et deB\A.

(c) SoitB0 =A0. Pour tout entiern>1, soitBn=An\An−1. Les ensembles (Bn)n>0 sont deux-à-deux disjoints. En outre, pour tout entier m > 0 on a A_m =B₀∪ · · · ∪B_m, d’où

[

n>0

B_n= [

n>0

A_n.

D’après la σ-additivité de la mesure de probabilitéP, on obtient P(Am) =P(B0) +· · ·+P(Bm)

pour tout m∈N, et P

[

n>0

A_n

=X

k>0

P(B_k) = lim

n→+∞

X

06k6n

P(B_k) = lim

n→+∞P(A_n).

(d) On applique le point (c) à la suite(A₀\A_n)_n>0 et obtient P

[

n>0

(A₀\A_n)

= lim

n→+∞P(A₀\A_n) =P(A₀)− lim

n→+∞P(A_n), où la seconde égalité provient de (b). Comme

[

n>0

(A₀\A_n) =A₀/ \

n>0

A_n,

on obtient de (b) que P

[

n>0

(A0\An)

=P(A0)−P \

n>0

An

,

d’où le résultat souhaité.

Soient (Ω,F,P) un espace de probabilité et X une variable aléatoire sur (Ω,F) à valeurs dans un espace mesurable(E,E). La mesure de probabilitéP induit une mesure de probabilité ν sur (E,E) telle que

∀B ∈ E, ν(B) =P(X⁻¹(B)).

On dit queν est laloi de la variable aléatoireX(ou que Xsuit la loi ν), noté commeX ∼ν.

1.2.2. Espérances des fonctions étagées. — Soit (Ω,F) un espace me- surable. On désigne par E(F) l’espace vectoriel de fonctions sur Ω engendré par les fonctions indicatrices 1lA avec A ∈ F. Les fonctions dans E(F) sont appelées des fonctions étagées sur(Ω,F).

SoitP une mesure de probabilité sur l’espace mesurable(Ω,F). On désigne parE^P la forme linéaire sur E(F) vers Rtelle que

E^P hXⁿ

i=1

ai1lAi

i

=

n

X

i=1

aiP(Ai).

Comme la fonction P(.) est additive, on obtient que cette application est bien définie. Si X est une fonction étagée sur (Ω,F), le nombre E^P[X] est appelé l’espérancedeX(par rapport à la mesure de probabilitéP). Dans le cas où il n’y a pas d’ambiguité sur la mesure de probabilitéP, on utilisera aussi l’expression E[X]pour désigner l’espérance deX. On vérifie aisément que l’opérateurE^P[.] préserve la relation d’ordre.

Proposition 1.2.2. — SiXetY sont deux fonctions étagées sur(Ω,F)telles que X6Y, alors on a E^P[X]6E^P[Y].

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer queXetY sont de la forme

X=

n

X

i=1

ai1lAi, Y =

n

X

i=1

bi1lAi

avec a_i 6b_i pour tout i∈ {1, . . . , n}. On a donc E^P[X] =

n

X

i=1

a_iP(A_i)6

n

X

i=1

b_iP(A_i)6E^P[Y].

La proposition suivante montre que l’opérateur linéaire E[.]préserve les li- mites montones dominées. Cette observation est importante dans la construc- tion de l’espérance pour une fonction mesurable générale.

Proposition 1.2.3. — Soit(Xn)n∈N une suite décroissante de fonctions éta- gées sur(Ω,F)qui converge simplement vers la fonction nulle, alors la relation

n→+∞lim E^P[Xn] = 0

est satisfaite pour toute mesure de probabilité P sur (Ω,F).

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 13

Démonstration. — Pour tout ε > 0, soit A^ε_n l’événement {X_n > ε}. Comme la suite de variables aléatoires(X_n)_n>0 est décroissante et converge vers0, on obtient

A^ε₀ ⊃A^ε₁ ⊃. . .⊃A^ε_n⊃A^ε_n+1 ⊃. . . etT

n>0A^ε_n=∅. D’après la proposition 1.2.1.(d), on obtient lim

n→+∞P(A^ε_n) = 0.

En outre, comme la fonction X₀ est étagée, elle est bornée. Il existe alors un nombre δ > 0 tel que Xn 6δ pour tout n ∈N. D’après la proposition 1.2.2, on obtient

E^P[Xn] =E^P[Xn1lA^ε_n] +E^P[Xn1l_Ω\A^ε_n]6δP(A^ε_n) +ε.

On en déduit lim sup

n→+∞ E^P[Xn]6 ε. Comme ε >0 est arbitraire, on obtient le résultat souhaité.

1.2.3. Le cas d’une mesure générale. — Soit(Ω,F)un espace mesurable.

On appelle mesure sur (Ω,F) toute application µ : F → [0,+∞] telle que µ(∅) = 0 et qui est σ-additive : pour toute famille (A_n)_n>0 d’éléments de F qui sont deux-à-deux disjoints, on a

µ [

n>0

An

=X

n>0

µ(An).

Les résultats décrits dans les deux sous-paragraphes précédents se généralisent naturellement dans le cadre de mesure générale. On présente ici ces résultats et laisse les lecteurs le soin de compléter les démonstrations.

Soit µune mesure sur (Ω,F). Si µ(Ω)<+∞, on dit que µest une mesure finie. S’il existe une suite(An)n>0 telle queS

n>0An= Ωet queµ(An)<+∞

pour tout n ∈ N, on dit que µ est une mesure σ-finie. Si f et g sont deux fonctionsF-mesurables surΩtelles queµ({f =g}) = 0, on dit quef etgsont égale µ-presque partout, noté commef =g µ-p.p.

Si A et B sont deux éléments de F tels que A ⊂ B, alors µ(B) =µ(A) + µ(B\A). Si(An)_n>0 est une famille dénombrable d’éléments deF, on a

µ [

n>0

An

6X

n>0

µ(An).

En outre, si (A_n)_n>0 est une suite croissante dansF, alors on a µ [

n>0

A_n

= lim

n→+∞µ(A_n).

Cependant, la propriété dans la proposition 1.2.1 (d) n’est pas vraie sans condi- tion supplémentaire pour une mesure générale. Pour qu’elle soit valable pour

une mesure quelconque, il faut modifier l’énoncé comme la suite : si (An)_n>0 est une suite décroissante dans F telle que µ(A_n) <+∞ pour certain n∈N, alors on a

µ \

n>0

An

= lim

n→+∞µ(An).

On désigne parEµ(F)l’espace vectoriel de fonctions sur Ωengendré par les fonctions indicatrices1lA avecA∈ F,µ(A)<+∞. On définit une application linéaireIµ:Eµ(F)→R telle que

(1.2) I_µXⁿ

i=1

a_i1l_Ai :=

n

X

i=1

a_iµ(A_i).

Par définition, l’application Iµ préserve la relation d’ordre : pour f etg dans Eµ(F) telles que f 6 g, on a I_µ(f) 6 I_µ(g). Similairement à la proposition 1.2.3, si (f_n)_n>0 est une suite décroissante dans Eµ(F) qui converge vers 0, alors on a lim

n→+∞Iµ(fn) = 0.

1.2.4. Intégration de Daniell. — Dans ce sous-paragraphe, on fixe un ensemble non-vide Ω. Soit S un espace vectoriel de fonctions réelles définies sur Ω. On dit que S est filtrant si, pour tout couple (f, g) d’éléments dansS, on af ∧g∈S.

On vérifie facilement que, siS est un espace vectoriel de fonctions réelles sur Ω, alors pour toutesf, g∈S on af∨g∈S et|f| ∈S carf∨g=f+g−f∧g et|f|=f∨0−f∧0.

Définition 1.2.4. — SoientΩun ensemble non-vide etSun espace vectoriel filtrant de fonctions réelles sur Ω. On appelle operateur d’intégration sur S toute application linéaire I :S→Rqui vérifie les conditions suivantes : (1) si f ∈S,f >0, alors I(f)>0;

(2) pour toute suite décroissante (f_n)_n>0 d’éléments dansS qui converge vers 0,

n→+∞lim I(fn) = 0.

Exemple 1.2.5. — Soit (Ω,F) un espace mesurable. Alors l’ensemble E(F) des fonctions étagées sur (Ω,F) est un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles sur Ω. En outre, pour toute mesure de probabilité P sur (Ω,F), l’ap- plication E^P : E(F) → R est un opérateur d’intégration. Plus généralement, si µest une mesure sur(Ω,F), alorsEµ(F) est un espace vectoriel filtrant, et Iµ:Eµ(F)→R est un opérateur d’intégration.

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 15

Proposition 1.2.6. — Soient S un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles sur Ω, et I :S→R un opérateur d’intégration.

(a) Si (fn)_n>0 est une suite croissante dans S qui converge simplement vers f ∈S, alors on a lim

n→+∞I(f_n) =I(f).

(b) Soient(f_n)_n>0 une suite croissante dansS etf ∈S. Si f est majorée par

n→+∞lim fn, alors I(f)6 lim

n→+∞I(fn).

Démonstration. — (a) Pour toutn∈N, soitg_n=f−f_n. La suite(g_n)_n>0 est décroissante, et converge vers 0. On obtient donc lim

n→+∞I(gn) = 0, d’où

n→+∞lim I(fn) =I(f).

(b) La suite (f∧fn)_n>0 est croissante et converge versf. D’après (a), on a I(f) = lim

n→+∞I(f∧fn)6 lim

n→+∞I(fn).

SoitS un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles surΩ. On désigne par S^↑ l’ensemble des applications deΩversR∪ {+∞}qui peuvent s’écrire comme la limite d’une suite croissante de fonctions dans S. Il s’avère que l’ensemble S^↑ est stable par l’addition et par multiplication par un scalaire positif. En outre, sif etg sont deux éléments deS^↑, alorsf ∨getf∧gappartiennent à S^↑.

Proposition 1.2.7. — Soient(f_n)_n>0 et(g_n)_n>0 deux suites croissantes dans S. Si lim

n→+∞fn 6 lim

n→+∞gn, alors on lim

n→+∞I(fn) 6 lim

n→+∞I(gn) pour tout opérateur d’intégration I :S→R.

Démonstration. — Pour tout entierm∈Non a fm 6 lim

n→+∞fn6 lim

n→+∞gn. D’après la proposition 1.2.6, on a

I(fm)6 lim

n→+∞I(gn).

Par passage à la limite quand m→+∞, on obtient le résultat.

SoientS un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles sur ΩetI :S →R un opérateur d’intégration. La proposition 1.2.7 permet d’étendre l’operateur I en une application de S^↑ vers R∪ {+∞} (que l’on note encore comme I) telle que, si on écrit f ∈ S^↑ comme la limite d’une suite croissante (f_n)_n>0

dans S, alors I(f) = lim

n→+∞I(fn). La famille S^↑ est stable par l’addition, la multiplication par un scalaire positif, les opérateurs∧et∨, ainsi que la limite croissante. En outre, il est facile de vérifier que l’application étendue satisfait aux propriétés suivantes :

(1) si f etg sont deux éléments deS^↑, on aI(f +g) =I(f) +I(g); (2) si f ∈S^↑ etλ>0, alorsI(λf) =λI(f);

(3) si f etg sont deux éléments deS^↑ tels quef 6g, alors I(f)6I(g); Proposition 1.2.8. — Soient S un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles sur Ω et I :S → R un opérateur d’intégration, qui est étendue en une application de S^↑ vers R∪ {+∞} comme ci-dessus. Si (fn)_n>0 est une suite croissante dansS^↑ qui converge vers une applicationf : Ω→R∪ {+∞}, alors f appartient àS^↑, et on a

I(f) = lim

n→+∞I(fn).

Démonstration. — Pour toutk∈N, soit (g_k,m)_m>0 une suite croissante dans S qui converge vers f_k. Pour tout n ∈N, soit h_n = g_0,n∨ · · · ∨g_n,n ∈ S. La suite(hn)_n>0 est croissante.

Pour tous k, n ∈N, k6n, on a f_n >h_n >g_k,n. En particulier, pour tout k∈N, on a

f > lim

n→+∞h_n> lim

n→+∞g_k,n =f_k.

Par passage à la limite quand k → +∞, on obtient f = lim

n→+∞hn ∈ S^↑. De plus, on a

I(f) = lim

n→+∞I(hn)6 lim

n→+∞I(fn).

Or pour tout n∈Non a f >f_n, d’où I(f) > lim

n→+∞I(f_n). L’égalité est donc démontrée.

SoitS un espace vectoriel filtrant de fonctions réelles surΩ. On désigne par S^↓ l’ensemble{−f : f ∈S^↑}, qui s’identifie à l’ensemble des applications deΩ versR∪ {−∞}qui peut s’écrire comme la limite d’une suite décroissante dans S. L’ensemble S^↓ est stable par l’addition, la mutiplication par un scalaire positif, les opérations ∨ et ∧, ainsi que les limites décroissante. Si I est un opérateur d’intégration sur S, on peut l’étendre en une application deS^↓ vers R∪ {−∞}en mettant

∀f ∈S^↓, I(f) :=−I(−f).

On peut vérifier que l’application étendue satisfait aux propriétés suivantes :

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 17

(1) si f etg sont deux éléments deS^↓, on aI(f +g) =I(f) +I(g); (2) si f ∈S^↓ etλ>0, alorsI(λf) =λI(f);

(3) sifetgsont deux éléments deS^↓∪S^↑tels quef 6g, alorsI(f)6I(g)⁽¹⁾; (4) si (fn)_n>0 est une suite décroissante dansS^↓ qui converge vers une appli-

cation f, alors f ∈S^↓ etI(f) = lim

n→+∞I(f_n).

Définition 1.2.9. — Soient S un espace vectoriel filtrant de fonction réelle sur Ω et I :S → R un opérateur d’intégration. On désigne par Se l’ensemble des fonctions réellesh surΩ telle que

sup

g∈S^↓, g6h

I(g) = inf

f∈S^↑, f>hI(f)∈R.

On désigne parI(h)cette quantité. Ainsi on obtient une applicationI :Se→R. Par définition, une fonctionh: Ω→Rappartient à Sesi et seulement si, pour toutε >0, il existe deux fonctionsf ∈S^↑ etg∈S^↓telles queg6h6f et que I(g) etI(f)sont des nombres réels vérifiantI(f)−I(g)6ε. En particulier, Se contient toutes les fonctionsh∈S^↑∪S^↓ telles queI(h)∈R.

Théorème 1.2.10. — Avec les notations comme ci-dessus, l’ensemble Se est un espace vectoriel filtrant qui contient S, et I : Se → R est un opérateur d’intégration qui prolonge I :S→R.

Démonstration. — Montrons d’abord que Se est un espace vectoriel sur R et I :Se→Rest une application linéaire. Sih₁ eth₂ sont deux éléments deS, one a

sup

g1∈S^↓ g16h1

I(g₁) + sup

g2∈S^↓ g26h2

I(g₂)6 sup

g∈S^↓ g6h1+h2

I(g)

6 inf

f∈S^↑ f>h1+h2

I(f)6 inf

f1∈S^↑ f1>h1

I(f₁) + inf

f2∈S^↑ f2>h2

I(f₂).

Comme h₁ et h₂ appartiennent à S, on obtient que le premier et le derniere termes dans la formule précédente sont égaux. Donc tous les termes dans ces inégalités sont en fait égaux et on en déduit h1 +h2 ∈ Se et I(h1 +h2) =

1. La vérification de cette inégalité dans le cas oùf∈S^↓ etg∈S^↑ est comme la suite : on a−f ∈S^↑, et doncg−f ∈S^↑. On en déduit alors que06I(g−f) =I(g) +I(−f) = I(g)−I(f).

I(h1) +I(h2). De façon similaire, on peut vérifier que, si h ∈ Se et si λ > 0, alors on aλh∈Se etI(λh) =λI(h). Enfin, sih∈S, alorse

sup

g∈S^↓ g6−h

I(g) = sup

f∈S^↑ f>h

I(−f) =− inf

f∈S^↑ f>h

I(f)

=−sup

g∈S^↓ g6h

I(g) =− sup

f∈S^↑ f>−h

I(−f) = inf

f∈S^↑ f>−h

I(f),

où la troisième égalité provient de l’hypothèseh∈S. On en déduit quee −h∈Se etI(−h) =−I(h).

Montrons ensuite queSeest stable par∧. Soienth₁eth₂deux fonctions dans S. Pour toute ε >0, il existeg1, g2 ∈S^↓ etf1, f2∈S^↑ telles queg1 6h1 6f1, g₂ 6h₂ 6f₂, et que

I(g₁), I(g₂), I(f₁), I(f₂)∈R, I(f₁−g₁)6ε/2, I(f₂−g₂)6ε/2.

On a alors g1∧g26h1∧h26f1∧f2, et

I(f1∧f2−g1∧g2)6I(f1−g1) +I(f2−g2)6ε.

On en déduit h₁∧h₂∈S.e

La propriété de limite pour l’opérateur I comme dans le point (2) de la définition 1.2.4 provient du lemme suivant.

Lemme 1.2.11 (Beppo Levi). — Soit(hn)_n>0une suite monotone de fonc- tions dans Se qui converge vers une fonctionh : Ω→R. Si la limite des I(h_n) quand n→+∞ est un nombre réel, alors on a h∈Seet I(h) = lim

n→+∞I(hn).

Démonstration. — Il suffit de traiter le cas où la suite est croissante (pour le cas décroissante, on peut considérer la suite (−h_n)_n>0). En outre, quitte à remplacerhnparhn−h0, on peut supposerh0= 0.

Soitε >0. Pour tout entiern>1, on choisitf_n∈S^↑telle queh_n−h_n−1 6f_n et

I(hn−hn−1)>I(fn)−ε/2ⁿ.

On a alorsh_n6f₁+· · ·+f_netI(h_n)>I(f₁)+· · ·+I(f_n)−ε. Soitf =P

n>1f_n. On a f ∈ S^↑ et I(f) = P

n>1I(fn). En outre, on af > h et lim

n→+∞I(hn) >

I(f)−ε.

Pour tout n ∈ N, on peut choisir gn ∈ S^↓ tel que gn 6 hn et que I(gn) >

I(hn) +ε. On obtient alors que, il existe un entier m∈Ntel que I(gm)> lim

n→∞I(hn) +ε.

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 19

Comme εest arbitraire, on obtienth∈SeetI(h) = lim

n→+∞I(hn).

Théorème 1.2.12 (Fatou). — Soit(hn)_n>0 une suite de fonctions positives dans S. Sie lim inf

n→+∞I(f_n)<+∞, alorslim inf

n→+∞f_n∈S, et on ae I

lim inf

n→+∞fn

6lim inf

n→+∞I(fn).

Démonstration. — Pour toutn∈N, soit g_n= inf

m>nf_m= lim

k→+∞f_n∧ · · · ∧f_n+k.

C’est la limite d’une décroissante dansS. In outre, on ae I(f_n∧ · · · ∧f_n+k)>0.

D’après le théorème de Beppo Levi, on agn∈Seet I(g_n) = lim

k→+∞I(f_n∧ · · · ∧f_n+k)6I(f_n).

On en déduit

n→+∞lim I(g_n)6lim inf

n→+∞I(f_n).

Comme la suite (gn)n∈N est croissante et lim inf

n→+∞I(fn) <+∞, encore d’après le théorème de Beppo Levi, on obtient

n→+∞lim g_n= lim inf

n→+∞f_n∈S,e et I lim inf

n→+∞f_n

= lim

n→+∞I(g_n)6lim inf

n→+∞I(f_n).

Théorème 1.2.13 (Convergence dominée). — Soit (fn)_n>0 une suite de fonctions dans Sequi converge vers une fonction f. S’il existe g ∈Setelle que

|f_n|6g pour tout entiern∈N, alors f ∈Se et on a I(f) = lim

n→+∞I(f_n).

Démonstration. — On applique le théorème de Fatou aux suites(g−f_n)_n>0 et(g+fn)_n>0 pour obtenir f ∈Seet

I(g−f)6lim inf

n→+∞I(g−f_n) =I(g)−lim sup

n→+∞

I(f_n), I(g+f)6lim inf

n→+∞I(g+f_n) =I(g) + lim inf

n→+∞I(f_n).

On obtient alors

lim inf

n→+∞I(f_n)>I(f)>lim sup

n→+∞

I(f_n).

Donc la suite(I(f_n))_n>0 converge versI(f).

1.2.5. Intégrale, espérance et variance. — Soit (Ω,F) un espace me- surable et µ une mesure sur (Ω,F). On désigne par Eµ(F) l’espace vectoriel engendré par les fonctions indicatrices 1lA avec A∈ F, µ(A) <+∞. Alors la forme linéaireIµ:Eµ(F)→Rdéfinie dans (1.2) est un opérateur d’intégration.

Le résultat que nous avons vu dans §1.2.4 permet d’étendreI_µen un opérateur d’intégration sur Eeµ(F).

Définition 1.2.14. — On désigne par L¹(Ω,F, µ) l’intersection de Eeµ(F) avec l’espace M(Ω,F) des fonctions F-mesurables sur Ω. Les fonctions dans L¹(Ω,F, µ)sont ditesintégrablepar rapport à la mesureµ. Pour toute fonction f ∈L¹(Ω,F, µ), on utilise l’expression

Z

Ω

fdµ ou Z

Ω

f(ω)µ(dω)

pour désigner Iµ(f). L’ensemble L¹(Ω,F, µ) est un sous-espace vectoriel de M(Ω,F) qui est stable par l’opérateur ∧ et ∨, et la restriction de I_µ(.) à L¹(Ω,F, µ)est un opérateur d’intégration.

Dans le cas où P est un mesure de probabilité sur (Ω,F), on utilise l’ex- pressionE^P[.]pour désigner l’opérateur d’intégrationI_P. SiX est une variable aléatoire intégrable, alors E^P[X]est appelé l’espérance de la variable aléatoire X.

Soient (Ω,F) un espace mesurable et µ une mesure σ-finie sur (Ω,F).

Comme toute fonction F-mesurable et bornée inférieurement f peut s’écrire comme la limite d’une suite croissante dansEµ(F), on obtient quef ∈Eµ(F)^↑ et doncI_µ(f)est bien défini dansR∪ {+∞}. Dans le cas oùµest une mesure quelconque, si une applicationF-mesurablef : Ω→[0,+∞]n’appartient pas à Eµ(F)^↑, alors on a

µ({f > ε}) = +∞

pour certainε >0. Dans ce cas-là, on convient queI_µ(f) = +∞. Similairement au cas classique, pour tout couple(f, g)d’applicationsF-mesurables deΩvers [0,+∞]et toutλ∈[0,+∞], on aIµ(f+g) =Iµ(f)+Iµ(g)etIµ(λf) =λIµ(f).

En outre, si f et g sont deux applications F-mesurables qui ne diffèrent que sur un sous-ensemble µ-negligeable de Ω, alors on a Iµ(f) = Iµ(g) (voir la proposition 1.2.15 au-dessous).

Proposition 1.2.15. — Soient (Ω,F) un espace mesurable et µ une mesure sur (Ω,F). Pour toute fonctionf ∈M(Ω,F),Iµ(|f|) = 0 si et seulement sif est nulle µ-presque partout.

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 21

Démonstration. — On suppose queIµ(|f|) = 0. Alors pour tout entiern>1, on a µ({|f|>1/n}) = 0. Par passage à la limite quand ntend vers l’infini, on obtient µ({f 6= 0}) = 0, c’est-à-dire f = 0 µ-presque partout.

Réciproquement, sif est une fonction dansM(Ω,F)qui est nulleµ-presque partout, alors on a I_µ(|f| ∧n) = 0 pour tout entier n > 0. Comme la suite (|f| ∧n)n∈N est croissante et converge simplement vers |f|, d’après le lemme 1.2.11, on obtient I_µ(|f|) = 0.

Proposition 1.2.16. — Soient (Ω,F) un espace mesurable et µ une mesure sur (Ω,F). Toute fonction f ∈ M(Ω,F) est intégrable si et seulement si Iµ(|f|) <+∞. En particulier, si µ est une mesure finie, alors toute fonction bornée et F-mesurable appartient à L¹(Ω,F, µ).

Démonstration. — L’espace L¹(Ω,F, µ) est stable par les opérateurs ∧ et

∨, donc est stable par l’opérateur de valeur absolue. Donc f ∈ M(Ω,F) est intégrable implique|f| ∈L¹(Ω,F, µ).

Réciproquement, la condition I_µ(|f|) < +∞ montre que I_µ(f ∨ 0) et Iµ((−f)∨0) sont finis. On obtient que f ∨0 et (−f)∨0 = −(f ∧0) sont intégrables. On en déduit quef = (f ∨0) + (f∧0)est intégrable.

Proposition 1.2.17. — Soient (Ω,F) un espace mesurable et µ une mesure sur (Ω,F).

(1) Si (f_n)n∈N est une suite croissante d’applications F-mesurables de Ωvers [0,+∞] et si f est la limite de fn lorsquen tend vers l’infini, alors on a

n→+∞lim Iµ(fn) =Iµ(f).

(2) Si (gn)n∈N est une famille d’applications F-mesurables de Ω vers [0,+∞]

et si g est la somme des gn, alors on a Iµ(g) =X

n∈N

I(gn).

Démonstration. — L’énoncé (2) est une conséquence directe de (1) car la suite de sommes partielles(g0+· · ·+gn)n∈Nest croissante et converge vers la somme totaleP

n∈Ng_n.

Dans la suite, on démontre l’énoncé (1). Commefn6f, on aIµ(fn)6Iµ(f).

Donc l’énoncé est trivial lorsque lim

n→+∞Iµ(fn) = +∞. Il suffit alors de traiter le cas où la suite (Iµ(fn))n∈N est bornée. Dans ce cas-là, l’ensemble A des ω ∈ Ω tels que l’un des fn(ω) est +∞ est µ-negligeable. Quitte à remplacer f_n parf_n1l_A^c, on peut supposer que les f_n sont des fonctions réelles, et donc

appartiennent à L¹(Ω,F, µ). Comme Iµ est un opérateur d’intégration sur L¹(Ω,F, µ), on obtient le résultat.

Soient (Ω,F) un espace mesurable et µ une mesure sur (Ω,F). Pour tout nombre p > 1, on désigne par L^p(Ω,F, µ) l’ensemble des fonctions F-mesurables f sur Ω telles que |f|^p ∈ L¹(Ω,F, µ). Si f est un fonction F-mesurable sur Ω, on désigne par kfk_L^p

µ le nombre I_µ(|f|^p)^1/p. L’ensemble L^p(Ω,F, µ)s’identifie à l’ensemble des fonctions F-mesurables f surΩ telles que kfk_L^p

µ <+∞. Dans le cas où il n’y a aucune ambiguité sur la mesureµ, on utilisera aussi l’expression k.k_L^p pour désigner la semi-norme k.k_L^p

µ. Lemme 1.2.18 (Inégalité de Hölder). — Soientpetq deux nombres réels dans]1,+∞[tels que1/p+1/q = 1. Sif etgsont deux fonctionsF-mesurables sur Ω, alors on a

kf gk_L1

µ 6kfk_L^p

µkgk_L^q

µ

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer que kfk_L^p

µ et kgk_L^q

µ sont tous finis. Si l’un de ces nombres est nul, d’après la proposition 1.2.15 on af g= 0 µ-presque partout et donckf gk_L1

µ = 0.

Dans la suite, on suppose que kfk_L^p

µ et kgk_L^q

µ sont tous dans ]0,+∞[. Soientϕ=f /kfk_L^p

µ etψ=g/kgk_L^q

µ. On a kϕk_L^p

µ =kψk_L^q

µ = 1.

Par la convexité de la fonction exponentielle, pour tout (x, y)∈]0,+∞[on a x^p

p +y^q q = 1

pexp(pln(x)) + 1

q exp(qln(y))>exp(ln(x) + ln(y)) =xy.

En outre, l’inégalitéxy 6x^p/p+y^q/q est trivialement vraie lorsquexouy est nul. On en déduit |ϕψ|6|ϕ|^p/p+|ψ|^q/q et obtient donc

Iµ(|ϕψ|)6 1 pkϕk^p_Lp

µ +1 qkϕk^q_Lq

µ = 1 p +1

q = 1, d’où l’inégalité souhaitée.

Proposition 1.2.19. — L’ensemble L^p(Ω,F, µ) est un sous-espace vectoriel deM(Ω,F)etk.k_L^p

µ est une semi-norme surL^p(Ω,F, µ). De plus, pour toute fonction f ∈ L^p(Ω,F, µ), kfk_L^p

µ = 0 si et seulement si f = 0 µ-presque partout.

Démonstration. — Par définition on akλfk_L^p

µ =|λ| · kfk_L^p

µ pour toute fonc- tion f ∈ M(Ω,F) et tout λ∈R. Soient f et g deux fonctions F-mesurables

1.2. MESURE ET INTÉGRATION, ESPÉRANCE 23

surΩ. On a

|f +g|^p 62^p(|f|^p+|g|^p).

Donckfk_L^p

µ <+∞etkgk_L^p

µ <+∞impliquentkf+gk_L^p

µ. D’oùL^p(Ω,F, µ) est un sous-espace vectoriel de M(Ω,F).

Montrons l’inégalité kf + gk_L^p

µ 6 kfk_L^p

µ +kgk_L^p

µ pour tout (f, g) ∈ M(Ω,F). Lorsque p = 1, cela est une conséquence directe de l’inégalité triangulaire |f +g|6|f|+|g|. Dans la suite, on traite le cas où p > 1. Sans perte de généralité, on peut suppose que f etg sont toutes dansL^p(Ω,F, µ).

Soit q >1 tel que 1/p+ 1/q = 1. On a

Iµ(|f +g|^p)6Iµ(|f| · |f+g|^p−1) +Iµ(|g| · |f+g|^p−1).

D’après le lemme 1.2.18, on obtient I_µ(|f +g|^p)6(kfk_L^p

µ +kgk_L^p

µ)·I_µ(|f +g|^(p−1)q)^1/q. Comme (p−1)q=pet1/q = 1−1/p, on obtient l’inégalité souhaitée.

Enfin, la dernière énoncé résulte directement de la proposition 1.2.15. Le résultat est donc démontré.

On désigne par M0(Ω,F, µ) l’espace vectoriel des fonctions F-mesurables surΩqui sontµ-negligeable. Soitp>1un nombre. On désigne parL^p(Ω,F, µ) l’espace quotient de L^p(Ω,F,P) par le sous-espace M0(Ω,F,P). La semi- norme k.k_L^p

µ induit par passage au quotient une norme sur L^p(Ω,F, µ) que l’on note commek.k_L^p

µ. Dans le cas où il n’y a aucune ambiguïté sur la mesure µ, on utilisera aussi l’expressionk.k_L^p pour désigner la normek.k_L^p

µ.

Sif est une fonctionF-mesurable surΩ. On désigne parkfk_Lµ^∞ l’élément

A∈F,µ(A)=0inf sup

ω∈Ω\A

|f(ω)|.

Si kfk_L^∞

µ < +∞, on dit que f est µ-essentiellement bornée. On désigne par L^∞(Ω,F, µ) l’ensemble des fonctionsF-mesurables et µ-essentiellement bor- nées. C’est un sous-espace vectoriel deM(Ω,F)etk.k_Lµ^∞ est une semi-norme surL^∞(Ω,F, µ). De pluskfk_L^∞

µ = 0implique que f est égale à 0 µ-presque partout. Donc k.k_L^∞

µ induit par passage au quotient une norme sur L^∞(Ω,F, µ) :=L^∞(Ω,F, µ)/M0(Ω,F, µ)

que l’on note commek.k_L^∞_µ

Dans le cas d’une mesure de probabilité P, si X est une variable aléatoire F mesurable dans L^p(Ω,F,P), où p> 1 est un entier, on définit le moment d’ordrepdeXcommeE[X^p], noté commemp(X). Rappelons que l’inéaglité de Hölder montre que, si16p6q 6+∞, alors on aL^q(Ω,F,P)⊂L^p(Ω,F,P).