1 Ensembles finis

Leçon 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

1 Ensembles finis

Définition 1. Un ensemble E est fini si il existe un entier n∈ Ntel que E soit en bijection avec{1,· · · , n}. On note alors|E|=nson cardinal.

Théorème 2. Si E est en bijection avec F alors|E|=|F|.

Proposition 3. Soient N1,· · ·, Nm des ensembles finis, alors |N1× · · · ×Nm| = Qm

i=1|Ni|.

Application 4. SiE etF sont deux ensembles, alors|F(E, F)|=|F|^|E|, oùF(E, F) désigne l’ensemble des applications deE dans F.

Application 5. SoitE un ensemble fini etP(E)l’ensemble des parties deE. Alors

|P(E)|= 2^|E|.

Théorème 6 (Principe des tiroirs). Si E et F sont deux ensembles finis tels que

|E| > |F| et si f : E → F est une application de E dans F, alors il existe un élément de F qui admet au moins deux antécédents par f; autrement dit il n’existe pas d’application injective deE dansF.

Application 7. L’équationax²+by²= 1, oùa, b6= 0, admet au moins une solution dansFq×Fq.

Proposition 8. SoientAetB des ensembles finis tels queA∩B=∅. Alors|A∪B|=

|A|+|B|.

Corollaire 9 (Lemme des bergers). Si un ensemble E possède une partition en p sous-ensembles (E =Fp

i=1A_i) contenant chacun r éléments, alors E contient p×r éléments.

2 Arrangements et permutations

Définition 10. Unk-arrangement d’une partie finiE de cardinalnest une injection α:{1,· · · , k} →E. On note Ak(E)l’ensemble des arrangements de N.

Proposition 11. |Ak(E)| = n(n−1)· · ·(n−k+ 1) = _(n−k)!^n! où n! = Qn k=1k et 0! = 1.

Application 12. NotantSn l’ensemble des bijections de {1,· · ·, n} dans lui même, on a|Sn|=n!.

Définition 13. On note P_k(E) l’ensemble des sous-parties de E a k-éléments. On note aussi ⁿ_k

=|Pk(E)|oùE={1,· · ·, n}.

Proposition 14. Pour tout couple d’entiers positifs (k, n), on a : n

k

=





 n!

k!(n−k)! sik6n

0 sinon.

Proposition 15 (Formule du Binôme). Soient x, y ∈ A des éléments d’un anneau vérifiantxy=yx. Alors(x+y)ⁿ =Pn

k=0 n k

x^ky^n−k.

Application 16. SoitK un corps de caractéristiquep, alors pour toutx∈K, on a : (x+y)^p=x^p+y^p.

3 Dénombrement en théorie des Groupes

Théorème 17(Lagrange). SoitGun groupe fini de cardinaln, alors tout sous-groupe H deGest de cardinal divisantn.

3.1 Action de groupe

Définition 18. On considère un groupe G opérant sur un ensemble X. pour tout x∈X, on noteω(x) ={g.x, g∈G} l’orbite de xetStab(x) = {g ∈G, g.x=x} le stabilisateur dex.

Proposition 19. Pour tout x∈X, on a|ω(x)|=_|Stab(x)|^|G| .

Application 20. SoitGun groupe fini non abélien. On noten(G)la proportion des couples d’éléments deGqui commutent parmi tous les couples de G. Alors n(G)6 ⁵₈. Corollaire 21 (Équation aux classes). Si y ∈ ω(x) alors Stab(x) et Stab(y) sont conjugués, donc|Stab(x)|=|Stab(y)|et notantΩl’ensemble des orbites deX, on a :

|X|=P

w∈Ω

|G|

|Stab(ω)|.

Application 22. Le centre d’un p-groupe non trivial est non trivial, et tout groupe de cardinal p² est abélien.

1

Application 23(Lemme de Cauchy). SoitGun groupe de cardinalnetpun diviseur premier den. AlorsGcontient au moins un élément d’ordrep.

Proposition 24(Formule de Burnside). On noteF ix(g) ={x∈X, g.x=x} etrle nombre d’orbites deX, alors r= _|G|¹ P

g∈G|F ix(g)|.

Application 25. Le nombre moyen de points fixes d’une permutation de Sn est 1.

3.2 Théorèmes de Sylow

Définition 26. SoitGun groupe fini de cardinal p^αmavecpne divisant pasm. Un p−Sylow deGest un sous-groupe deGde cardinalp^α.

Exemple 27. P = {A ∈ Mn(F^p), aij = 0 sii > j, aii = 1} est un p-Sylow de GLn(Fp).

Lemme 28. Soit G un groupe avec |G| = p^αm, p ne divisant pas m et soit H un sous-groupe deG. Soit S un p-Sylow de G, alors il existe a ∈G tel que aSa⁻¹∩H soit unp-Sylow deH.

Théorème 29. SoitGcomme précédemment, alors : (i)Gcontient au moins unp-Sylow.

(ii) SiH est un p-sous-groupe de G, alors il existe unp-Sylow S deG avec H ⊂S.

(iii)Lesp-Sylow sont tous conjugués (et donc leur nombrenp divisen).

(iv)On anp≡1mod(p)(doncnp divisem).

4 Dénombrement et Corps finis

4.1 Fonction d’Euler

Définition 30. On appelle fonction d’Euler et on note φ(n)le nombre d’entier 16 k6npremier avecn.

Exemple 31. Pour tout nombre premier p et pour tout α ∈ N^∗, on a : φ(p^α) = p^α−1(p−1).

Lemme 32. Pour toutn∈N, on an=P

d|nφ(d).

Application 33. Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.

4.2 Fonction de Möbius

Définition 34. On définit la fonction de Möbiusµ:N^∗→Zde la manière suivante : µ(1) = 1, µ(n) = 0sinest divisible par le carré d’un nombre premier, etµ(p1· · ·pr) = (−1)^r, si lespi sont des nombres premiers deux à deux distincts.

Proposition 35 (Formule d(inversion de Möbius). Soit f : N^∗ →R. On pose alors g : n ∈ N^∗ 7→ P

d|nf(d), alors on a pour tout n > 1 : f(n) = P

d|nµ(_n^d)g(d) = P

d|nµ(d)g(^d_n).

Lemme 36. Soit K un corps fini, alors il existe un nombre premier p et un entier n∈Ntels que |K|=pⁿ.

Définition 37. Pourn∈N^∗, on noteA(n, q)l’ensemble des polynômes deFq[X](où q=pⁿ) irréductibles unitaires de degrénetI(n, q) =|A(n, q)|.

Proposition 38 (DEV 1). Pour tout n61, on aX^qn−X =Y

d|n

Y

P∈A(d,q)

P. On en déduit quenI(n, q) =P

d|nµ(ⁿ_d)q^d. En particulier, I(n, q)∼ ^q_nⁿ.

4.3 Symbole de Legendre

Définition 39. Soit q = pⁿ où p est un nombre premier impair. On note (F^∗q)² = {x∈F^∗q, ∃y∈Fq, x=y²}.

Proposition 40. (i)On a x∈(F^∗q)² ⇐⇒ x^q−12 = 1.

(ii)|(F^∗q)²|= ^q−1₂ .

Définition 41. On définit le symbole de Legendre (^x_p) pour x ∈ F^∗p de la manière suivante :

x p

=

1 six∈(F^∗q)²

−1six /∈(F^∗q)² =x^p−12 . Proposition 42. Pour tout xety dansF^∗p, on a :(^xy_p) = (^x_p)(^y_p)

Application 43. Le produit de deux non-carré dansF^∗p est un carré, le produit d’un carré et d’un non-carré est un non-carré dansF^∗p.

Corollaire 44. Soitp un nombre premier impair et soit a un élément de F^∗p. Alors

|{x∈Fp, ax²= 1}|= 1 + (^a_p).

2

Théorème 45(Loi de réciprocité quadratiqueDEV 2). Soientpetqdeux nombres premiers impairs distincts. Alors :

p q

q p

= (−1)^{p−12 q−12}

5 Séries formelles

Définition 46. Soit K un corps de caractéristique nulle, on noteK[[X]] l’ensemble des suites (infinies) indexées par N à valeurs dans K, muni des deux opérations : (xi)i+ (yi)i= (xi+yi)i et(xi)i.(yi)i=

n

X

i=0

xiy_n−i

!

n

. C’est un anneau commutatif intègre.

Remarque 47. Si l’on noteX = (0,1,0,· · ·), alors on a X^k = (0,0,· · ·,0,1,0,· · ·)où l’unique 1 est à la (k+ 1)-ème position. Ainsi, tout élément A ∈ K[[X]] s’écrit (de manière unique) sous forme d’un série :A= (ai)i=P

i∈NaiXⁱ. Cette série est la série génératrice de la suiteA.

Exemple 48. (1,1,1,· · ·) =_1−X¹

Application 49 (Nombres de Fibonacci). On considère la suite définie par Fn = F_n−1+F_n−2;F₀=F₁= 1. AlorsF_n= ^{βn+1√−αn+1}

5 oùα=¹⁻

√5

2 etβ =¹⁺

√5 2 . Application 50 (Nombre de Catalan). On considère un produitP =X1...Xn den- nombres, et on veut déterminer le nombrean de parenthésage différents dont on peut munirP pour le calculer par des multiplication successives opérant toujours sur deux facteurs adjacents. Ainsi a2= 1, a3= 2, a4 = 5. On posea0 = 0et et a1= 1. On a alors pourn>1,an= _n^{1 2n−2}_n−1

Développements

1. Polynômes irréductibles deFq[X][38]

2. Loi de réciprocité quadratique[45]

Références

— [C]L.comptet,Analyse combinatoire (tome 1 et 2.

— [FGN]S.Francinouet H.GianellaetS.Nicolas,Oraux X-ENS, algèbre 1.

— [FG] S.Francinouet H.Gianella, Exercice de mathématiques pour l’agréga- tion, algèbre 1.

— [NH2G2]P.Calderoet J.Germoni,Nouvelle histoires hédonistes de groupes et de géométries (tome 1).

— [P] D.Perrin,Cours d’algèbre.

— [S]P.Saux Picart,Cours de calcul formel, algorithmes fondamentaux.

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