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On considère le polynômeP déni par P(x) =x4+ 1

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Academic year: 2022

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ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 3 4 novembre 2013

Exercice I.

Calculer, en utilisant les formules du cours, les sommes : S =

6

X

k=2

3k2+k−2

5 et T =

17

X

k=1

(−1)k 3×2k+1.

Exercice II.

Soita≥0 xé.

Montrer par récurrence que ∀n∈N, (1 +a)n≥1 +na. Exercice III.

On considère le polynômeP déni par P(x) =x4+ 1. 1. L'équation P(x) = 0a-t-elle des solutions ? 2. Le polynôme Qdéni par Q(x) =x2+√

2x+ 1 divise-t-ilP? 3. Quelle(s) remarque(s) pouvez-vous faire ?

Exercice IV.

Soit le polynôme P déni par P(x) =x4−4x3+ 5x2−4x+ 4.

1. Chercher les racines évidentes deP. (ie celles éventuellement égales à 0,1 ,−1,2,−2) 2. Déterminer l'ordre de multiplicité de celle(s)-ci.

3. Montrer que l'on peut factoriser : P(x) = (x−α)kQ(x), avecα,k etQà déterminer.

4. Factoriser complètement P.

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