s=a+it UBER DIE WERTEVERTEILUNG DER RIEMANNSCHEN ZETAFUNKTION.

UBER DIE WERTEVERTEILUNG DER RIEMANNSCHEN ZETAFUNKTION.

V o x

HARALD BOHI~ und BORGE JESSEN

in KOPENHAGEN.

(Zweite M i t t e i l u n g . D a s V e r h u l t e n der F u n k t i o n i m S t r e i f e n I < a _--< f.)

2

Einleitung.

Erster Tell. Das

0 " ~ (~0

InhaltsUbersicht.

Verhalten der Zetafunktion auf einer vertikalen Gerade'n

w ~. Arithmetisch-geometrische Hilfsmittel.

w 2. Erster I-Iauptsatz. Wahrscheinliehkeitsverteilungen auf v e r t i k a l e n ' G e r a d e n . Zweiter Tell: Das Verhalten der Zetafunktion in einem vertikalen Streifen

w 3. Analytisehe Vorbereitungen.

w 4. Erste Anwendung der Hilfssgtze auf die Zetafunktion.

w 5. Zweiter Hauptsatz~ Wahrseheinliehkeitsverteilungen in vertikMen Streifen.

w 6. Anwendung des ersten Hauptsatzes zum Beweis eines Hilfssatzes..

w 7. Beweis 0es zweiten Hauptsatzes.

Anhang. Die Beziehung der Zetafunktion zum Eulerschen Produkt.

Sehlussbemerkung.

Einleitung.

D i e RI~MANNsche Z e ~ a f u n k t i o n ~(s) ist b e k a n n t l i c h eine in d e r g~nzen E b e n e der k o m p l e x e n u s = a + i t definierte e i n d e u t i g e F u n k t i o n , die bis

1 - 31356. Acta mathematica. 58. I m p r i m 6 le 24 n o v e m b r e 193l.

Harald Bohr und B6rge Jessen.

a u f den e i n e n P o l s = i e r s t e r O r d n u n g r e g u l s ist. I n der H u l b e b e n e a > I i s t die F u n k t i o n d u r c h die b e i d e n g l e i c h w e r t i g e n Dars~ellungen

a v

i i

( I ) ~(8) : E ;~..~ = H I - - p ~ - S

b e s t i m m L wo i n der zweiten (der E u L E ~ s c h e n P r o d u k t d ~ r s t e l l u n g ) p ~ die F o l g e der P r i m z ~ h l e n 2, 3, 5 , . . . d u r c h [ s Von dieser zweiten D u r s t e l l u n g uus h a b e n wir in der ersten M i t t e i l u n g I das V e r h a l t e n der Z e t a f u n k t i o n in der Halb- ebene a > I u n t e r s u c h t ; j e t z t sollen die e n t s p r e c h e n d e n E r g e b n i s s e f i i r . d i e grSs- sere H ~ l b e b e n e a > I hergelei~e~ werden.

2

U m die EULERsche P r o d u k t d a r s t e l l u n g b e q u e m e r ausniitzen zu k S n n e n h a b e n wir in der ersten M i t t e i l u n g v o r g e z o g e n an Stelle der F u n k t i o n ~(s) selbst die F u n k t i o n log ~(s) zu b e t r a c h t e n . I n tier H M b e b e n e a > I, wo ~(s) y o n Null vet- schieden ist, m a c h t dies keine Sehwierigkei~; d u r c h

(2) lOg ~(8) = - - E l o g (I

__.p-~S),

n = l

wo ~uf der r e c h t e n Seite log u den H a u p t w e r t des L o g a r i t h m u s bezeichneL ist in dieser H ~ l b e b e n e ein e i n d e u t i g e r , reguliirer Zweig dieser F u n k t i o n e i n d e u t i g bestimmr Soll a b e r log ~(s) bis zur G e r a d e n a = - I u n t e r s u e h t werden, so mils-

2

sen wir uns die H a l b e b e n e a > ~ zuerst a u f g e s c h n i t t e n denken, s o w o h l liings 2

e i n e r Linie, die den P o l s = I m i t der B e g r e n z u n g s g e r a d e n ~ = - I verbindet, wie 2

uuch - w e n n es N u l l s t e l l e n yon ~ ( s ) r e e h t s yon a = ~ I geben s o l l t e - liings

9 I

Linien, welche y o n diesen N u l l s t e l l e n zur G e r ~ d e n ~ = - hinfiihren. U n t e r 2

10g ~(s) in der H a l b e b e n e a > I soll 'im f o l g e n d e n diejenige F u n k t i o n v e r s t a n d e n 2

werden, die m a n aus (2) d u r e h an~lytisehe P o r t s e t z u n g erhiilt, w e n n m a n die 1 H. BOHR und B. JESSEI~, Uber die ~ erteverteilung ~ler Riemannschen Zetafunktion. Erste r

Mitteilung] Das Verhalten der Funktion in der Halbebene ~ I. Acta math. Bd. 54 (I93O) 9 S. 1--35.

Uber die Werteverteilung der Riemannschen Z e t a f u n k t i ( m .

Schn~tte i m m e r uls h o r i z o n t a l e S t r e e k e n w~Lhlt. D a s aus d e r H a l b e b e n e a > I 2 d u r c h A u f s c h n e i d u n g in dieser W e i s e e n t s t e h e n d e offene G e b i e t b e z e i e h n e n wir m i t G.

Mi~ dieser D e f i n i t i o n l~sst sieh das E r g e b n i s tier A r b e i t in zwei S~tzen uussprechen, y o n d e n e n d e r erste die V e r t e i l u n g der W e r t e y o n log ~ ( s ) a u f einer vertikalen Geraden a~ao, der zweite die V e r t e i l u n g der W e r t e y o n log'S(s) in einem vertikalen Stre(fen a~ < a < a.2 beschreib~. W i r g e b e n y o n diesen Siitzen eine etw~s g e n a u e r e F o r m u l i e r u n g als in der ersten M i t t e i l u n g .

E r s t e r H a u p t s a t z . Sei a o > - : D a n n gibt es in der komplexen z : u + i v - I

2

Ebene eine reelle, beschrdnkte, stetige, im T'alle a o > i nirgends negative, im Falle ao ~ i sogar i i b e r a l l p o s i t i v e F u n k t i o n F(z) yon der folgenden Beschaffenheit:

I s t R ( u l < u < u,~, v~ < v < v2) ein beliebiges parallel zu den Koordinatenachsen orientiertes Rechteck, und bezeichnet man m i t L ( T ) die Gesamtldnge de~enigen 1'eil- intervalle von - - T < t < T, in denen log ~(ao+it ) definiert ist und in I~ liegt, so

L ( T )

konvergiert m i t unbegrenzt wachsendem T d e r Quotient -2~T gegen das iiber R erstreckte Integral der F u n k t i o n F(z)."

9 f f

L(T)

. ~ -2 T - F(z) d u dv.

Fiir a o > i w u r d e d i e s e r S a t z in d e r e r s t e n M i t t e i l u n g b e w i e s e n ; w i r be- t r a c h t e n d e s h a l b im f o l g e n d e n n u r d e n F~lI a o _--< I. I n d i e s e m Full ist der Sutz eine Verschis eines f r i i h e r e n B o ~ s c h e n Sutzes, w o n a c h die W e r t e y o n log ~(ao+it) in der k o m p l e x e n E b e n e iiberall d i c h t v e r t e i l t sind. ~

Z w e i t e r H a u p t s a t z . Sei -2 < a~ < a.~ und sei a i m I Falle a 1 > i ein Weft, der von log ~(s) im Streifen a I < a < a~ angenommen wird, i m Falle a 1 ~ I eine b e l i e b i g e komplexe Zahl. Ferner bezeichne N a ( T ) die A n z a h l dev (in ihrer Viel- f a e h k e i t gezdhlten) a-Punkte yon log ~(s) in demjenigen Tell des Gebietes G, der

H. BoHI~, Zur Theorie der R(emannschen Zetafunktion im kritischen Streifen.

Bd. 4 ~ (I915). S. 67--IOO, S. 73.

Act~ m~th.

4 Harald Bohr und BSrge Jessen.

dem Rechteck a~ < a < o~_, - - T < t < T a~geh6rt. D a n n ]convergiert f i i r T---*

der Quotient 5~(I_') 2 21' gcgcn eine endliche, positive Z a M .

Fiir a~ > I wurde dieser Satz in der ersten Mitteilung bewiesen; wir be- traehten deshalb im folgenden nur den Fall ~ ~ I. I n diesem Fall ist der Satz eine Versch~,~rfung eines friiheren BoHR--BonmLAsDAvsehen Satzes, wonach

o < li,u iim

~ : ~ 2 T ' r - - , ~ 2 ( 1 '

Solange die RIE~A~vNsche Vermutung fiber die Nullstelleu der z e t a f u n k t i o n unbewiesen ist, ist das Gebiet G, in dem wir die Funktion log ~(.~.) betrachten, nicht bekannt. Insofern liisst sich also sagen, dass tier b~halt der beiden Haupt- siitze yon der Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser Vermutung abhiingt. Um so wichtiger erscheint es deshalb, hervorzuheben, dass der Beweis der beiden Haupt- s~,itze ohne die l~eranziehung irgend ether Vermutung fiber die Nullstellen zu- standegebracht ist. Itiittea wir an Stelle der Funktion log ~(.~) die Funktion ~(s) selbst in der Halbebene ~ > I betrachtet, so wi/oren wir zu den folgenden zwei

2

endgiil~igen, aber tro~zdem weniger aussagenden Siitzen gekommen'~:

Analogo.n de.~ cr.~te~ Ilaul)tsatzes. Set ao > -" I Dann gibt es in der kom-

2

plexen z = - u + iv-Ebene eine reelle, beschriinkte, stetige, im Falle % > I nirgends negative, im Falle So-<-I fiberall, ausser im P u n k t e z = - o , posi- tive Funktion /_"*(z) yon. tier folgenden Beschaffenheit: Ist B(u~ < u < u,,., v~< v < v,.,) ein beliebiges parallel zu den Koordinatenaehsen'orientiertes Rechteck, und bezeichnet man mit L * ( T ) die Gesamtliinge derjenigen Teilintervalle yon - - T < t < T , in denen ~ ( a o + i t ) in 1~ liegt, so .konvergiert mit unbegrenzt wach- sendem 7' der Quotient /~_*(T) 2 I' gegen alas tiber B erstreckte Integral der Funk- tion F* (z):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vgl. H. Bo~rr foe. cir. ( F u s s n o t e S. 3) S. 72--73. W i r g e b e n i i b r i g e n s i m f o l g e n d e n e i n e n z u m T e i l n e u e n Beweis d i e s e s Sat.zes.

In d e m FM1 der e r s t e n M i t t e i l u n g s i n d d i e s e Sfitze u m n i t t e l b a r e F o l g e r u n g e n a u s d e n 9 b e i d e n H a u p t s i i t z e n ; i n d e m h i e r b e t r a e h t e t e n F a l l s i n d einige, j e d o e h r e c h t n a h e l i e g e n d e ~ b e r - l e g u n g e n n S t i g u m die b e t r e f f e n d e n Siitze :~bleiten zu k g n n e n : In k e i n e m tier b e i d e n F~ille l a s s e n sich "tber a u s den S/itzen tiber ~:s~ s e l b s t , die S~itze tiber log ~is) folgern.

{~ber die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion.

lim -- F*(z)

du dv.

T ~ o o 2

/r

Analogon des zweiten Haul)tsatzes.

Sei I < a~ < a~ und s~i a i m Falle a~ > I 2

ein Wert, der yon ~(s) im Streifen a~< a < a.~ angenommen wird, im FMIe a~ ~ I eine beliebige yon Null versehiedene komplexe Zahl. Ferner bezeiehne

N*(T)

die Anzahl der (in ihrer Vielfaehkeit gezi~hlten) a-Punkte yon ~(s) in dem Reeht- eek a~<a<a.,,

- - T < t < T .

Dann konvergiert fiir T--+~ der Quotient NT~(T)

- 2 T

gegen eine endliehe, positive Zahl.

Dieser letzte Satz wird natiirlieh dureh den BoK~-LA~nA~Jsehen Satz ergiinzt, wonaeh, wenn a = o 'ist, der Quotient

2g~(T)

fiir T--*~ gegen Null konvergiert.

e T

Der Beweis der beiden Hauptsiitze wird im wesentlichen dureh den Beweis- gang der ersten Mitteilung erbracht; doeh erford.ert in dem jetzt vorliegenden Fall die Durehfiihrung der Betraehtungen die Heranziehung etwas sehwierigerer ttilfsmittel. Im Prinzip beruht der Beweis auf einem Vergleich der Zetafunk- tion mit dem Absehnitt des EuLERsehen Produktes; in der Halbebene 0 " ~ I ist dieser Vergleieh, wegen der gleiehmiissigen Konvergemz der Reihe (z) in jeder Halbebene a > I + e , ohne weiteres mSglich; in der HMbebene a > - b e r u h t I er

2

darauf, dass auch in jeder Halbebene a > _I + ~ die Reihe (2) in einem gewissen,

2

nur sehr abgesehwi~chten Sinn gleiehmgssig gegen log ~(s) konvergiert. Bezeich- hen wit fiir irgend ein N mit /~'~v(s) die, sogar in der Halbebene a > o , reguli~re Funktion

N

= - E log

mit

B~v(s)

die clureh die Relation

2V

log' ~(s) = -- ~, log

(I --p~*)+ B~,(s)=F~v(s) + R~(s)

' / t ~ l

definierte, i m Gebiete G regulgre Funktion, so gilt der folgende Satz, der eine

H a r a l d Bohr u n d BSrge Jessen.

in a gleichm~issige K o n v e r g e n z i m M i t t e l v o n F~v(,s') g e g e n l o g ~(s) in j e d e r H a l b - e b e n e a > .- + e a u s d r f i c k t . I

2

Satz A. F s sei I < % < I u n d d uml ~ positive Zahlen; ferner sei jiTr jeden 2

W e f t yon to, - - o o < t o < + ~ , mit H ( d, to) der HaIbstrei fen a > ao, to - d_ < t < to + d

2 2

bezeiehnet. Wird dann fiir jedcn W e f t yon N mit 99=~-(to) diejenige in - ~ < to< + stiiekweise konstante Funktion bezeiehnet, die gleieh o ist, sobald t i ( d , t o ) i n G gelegen ist und in H ( d , to) die Unfleiehung

I I <

stattfindet, u~d die sonst gleich x ist, so strebt fiir N--*o~ dib Gr6sse

"1"

@; ... ,~_ ~ -~ i~' lim I

J"

~ " (t~ d t o

- - T

gegen Null.

A l l g e m e i n g e s p r o c h e n : Fiir h i n r e i c h e n d g r o s s e W e r t e v o n N b e s t e h t die U n g l e i c h u n g ] R x ( s ) [ < 6 in a l l e n H a l b s t r e i f e n H ( d , t o ) a u s s e r in e i n e r M e n g e , d e r e n r e l a t i v e s M a s s d)~v'beliebig klein ist.

I n e i n e r u n w e s e n t l i c h s p e z i e l l e r e n F o r m ist d i e s e r S a t z von BorlR b e w i e s e n w o r d e n ~ ; eine e i n f a c h e F o l g e r u n g d a v o n geniigt5 u m d e n B e w e i s des e r s t e n ttn.upt- s a t z e s zu f i i h r e n ; fiir d e n B e w e i s des z w e i t e n H a u p t s a t z e s w e r d e n a u s s e r d e m die f o l g e n d e n S/i.tze n S t i g .

Satz B. _Es sei

I

< a o < I m~d d ei~e positive Zahl. W i r d dann Ji'ir irgend 2

eine positive Zahl K m i t ~pA,(to) di~jenige in --or < t o < + ~ stiiekwei.~'e ko~stante Funktion bezeieh~wt, die gleieh o ist, sobahl der Halbstre~fen H ( d , to) in G gelegen

"ist und in H(d, to) die Ungleiehung

Ilog. 0) l < K

i H. BO~R, loe. cir. (Fussnote S. 3) S. 82. Dcr Satz ist. hier nut fiir den speziellen F,~ll d= x bewiesen und mit Besehr/inkung auf die Halbebene t > o . Wit wiederholen den Beweis unter den allgemeineren Annahmen sehon deshalb nieht, weil aus dem angegebenen 8pezialfall der allge- meinere Satz unmit~lbar folgt.

~Jber die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion.

stattfindet, und die sonst gleieh I ist, so strebt fiir K - - - ~ die GrSsse

T

~ lira

~P~(to) dto

T--* oo - - T

gegen Null, u~d zwar jedenfalls so stark wie e -K, d. h. es bleibt f~Tr K - - ~ die Gr&'se e~"q~K beschrdnkt.

Allgemein g e s p r o c h e n : Es besteh~ fiir grosse W e r t e yon K die U n g l e i e h u n g ]log~(s)l < K in allen HMbstreifen H(d, to) ausser in einer Menge, deren relati- ves Mass WK hSchstens yon der G r 5 s s e n o r d n u n g e - K ist.

Satz (L E s s d - < a o < I I und d uud ~ positive Zahlen; ferner sei a eine

2

gegebene komplexe Zahl, u n d e s sei fiir jeden Weft yon to mit n a N (d, to) die Anzahl der (in ihrer Vielfachkeit gezdhltenJ a-Punkte yon F~.(s) in dem Halbstreifen H(d, to) bezeichnet, mit ha(d, to) ~ die Anzahl der (ebenfalls in ihrer Vielfachkeit gezhTdtenJ a-Punkte yon log ~(s) in demjenigen Teil yon H(d, to), der dem eebiete G angehSrt.

Dann gibt es hierzu eine positive Zahl 0~0(ao, d, ~, a) so, dass folgendes stattfindet:

Bedeutet Z(to) i r g e n d eine in - - ~ < t o < + ~ stiickweise konstante Funktion, die nut die Werte o und I annimmt und fiir die

T

. . . . lim I 2 T ~ Z (to) dto

- - T ,

< 0

ist, so gelten .flit T--) ~ die folgenden Ungleichungen:

I) Es ist fiir jeden Weft yon N

2 ) Es ist

T l i r a I J ' N

T--| na (d't~176176

if

T

l i m ~ta (d, to) z (to) d t o --T

Allgemein gesproehen: In jeder Menge yon H a l b s t r e i f e n H(d, to), deren relatives Mass n u r h i n r e i c h e n d klein ist, ist die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , m i t der irgend

H~rald Bohr und BSrge Jessen.

eine der Funktionen _~(s) bzw. log~(s) den Wer~ a ~nnimmt, belieNg klein, und zwar gleichmiissig in N.

Mit Hilfe der Siitze A - - C lassen sieh die Beweise der beiden Haupt.sfitze in reeht genauer Anlehnung un die Entwicklungen der ersten Mitteilung durch- fiihren. Die Untersuchung zerf~llt in zwei Teile; in dem ersten wird der erste, in dem zweiten tier zweite H~upts~tz bewiesen. Schliesslieh wird in einem An- hang, durch Weiterfiihrung des Beweises des S~tzes A, tier Beweis der S~Ltze B 9 und C nuchgeholt.

I n der gegebenen Formulierung erscheinen die beiden Hauptsittze als Exi- stenzs~tze. Der erste behauptet, dass die Funktion log ~(s) auf einer vertikalen Geraden mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in der Ndhe eines jeden Punktes kommt; der zweite behauptet, dass in einem vertikalen Streifen dieselbe Funk- tion jeden W e r t mit einer bestimmten Wuhrscheinlichkeit annimmt. Von der Berechnung d i e s e r W~hrscheinlichkeiten ist aber dabei keine Rede. Fiir den F~ll des ersten Iiauptsatzes ist nun zu bemerken, duss der Beweis dieses S~tzes, wie er u n t e n geffihrt wird, zugleich eine Berechnung der erwithnten Wahrscheinlich- kei~ gestattet. Fiir den Fall des zweiten H~uptsatzes ist dies ~ber nicht der Fall; der Beweis dieses S~tzes ergibt nur die Existenz tier Wahrseheinliehkei~.

Es w~re ~ber sehr wohl m5glich gewesen, auch den Beweis des zweiten H~upt- satzes so zu fiihren, dass er eine Berechnung der W~hrscheinlichkeit gestattet.

H~erauf soll in einer Schlussbemerkung , die sich auch auf die erste Mitteilung bezieht, kurz eingegangen werden. Das Ergebnis der Arbeit liisst sich danach so ~ussprechen: Die Untersuchung gib~ zwar keinen neuen Beitrag zur Ent- seheidung tier R i E ~ i ~ s c h e n Vermutung, d. h. zu dem Problem der Verteilung der Nullstellen der Zetafunktion; sie zeigt uber, dass es mSglich ist lmabhiingig y o n dieser Vermutung die iibrige Werteverteilung der Funktion endgtiitig zn beschreiben.

E r s t e r Teil.

Das V e r h a l t e n der

Z e t a f u n k t i o n a u f

einer vertikalen Geraden o ~ o0(~ < o0 < i ) .

w i. Arithmetisch-geometrische Hilfsmittel.

W i e schon gesagt, beruht die folgende Untersuchung der Zetafunktion auf den3 durch die S/s A C der Einleitung erm6glich~en Vergleich der Funktio~

log ~(s) mit dem Abschnitt

9 0 b e r die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion.

N

F , , (.,) . . . . ~ , lo~ (~ - v T ' )

~1"- 1

tier R e i h e (2). W i r b e t r a e h t e n eine in diesem e r s t e n T e i l f e s t g e g e b e n e verti- kale G e r ~ d e a : - ; go, I < ~ , ) ~ I; a u f dieser G e r a d e n w i r d F;v(s) als F u n k t i o n

2

yon t d u r e h die S u m m e

1;h-(%+it) ~ , tog (I--1,,7 ','o+"~)

d a r g e s t e l l t . I n d e m wir

setzen, k S n n e n w i r s e h r e i b e n

t~ - I.

- - t l o g p , , 2 7~u,,(t)

(3) l .~- (Oo + it) . . . . ~ lo,.. ( t - - . - " o d'-~~,',, ( % . ,,

H - . 1

A u f diese S m n m e w e n d e n wir die, a r i t h m e t . i s e h - g e o m e t r i s e h e M e t h o d e d e r ersten M i t t e i l u n g an, i n d e m wir gleichzeitig m i t (3) die F u n k t i o n

N

(4) ,~'., (01, 0. 2 . . . 05"1: -- Z lo~(I ~)n e n)

I1" 1

der N Ver:,tnderlichen 0j, 0,, . . . Ox b e t r a e h t e n , die aus (3) e n t s t e h t , w e n n m a n die y o n der einen V e r i i n d e r l i c h e n t abh:,ingizen G r 5 s s e n .!z~(t), !.t,,(t),...,/t~x(t) (lurch u n a b h ~ n g i g e (reelle) V a r i a b e l n ersetzt. Es geniio't offenbar, w e n n w i r S.v(O 1, 08 . . . . , O;v) in d e m N - d i m e n s i o n a l e n E i n h e l t s w i i r f e l Q.x : o < 01 < i. o < 0,, < I, 9 .., o _-< 0.v < I b e t r a c h t e n .

D e r arithmetische "_l'eil d e r M e t h o d e b e s t e h t darin, dass m a n d u r c h H e r a n - z i e h u n g des f o l g e n d e n KRO~-ECK~J~-W~:~-Lscllen Satzes im S t a n d e wird, d e m zu- niichst n u t r e i n f o r m a l e n Z u s a m m e n l m n g zwischen d e n F u n k t i o n e n F,x(ao+it) u n d S.v( 1, 0.2, . 0x) e i n e n reMen Sinn zu geben, d e r u n s ermSo'licht die U n t e r - s u e l m n g der W e r t e v e r t e i l u n g von l"v (% + it) d u r c h die der F u n k t i o n Sx(01, 0.,, ..., 0x) zu ersetzen.

2 - - 3 1 3 5 6 . Acta mathematlca. 5g. I m p r l m 6 le 24 n o v e m b r o 1931.

10 ttara.ld Bohv und BSrge /lessen.

KRONECKER-V~EYLscher Satz: Es seien ~ , k~, . .., ~v reelle, von einander linear unabhh'ngige Zahlen, d. h. es bestehe keine Relation c ~ + ce~ + ... + e~vkv=o mit rationalen, nicht sh'mtlieh versehwindenden e~, u n d e s sei t ein reeller Para- meter. Ferner bezeichne A die Teilmenge des N-dimensionalen ~Einheitswiirfels

Q ~ : o ~ x ~ < I , O ~ x e < ~ , . . . , o ~ x N < I, die aus der Geraden

x l - ~ t ~ , x2=tL2, . .., x ~ - - t s --oe < t < +or entsteht, wenn man die Koordinaten ihrer Punkte rood. I reduziert. Dann liegt diese Menge A i~, dem folgenden Sinn in'Q~v iiberall glelch dicht." JEs bedeute Y2 eine beliebige im JORDa~schen Sinne messbare Teilmenge von QN mit dem (N-dimen- sionalen) Mass mr?," ferner bedeute G ( T ) fiTr jeden W e f t yon T die Menge der- je~igen Werte v o n t im Intervalle - - T < t < T, fliir welche der entsprechende Punkt von A der Menge t? angehSrt, und es bezeiehne miG(T) bzw. mvG(T) das inhere bzw. h'ussere JoRDA~sche Mass dieser (linearen) Punktmenge G(T). Dann bestehen J~ir ;I'-~ ~ die Gieichunge~

lim miG(T) _ lim m~./G(T) _ m ~ .

Die Anwendung dieses Satzes in dem vorliegenden Fa!l beruht darauf, dass fiir jeden Wer~ yon N die Zahlen -- log p~____, log p~_, . .., log p~-, wegen der

2 ~ 2 ~ 2 ~

eindeutigen Zerlegbarkeit einer ganzen Zuhl in Primfaktoren, linear unabhi~ngig sind. Ubrigens wird der Satz nur uuf solehe Mengen s verwende~, fiir welehe bei jedem T die entspreehende Teilmenge G(T) im aogDANsehen Sinne messbar ist, ja sogar aus endlieh vielen Intervallen besteht.

Der geometrisehe Tell der Methode besteht in einer Untersuehung der Werte- verteilung der Funktion Sx(0~, 0e, . . . , 0~v), wenn die Yariabeln 01, 02, . . . , 0~- un- abhgngig yon einander die Intervalle o ~ 0,~ < ~ durchluufen, tIierbei durch- laufen die GrSssen z~-~---log (I:-pn ~0ei-~s%) geschlossene, konvexe Knrven, j ede iibrigens mit zwei auf einander senkrechten Symmetrieachsen; den Parameter- darstellungen entsprechen bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung'en auf diese Kurven. Die Aufgabe der Untersuehung der Werteverteilung der Funktion S~.(O1, 0 ~ , . . . , 0~v) ist hiermit in eine rein geometrische iiberfiihrt, die wir in einer gemeinsamen A rbeit 1 als Addition yon konvexen Kurven mit vorgegebenen Wahr-

i H. BOHR og B. JESSEN, O m S a n d s y n l i g h e d s f o r d e l i n g e r ved A d d i t i o n af k o n v e k s e Kurvm'.

D. K. D. Vidensk. Selsk. Skrifter. 8. Rmkke X I I , 3 ([929), S. 1--82.

Uber die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion. 11 scheinlichkeiten bezeichnet h~ben. Aus dieser Arbeit zitieren wir den f o l g e n d e n Sutz, y o n dem iibrigens n u r der Bunk~ 2 im folgenden verwendet wird. 9

Satz I. I) Es bildet in der komplexen z ~ - u + i v - E b e n e fiir jeden W e f t yon N der Wertevorrat der .Funktion S~-(O i, 0~,..., 0~) ein abgeschlossenes Gebiet, das fiir N ~ - I in eine einzige konvexe Kurve ausartet, wdhrend es fiir N > I entweder yon einer einzelnen geschlossenen konvexen Kurve Y~y begrenzt wird, oder abet yon zwei gesch!ossenen konvexen Kurven Y x und Lv, yon denen Izv ganz im [nneren von Yzr verlduft. YN verlduft ganz im Tnneren yon

YN+I,

IN+I (falls sie existiert) ganz im [nneren von l~v; in allen Fdllen enthh'lt Yzr den Nullpunkt im Inneren.

N

Das Gebiet besitzt die beiden Symmetrieachsen v = o und u : -- ~ log ~I----29n2 ~176 2) Bedeutet R irgend ein parallel zu den Koordinatenachsen orientiertes Recht- eck, d. h. eine Punktmenge, die dutch Ungleichungen der Form u~ <u<u,~, v~ < v < v 2 definiert ist, und bezeichnen w i t mit t2x die Punktmenge im N-dimensionalen zEin- heitswii~fel QN(o _--< O~ < i, n = I ,

2,..., N)

in der der Punkt "SN(O~, 0,,, . . . , 0~-) dem Rechtecke R angehSrt; dann gilt

~) Die Punktmenge t~:~ ist im Joz~oANschen Sinne messbar; w i t nennen ihr (N-dimensionales) Mass W~v(B) die Wahrseheinlichkeit dafiir, dass S x (Oa, 0_~,.. :, O~v) dem Bechtecke R angehSrt.

b) Fiir hinreichend grosse N ldsst sich W~y (R) als Integral einer beschrSnkten, stetigen Punktfunktion l~v (z) darstellen :

f f

= u d v .

t t

I n V e r b i n d u n g m i t d e m K ~ o ~ c x ~ - W ~ Y L s c h e n Satz geniigt dieser Satz m n fiir .]eden W e r t yon N die Wertever~eilung der F u n k t i o n FlV(ao+it) zu beschrei- ben. Fiirl die A n w e n d u n g a u f die F u n k t i o n l o g ~ ( a 0 + i t ) wird aber ein weiterer Satz n5tig, der das V e r h a l t e n der W e r t e v e r t e i l u n g yon Szr 0 ~ , . . . , O~v) bei un- begrenzt wachsendem _N beschreibt.

Satz I I . I) Fiir hinreichend grosse Werte von N tritt in Satz I, I stets die erste der beiden erwdhnten 3~6gliehkeiten ein, die wonaeh der Wertevorrat yon Sx(Oi, O~ .. . . , ON) yon einer einzelnen gesehlossenen konvexen Kurve Y~v begrenzt .ist.

Bezeiehnen wir mit 7~" den kleinsten Abstand zwischen dem Nulll)unkt und einem Punkt yon Y~v, so gilt lim 7N-~ ~ .

12 Harald Bohr und BSrge Jessen.

2) a) Fiir jedcs Rechteck R (u~ < u < m, v z < v < v,_,) ],'o~zvcrgiert fib" N--~ ~ die Wahrseh'einlieh~:eit W,x ( R) gege~ einen endliehe~, positiven Grenz~vert W ( R).

b) Die I,~t~ktio~ W ( R ) liisst sieh als Integral ei~mr beschrh~nkten, stetigen Pm~ktfunktion l"(z) darstellen:

(f

w ( z , ' ) : : a.,, a,.,.

L

1"(~') Jut iiberall positiv, uHd ihr iiber die ga~ze Ebe~e crsb'cckte Intt;gral ist gleich I; sic ist die Grcnzfi~ktio~ fiir N - - - ~ der gleichmh'ssig konvergente~ l"olge yon l'u,ktfi~&tio~wn l" x (z).

I m f o l g e n d e n wird yon diesem Satz n u r der P u n k t 2 benutzt.

Es sei bernerkt, d~ss w~ihrend Satz I unabh:,tngig v o n d e r V o r a u s s c t z u n g -- < a o ~ z besteh t, i n d e m er allgemein ffir j e d e n W e r t von % > o r i c h t i g ist, so I 2

ist fiir Satz I I diese V o r ~ u s s e t z u n g sehr wesentlich. Bei dem Beweis dieses Satzes, wie er in der zitier~en A r b e i t gefiihrt wurde, w u r d e niimlich yon den f o l g e n d e n beiden T ~ t s a c h e n w e s e n t l i c h G e b r ~ u c h gezn~cht: es musste fiir den b e h ' a c h t e t e n W e r t von a 0 von den beiden Reihcn ~ pT~ ~ und ~ pj""~, die erw

n - 1 tt-- 1

divergent, die zweite aber k o n v e r g e n t s e i n .

w 2. Erster Hauptsatz. W a h r s c h e i n l i c h k e i t s v e r t e i l u n g e n a u f vertikalen Geraden.

])as Ziel des v o r l i e g e n d e n P a r a o ' r a p h e n ist der Beweis des f o l g e n d e n Satzcs:

Satz I I I . _E.~ sei l~(ul<u<u~, v~<v<v,.,) tin Bechteclc i~ der z---u+iv-Ebene, und es bezeich~e L ( T ) (lie GesamtlSnge de~jenige~ Teilintervalle ,con - - I ' < t < T, iJ~ denen log r~(ao+it) defniert ist und in R liegt; dam~ gilt."

L ( T ) I) Es konvergiert mit unbegrenzt wachse~dem 7' der Quotie~t-z T- gegeu eine~ bestimmtcn Grenzwert; wit ~en~zen ih~ die Wahrschei,nlichkeit daft'it, dass log ~(ao+ it) dem Reehtecke awehb'rt.

2) E; ist dieser Grenzu~ert gleieh der obcn erklh'rten Zahl IV(R) und somit als Integral der besehrSukten, stetigen, ffberall positiven Funktion _~'(z) darstellbar.

[','ber die Werteverteilung der Riemannsehen Zetafunktion. 13

Wit ncJ~nen l"(z) die W a h r s c h e i n l i c h k e i t , m i t dcr log~(%+it) i~ dcr N d h c des P u n k t e s z kommt.

Dieser Satz besagt etwas m e h r als der erste H a u p t s a t z der Einleitung, L ( T )

indem er den Grenzwert~ yon 2 I ' mit der W e r t e v e r t e i l u n g der F u n k t i o n e n Sx(0,, 0._,, . . . , 0x) in Z u s a m m e n h a n g stellt. Dass das fiber die ganze Ebene er- streckte I n t e g r a l yon

l"'(z)

gleich I i s t , ist in dem ersten t ] a u p t s a t z , wie er in der E i n l e i t u n g formuliert wurde, n i c h t u n m i t t e l b a r enthMten.

Beweis. W i r beweisen zuerst den entspreehenden Satz fiber die F u n k t i o n e n

s,',,= (~o + ,:t) . . . . Z lo,.. (~ -p,7~o

~,-,,,,,~,~,!),

n - - 1

dass, wenn

L:v(T)

die L~inge derjenigen Teilintervalle yon -- T < t < T bezeich- net, in denen

1,'x(oo+

it) dem Rechteck R angehSrt, die L i m e s g l e i c h u n g

(5) lint L-~- ! 7')

r--| 2 T :- W.v(H) besteht.

in der

Es bedeute wie oben $2y die Teihnenge yon

(d~v(o<-O,<

I, .,~--i, 2, . . . , N),

i .

9 . 9 . . ~ ~ 9 - O ~ 2 H 0

~s',-/0,, 0o, 0~) ~ - F , l o g ( ~ - n ~ ' ")

? / : = 1

in R liegt; nach Satz I, 2 a ist s im JORDANschen Sinne messbar, u n d ihr Mass ist I! x( ); dass ffir i r g e n d einen W e r t yon t der P u n k t R

l~.(ao+it )

dem Rechteck angehSren soll, ist n u n d a m i t gleichbedeutend, dass der aug dem P u n k t

/

2 ~ ' 2 7 ~ ' ' " " 2 ~ ]

dureh R e d u k t i o n der K o o r d i n a t e n mod. I entstehende P u n k t von Q~v in .C2,v liegen soll. Da die Z ahlen -- log p~, _!olg_p~, . . . , __l~ p,v linear unabh:,tngig sind, wird- somit (5) eine direkte F01ge des KRO.~ECKEmWEYLsehen Satzes.

Der Beweis des Satzes I l I gesehieht n u n dureh den Grenzfibergang N-~oo.

W i r bedienen uns hierbei einer e i n f a e h e n F o l g e r u n g des Satzes A der Einleitung, die wir der Bequemliehkeit hMber als besonderen Satz formulieren.

14 H~rald Bohr u n d Btirge Jessen.

Satz k*. ~ s

s e i e n e und ~ beliebige positive Zahlen. Dann gibt es hierzu eine Zahl N* mit folgender Eigensehaft: Bezeichnen wir fiir irgend ein N ~ N*

raft lzc(T) die Gesamtldnge de~enigen Teilintervalle y o n - T < t < T, in denen

log ~(a 0 +

it) existiert und die Ungleichung

Ilog

~(ao +it)--.F~(ao +it) l ~ stattfindet, so gilt fiir T--)~

(6) lim

l~v(T)

B e w e i s . W i r w~hlen ~ ~ u o ~ ~o u n d d b e l i e b i g ; d u n n geniigt es N* so

2

gross zu w~hlen, d~ss fiir

N ~ N*

im Sinne yon S~tz A die U n g l e i c h u n g O ~ <

besteht.

Mit Hiife dieses Sutzes l~uft jetzt der Beweis des Satzes I l i folgendermas- sen zu Ende: Es sei s ~ o beliebig gegeben. W i r b e t r a c h t e n zwei achsenp~rul- lele Rechtecke Ri u n d By, die m i t R den Mittelpunk~ g e m e i n s a m huben, u n d yon denen /t~: innerh~lb R liegt, w~hrend / t in /~y gelegen ist; n a c h Satz I I , 2 b k 5 n n e n wir /t~ u n d /ty so nuhe un R w~hlen, duss

W ( R ) - - e < W(R~) < W(R) < W(Ry) < W(R) + ~.

W i r bezeichnen m i t (~ den kleinsten Abs~und zwischen einem R ~ n d p u n k t yon R u n d einem l~andpunkt yon Bi oder Ry, bestimmen dan~ch zu den Z~hlen e u n d n~ch dem Sutze A* eine entsprechende Zahl

N*

u n d wi~hlen schliesslich (S~tz I I , 2 a) ein N ~ N* so gross, duss gleichzeitig

werden.

(7)

D a n n ist erstens

W ( ~ ) -- 2 ~ < W~(R~.);

I w ( n y ) - w~, (ny) l <

w ~ ( R y ) < w ( n ) + 2 ~

U n d Zweitens ist es, fiir j e d e n W e r t - y o n t fiir den log

~(ao+it)

existiert u n d I log ~(~o + it) - F ~ (Oo + it) I <

ist, d~mit

log~(ao+it )

in R liege, n o t w e n d i g duss

F~v(ao§ )

in By liege, u n d h i n r e i c h e n d d~ss

F ~ ( a o § )

in R~ liegt. Bezeichnen wir also m i t

LN, i(T)

u n d L~voy (T) die L~nge d e r j e n i g e n Teilintervalle von - - T < t < T in denen F~v(a o +

it)

Uber die WerteverSeilung der Riemannschen Zetafunktion. 15 dem R e c h t e c k Be bzw. d e m R e c h t e c k R v a n g e h S r L so gilt m i t der B e z e i c h n u n g des Satzes A* fiir j e d e n W e r t y o n T

n~v,~(T)--llv(T) <= L(T)< LN, v(T)+ lz.(T).

D u r c h Division m i t 2 T u n d A u s f i i h r u n g des G r e n z i i b e r g a n g e s T--~ ~ e r g i b t sich h i e r a u s nach (5) u n d (6)

W~. (R~.) - - ~ < lim L (T) < lira L (T) u n d somi~ nach (7)

W ( B ) _ 3 e < lira

L(T)< 1-i~mL(T)

< W ( R ) + 3 e .

T ~ 2 / T = 1 , - - . ~ 2 T

D a aber e beliebig war, f o l g t h i e r a u s

lira

L(T) ~ L(T) W(It),

~ / ' ~ 2 ~ - - T--~11111 --m2T - -

w o m i t der Satz bewiesen ist.

Z w e i t e r T e i l . D a s V e r h a l t e n d e r Z e t a f u n k t i o n in e i n e m v e r t i k a l e n S t r e i f e n ~ < ~ < ~.~ < ~ < i , a~ < ~ .

w 3. A n a l y t i s e h e V o r b e r e i t u n g e n .

Fiir den Beweis des zwei~en I-I~uptsatzes benStigen w i t ausser den Siitzen A - - C der E i n l e i t u n g einige allgenleine Hilfssis iiber ~nalytisehe Funk~ionen.

I n der ersten M i t t e i l u n g w u r d e n diese Si/tze m i t I-Iilfe des MONTELsehen Aus- w~hlsatzes u n d des R o u c ~ s e h e n S~tzes bewiesen; es w u r d e ~ber b e m e r k L dass m a n die Beweise ~ueh mi~ H i l f e b e k a n n t e r U n g l e i e h u n g e n wie der yon JE~sE~

sehr leieh~ fiihren kSnnte, u n d dass diese B e w e i s m e t h o d e d e n Vorteil h g t t e Ab- sehi~tzungen fiir die in den I-iilfssiitzen a u f t r e t e n d e n Gr5ssen N 0 u n d m o zu liefern.

Fiir das f o l g e n d e benStigen w i t diese Absehis miissen deshalb die tlilfs- sis yon N e u e m beweisen. Die Beweise w e r d e n d u t c h H e r a n z i e h u n g der f e l g e n d e n klassisetlen Siitze g e f i i h r ~ :

JE~vszmche Formel.

Es sei

f(z)

eine in einem K r e i s e

I z l < R

^regul~ire

F u n k t i o n der k o m p l e x e n VerKnderlichen z, die fiir z = o n i c h t verschwindet.

16 Harald Bohr und BSrge Jessen.

W i r d da,nn fiir irgend ein r, o < r < R , m i t Zl, z . , , . . . , z~ die im Kreise [z[_-- < r gelegenen Nullstellen yon f ( z ) bezeichnet, so gilt

'),Tg

If(o) l~" i

f

log Iz,~o..;z,,I- 2~ log If(re'~

0

(hierbei ist jede Nullstelle so oft mitzuz~hlen, wie ihre -Vielf~chkeit angibt).

CARATH~ODO~Ysehe Ungleiehung. Es sei f ( z ) eine in einem Kreise [z[ < ~o~

regul~re F u n k t i o n , deren reeller Tell ~ f ( z ) in [ z [ ( q ~ n a c h oben beschr~nkt ist, etw~ m i t tier oberen Grenze 2//. D a n n gilt in jedem kleineren Kreis [z[ ~ Q < Q1 die U n g l e i c h u n g

Ql -- o Q1 - - Q

W i r f u n g e n m i t dem folgenden Hilfss~tz an.

Hilfssatz 1. E s sei z - - u + i v eine komplexe VerSnderliche, o < Q < i und k eine positive Zahl. D a n n gibt es hierzu zwei reelle Zahlen b = b (~, k) > o und c = e ((~, k), so dass folgendes stattfi~det: Bedeutet f ( z ) irgeud ei~Te in I zl < i regu- liire 1,'unktion, f i i r die If(o) l ~ k ist, so be.r f i i r die A n z a h l N der (in ihrer

Vielfachkeit gezShlten) N~dlstellen yon f ( z ) in I z [ ~ ,o die Absehfftzung

(s)

I~1<1

B s w e i s . Aus der JE~csE~schen F o r m e l folgt, d~ss fiir q < r < I die Un- gleichung besteht

2 z

/

N log r ~ ~ _ log [ f ( r d ~ d O - - log k.

Q 27r

0

H i e r a u s f o l g t durch Multiplik~tion m i t r u n d I n t e g r a t i o n yon 0 bis I, wenn m i t B > o u n d C reelle GrSssen bezeichnet werden, die n u r yon ~ u n d k abh~ingen, eine U n g l e i c h u n g

N =~ log'

If(z) ldu dv + C,

q<lzl<l

0ber die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion. 17 d. h. aber, w e g e n der b e k a n n t e n U n g l e i c h u n g 1

( I - - 0 2 ) . l o g I f ( z ) [ p < l z [ < l

eine U n g l e i c h u n g

i ( f

d u d v < log y ~ ( I _ _ Q 2 ) , I f ( z ) l d . d v ,

q < l z [ < l

:Y<=blog f f ]f(z)]dudv+e

e < l z l < l

m i t n u r von Q u n d k a b h ~ n g i g e m b > o u n d e. U m s o m e h r gilt d a n n fiir diese W e r t e b > o u n d c die U n g l e i c h u n g (8).

Corollar. Ist die Funktion f ( z ) in I z l < i numeriseh <= K, so gilt fiir N die Absehdtzung

N<=blog. z K + e .

N u n m e h r k S n n e n wir den f o l g e n d e n I-Iilfssatz beweisen.

Hilfssatz 2. I~" haben ~ und k dieselbe Bedeutung wie oben; ferner sei r eine feste positive Zahl. Dann gibt es hierzu zwei positive Konstanten p = p (0, k, r) und q = q (,o, k, r) mit folgender Eigensehaft." Ist K eine beliebige positive Zahl, so gilt fiir jede in, [z[ " ~ I reguldre Funktion f(z), fiir die I f ( o ) [ ~ k ist, und die in I~ I < i ..~)~erisoh ~ ]s ist, i,~. jedefl~ 1)u.]ct ,~ v o . I~-I <= e, welcher ,;on allen Null- stelien yon f ( z ) in

I zl<

eine Entfernung > r besitzt, die U~.qleichung

If(z) [ > -q-'

_{= KI'}

B e w e i s . Es bezeichne Qi die feste Z~hl Q~-- ~ + i zwischen Q u n d I ; f e r n e r 2

seien m i t zl, z2, . . . , z ~ die in

I 1<

o~ g e l e g e n e n N u l l s t e l l e n y o n f ( z ) bezeiehnet, jede in i h r e r V i e l f a e h k e i t gezi~hlt; n a e h d e m Corollar zu H i l f s s a t z I i8t5

(9)

_/Y~ ~ b~ log z K + ca,

wo bl u n d c i die Zahlen b(el, k) u n d e(Qi, k ) bedeuten. Die F u n k t i o n

1 Siehe ffir einen einfachen Beweis z. B. F. RIESZ, Sur les valeurs moyennes des fonctions.

Journ. London Math. Soc. Vol, 5 (I93O). S. I 2 O - - I 2 I oder G. HOHEISEL, N u l l s t e l l e n a n z a h l u n d Mittelwerte der Zetafunktion. Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, Phys.-math. Klasse, I9jo, S . 72--82, S. 78. (Vgl. B. JEssEN, V b e r die Yerallgemeinerungen des a r i t h m e t i s c h e n Mittels. A c t a lift. ac scient. Szeged. Bd. 5 (I93I). S. IO8--II6).

3--31356. Acta mathematica. "58. Imprim6 le 10 d4cembre 1931.

18 Harald Bohr und B~irge 3essen.

f ( z )

f ~ (z) ~ (z--z~) (z--z2) . .. (z--&v,)

ist in ].z I < 0~ yon Null verschieden. F e r n e r ist I ] ~ ( ~ ~ k und es gilt naeh einer fiblichen Schlussweise in I z I < I (also u m s o m e h r in Is I < (h) die U n g l e i c h u n g IA(z) l _-< ( , _ ~ , ) ~ . K H i e r a u s ergibt sich, durch A n w e n d u n g der CA~ATttl~ODOI~u schen C n g l e l c h u n g auf einer in I z I < q t reguliiren Zweig der F u n k t i o n log f~ (z), fiir I z I ~ q die U n g l e i c h u n g

oder

k 2Q

log IA(z) l >---- e ~ + e log e~ ~ log (i __ (h)N, ^K

IX (~)I ~ b ~ , l ((-"

J e t z t ist uber fiir j e d e n P u n k t von I z[ ~ e, der yon alien Nullstellen yon f ( z ) in I z l < I eine E n t f e r n u n g ~ r besitzt

If(z) I -->- IA (*)1, "~q.

Die beiden der F o r m

letzten U n g l e i c h u n g e n ergeben zusammen fiir f ( z ) eine Absch~tzung

mit nur von Q, k und r abhSngigen positiven GrSssen P, Q und r 1. I s t hierin r 1 ~ I, so benutze man fiir N1 die AbschStzung N 1 ~ o'; dann ergibt sich

ist aber rl < ~ so benutze m a n fiir N1 die Absch~tzung (9); dann ergibt sich

,.~

> ,.b, ,og ~ K < , = ( ~ K ) b , , o g r, - 1 .

in beiden F~illen ergibt sich fiir

If(~)l

eine Absch~itzung der gewiinschten Form, mit nur yon q, k und r ~bh~ngigen positiven Gr5ssen 2 u n d q.

Bisher war in diesem P~ragr~phen yon F u n k t i o n e n f ( z ) die l~ede, die im Kreise I z l < I regul~ir sind; durch eine T r a n s f o r m a t i o n g e w i n n e n wir hieraus die folgenden un. seren A n w e n d u n g e n angepassten S~tze.

(Tber die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion. 19 Hilfssatz 3. Es sei R e i n offenes Rechteck in der komplexen s-L'bene, A eine abgesehlossene Teilmenge yon R und s o ein Punkt yon R ; ferner sei k eine gegebene positive Zahl. Dann gibt es hierzu zwei reelle Zahlen bo= bo (R, A, So, k ) > o und Co=Co(B, A, So, k), so class jblgendes stattfindet: Bedeutet f(s) irgend eine in tt re- guldre trunktion, f # r die If(So) l ~ k ist, so besteht fiir die Anzahl 2V tier (in ihrer

Vielfachkeit gezdhlten) Nullstellen von.f(s) in A die Abschdtzung

R

Beweis. Es bezeichne z - - z ( s ) diejenige, bis auf einem Fuktor vom Betruge I eindeutig bestimmte Funktion, fiir die z (so)=o ist, und die R eineindeutig und konform auf den Kreis [ z [ < I ~bbildet; s s(z) sei die inverse Funktion. Nach bek~nnten Siitzen ist~ [z' ( s ) [ = ~ in

B

besehrgnkt; L bezeiehne ihre obere Grenze.

D ~ n n gil~

;7

[f(s(z))ldu dv <= L 'z

fJ

[f(s)ldodt.

Izl<* I~

Bezeiehnen wir also mit Q < I die obere Grenze von z(s) in A, so folg~ dureh Anwendung des Hilfssutzes I uuf die Funktion f(s(z)) die Richtigkeit yon (IO) f ~ bo = b (~, k), Co= ~ (~, k) log L ~ + e (~, k).

Corollar. Ist d~e _Vanktion f(s) in R numerisch <= K, so gilt fiir N die Abschdtzung

Y ~ N o = N o ( R , A, So, k, K ) = b o

log mt~,

9 K + co, wobei m R den Inhalt yon it bezeichnet.

Hilfssatz 4. Es haben R, A, so und k dieselbe Bedeutung wie im Hi~ssatz 3 ; ferner sei r eine feste positive Zahl. Dann 9ibt es hierzu zwei positive Konstanten P o = P o (B, A, so, k,. r) und qo = qo (R,

A,

So, k,

r)

mit folgender YEigensehaft:

Ist K

eine beliebige positive Zahl, so gilt fiir jede in R reguldre Funktion f(s), 3~i;ir die If(so) [ > k ist, und die in R numeriseh <= K ist, in jedem Punkt s von A, tier yon allen Nullstellen yon f(s) in R eine Entfernung > r besitzt, d i e Ungleichung

I f Is) I > .~o = n~o (~, A, *o, k: +;, ,-) - - % _{= K~)o}

20 Ha rald Bohr und BSrge Jessen.

B e w e i s . Mit d e n oben b e n u t z t e n B e z e i e h n u n g e n gibt es zur g e g e b e n e n Za.hl r eine positive Zuhl to, " so duss wenn s 1 ein beliebiger P u n k t yon R ist u n d s2 ein P u n k t yon A, fiir den I s ~ - - s l l ~ r i s t , der e n t s p r e c h e n d e A b s t ~ n d I z ( s ~ ) - - z ( s l ) l ~ r o ist. G e b e n wir Q dieselbe B e d e u t u n g wie oben, l~sst sich hier- nnch im Sinne yon Hilfssutz z Po=P(Q, k, to), q o = q ( Q , k, to) withlen.

Zu den ttilfssiitzen 3 u n d 4, welche die ~llgemeine G r u n d l u g e ffir die f o l g e n d e n E n t w i e k l u n g e n bilden, fiigen wir noch den t t i l f s s u t z I tier e r s t e n M i t t e i l u n g , in einer u n w e s e n t l i c h v e r s c h S r f t e n F o r m , uls

tiilfssatz 5. Sei a eine beliebige komplexe Zahl. Dann gibt es hievzu eine Zahl flo :> I so gro~s, dass a u f der Geraden a-~flo sowohl die Funktion llog ~ ( s ) - a [ wie auch jede der Funktionen I F ~ ( s ) - - a l eine positive untere erenze besitzt.

B e w e i s . I s t a y o n N u l l versehieden, so wi/hle m~n flo so gross, duss

Z I log (I--p~-~-[:~~ I "~ l a I

ist; ist d a g e g e n a gleich Null, so w~hle m a n flo so gross, dass

r

log. ( ~ . ~-~o)_ E i log (~_p:~,o)l > o

7~---2

ist.

w 4. Erste A n w e n d u n g der Hilfss~itze a u f die Zetafunktion.

Als eine erste A n w e n d u n g u n s e r e r Hilfss~tze beweisen wir den f o l g e n d e n Satz IV. Es sei i_ < al ~ I, al < a., und a eine beliebige komplexe Zahl ; f erner

2

bezeichne Na(T) die A~zahl der (in ihrer Vielfachkeit gezffhlten) a-Punkte yon log ~(s) in demjenigen Tell des Gebietes G, der dem Rechteck a~<a<a.2, - - T < t < T angehS~:t. Dann gilt

o < lira ~La (T) l~m No (T)) < ^~

T ~ 2 T T---.~ 2 T

B e w e i s . Es s e i f i i r j e d e n W e r t yon to m i t

7~a(to)

die A n z a h l der a-Stellen yon log ~(s) in d e m j e n i g e n Tell von G bezeichnet, der dem R e c h t e e k

(iber die Werteverteilung der Riemamaschen Zetafunktion. 21

a n g e h S r t ; d a n n ist n, (to) eine im I n t e r v a l l e - - ~ < t o < + ~ stiickweise k o n s t a n t e F u n k t i o n , fiir die (ffir T > : )

d. h.

7"

(_~) j (:)

N,, T - - i =< n.(to) dto g i \ 5 , 1 ' + i ,

- - 7 '

,_,

.~7 2 ' - -

( ~ ) ~ ,

+ - N

( , )

T +

"I i"

2 < (to)

dto < 2

gilt. A u s diesen U n g l e i c h u n g e n folgt, dass fiir 1 ' - + or die beiden G r S s s e n T

~ a ( T ) I

f

~2a ( t o ) d t o --T

dieselben oberen u n d u n t e r e n L i m i t e s h a b e n miissen. Es g e n i i g t s o m i t u m d e n S~tz I V zu b e w e i s e n die R i c h t i g k e i t d e r b e i d e n U n g l e i c h u n g e n

7' 7'

o~,,,n , /

T-L+ r 2 ~ ~c~ (t 0) tl to' T---.:elilll I

~ f

?~a (to) d t o <

_,/, __[/,

n a c h z u w e i s e n .

Die zweite dieser U n g l e i c h u n g e n ist eine u n m i t t e l b a r e P o l g e r u n g des Satzes C, 2 der E i ~ l e i t u n g . Es sei I < a 0 < a~, d > i u n d ~ > o beliebig gewi~hlt. D a n n

2

ist fiir j e d e n W e r t von t o im Sinne dieses Satzes

,n~(to)~ n~(d, to);

es g i b t also eine Z a h l 0:==0 (%, d, ~, a), so duss fiir jede in - - oo < t o < + oc stiickweise kon- st~nte F u n k t i o n Z (to), die n u r die W e r t e o u n d I a n n i m m t , u n d fiir die

T

I , f t

lira Z (,,)

d t o

T.--. ~ 2 T

- - 7 '

< 0 ist, die U n g l e i c h u u g

22 Harald Bohr und B5rge Jessen.

T 9

I

lira (to) z (to) d to <

- - T

besteh~. I s t P eine ganze Zahl grSsser als ~ f o l g t hieraus I I'

lim

21' ] ~,,(to) dto< P~;

"1'----* ~ - - T

es kSnnen n~mlieh P F u n k t i o n e n 7~ (to) der b e t r a e h t e t e n A r t so angegeben werden, dass in jedem Punk~ t o wenigstens eine dieser F u n k t i o n e n gleieh i i s t . ~

Um die erste U n g l e i c h u n g zu beweisen, b e t r a e h t e n wir zuniiehst den Fall al K I. I n diesem Fall ergib~ sich die U n g l e i e h u n g als eine F o l g e r u n g des Sa~zes B der E i n l e i t u n g u n d des ttilfssatzes 4. Es sei wieder I < a o < a ~ u n d d >

2

beliebig gewiihlt (siehe Fig. ~); ferner sei nt~eh dem Hilfssatz 5 ein flo > I so gross gew~hlt, dass a u f der Geraden a-~Yo die F u n k f i o n I log ~(s)--a I eine positive u n f e r e Grenze k besitzt, u n d es sei eine Zahl ao G ~ im I n t e r w l l e

a~a~a.,

fest gewKhl~; ferner bedeute r eine positive Zahl kleiner a.ls die beiden Ditterenzen

I I

ao~a~

u n d

a,--ao;

es ist

a o - - a ~ -

u n d d e m n a e h aueh r ~ . N a e h diesen Fest-

2 2

se~zungen bezeiehne fiir jeden W e r t yon t o, -- ~ < to < + ~ , t~ (d, to) das offene Rechteck

R(d,Q):

( a o < a < f l o

A(to)

die abgeschlossene Teilmenge

R (d, to).

Fiir jede

+ x

t o - - d < t < t o + d )

A (to): (a=ao, to-- 2-I + r < t < t~ + = -2 --r)

~P 0 /

beliebige a-Stelle , ~

+it'

yon log~(s) im Streifen

a~<a<o~

b e t r a c h t e n wir jetzt das entsprechende I n t e r v a l l

I: (a=a0, t ' - - r < t < t ' + r ) ;

I E s sei b e m e r k t , d a s s w i r d i e o b i g e B e w e i s a n o r d n u n g fiir d e n I~OI~R-I,ANDAUschcn S a t z n u r d e s h a l b g e w i t h l t h a b e n , w e i l u n s d e r S a t z C g c r a d c zn Y e r f f i g u n g s t a n d ; i n d e r T a t i s t a b e r diesel' l e t z t e S a t z a l s e i n e V e r t i c f u n g d e s e r s t g e n a n n t e n zu b e t r a c h t e n ,

U b e r die W e r t e v e r t e i l u n g tier R i e m a n n s c h e n Z e t a f u n k t i o n . ~3 es bedeute

I(to)

diejenige Teilmenge yon A(to), die den Intervallen I angehSrt ~, d~nn gilt offenbur, wenn mit~

l(to)

da, s (lineare) Mass yon

I(to)

bezeichnet wird, ffir jeden W e r t yon t o

(to)

kt.~ ~c4)

^{I '}

I:

I !

I I I

I I I

I

! I

Fig. L es geniigt somit die R i c h t i g k e i t der Ungleiehu,~g

f/,

~ ~T f

- - T

zu beweisen.

Sei .~etzt K > o beliebig gegeben u n d e s sei mit ~0K(to) die in Satz B ein- gefiihrte F u n k t i o n bezeichnet. D ~ n n geht~rt flit j e d e n W e f t yon to, ffir den

~pK(to)=O ist, naeh der Definition von

~pK(to)

d~s I~echteek /~(d, to) dem Gebiete G u n , u n d es gilt in R (d, to) die U n g l e i e h l m g

24 Harald Bohr und BSrge Jessen.

]log ~ (s) l < K ;

ferner besitz~ fiir einen solchen W e r t yon t o jeder P u n k t s yon A (to) , d e r nicht in

I(to)

gelegen ist, yon allen a-Stellen von log ~(s) in R ( d , to) eine E n t f e r n u n g r. D u r c h A n w e n d u n g des Hilfssatzes 4 auf die F u n k t i o n e n log

~(s +ito)--a

in dem festen R e c h t e c k R (d, o) ergibt sich somit die Existenz zweier, yon K und to unabh~ngigen, positiven K o n s t a n t e n P o u n d %, n~tmlich im Sinne dieses Hilfs- satzes

19o =Po (R (d,

o), A (o), rio, k, r) und qo = qo (R (d, o), A (o), rio, k, r), so dass i n j e d e m solchen P u n k t s

1 lo g ~ (~) - ~ I > .~o - ( K + I~ l) 'o qo

isL N u n m e h r bezeichnen wir mit R das im Kreise

[z--a[< m o

eingeschriebene achsenparallele Q u a d r a t mit dem I n h a l t

(i I) m R = 2 m~ = 2 Co

(k+ i~1)~o'

u n d fiir .~eden W e f t yon to mit I* (to) aie.~nige Teilmenge yon A (to), worin log ~(s) definiert ist und in /~ liegt. N a c h dem obigen ist dann, sobald ~pK(to)=O ist, die Menge I * (to) in

I(to)

enthalten. I t i e r n a c h gilt, wenn mit l* (to)das Mass yon I* (to) bezeichnet wird, f i i r jeden W e r t yon to die U n g l e i c h u n g

v~: (to) - (, - 2 r) ~p~ (to) _-< ~ (to);

denn sobald

tpK(to)= I

ist, ist j a diese U n g l e i c h u n g trivial, weft dann die linke Seite < o ist. H i e r a u s folgt durch I n t e g r a t i o n

T 2' T

f

z* (to) dto - - ( i - - 2

,-) ~ j

(to) alto _--<

f

Z (to) d to,

--I' - - T - - T

und, durch Division mit~ 2 ^T und Ausfiihrung des Grenziiberganges T - - - ~ , die U n g l e i c h u n g

T 2' T

f

^I

/

^I

f

1 (to) d t 0 .

(I2) lim

2 IT l*(t~176 ~ ~pK(t~ dr~

= < lim 2 T

T--oe T - - ~

- - T ~ T - - T

J-etz~ is~ a b e t lni~ d e r B e z e i c h n u n ~ O~ d e s S a ~ z e s ~ I I / f i ] r T ~ ~84 -- r ~

!

Uber die Werteverteihmg der Riemannschen Zetafunktion. 25

7'

f l* ( to) d to

- - T

also, fiir 7'-~:r

- - + +

,)

:(;S§ )

~" ( I - - 2 r ) . . . . T . . . . . . 1'

T

j ' ~' (to)~tto > (, - 2 r) w ( n ) '

~ ! m 7 ~ t ; = 9

T ~ a r - - T

Es ergibt sich die Ungleicllung (13)

N u n m e h r schii.tzen wir Satz II, 2 b)

somit aus (I2) (lurch Einfiihrung der Bezeichnung des Satzes B

T

9 I ['l(to)dto"

( i - - 2

,')(IV(R)--~1c)

< T--lira* ~ - T

- - r

IV(R) ab, und zwar mit Hilfe der Darstellung (vgl.

W(R)~ f f F(.~)d,,,V,,.

1:

I n d e m wir ,,,it m die positive untere Grenze yon F ( e ) i m Kreise I z - - a [ <

(I-~

qo ^Id)"~

bezeiehnen, ergibt sieh ans (I1) sobald K > *

2r

w(l~) >= ,, . (ic 4-i,iy,.,,. ' .

Aus (I3) folgt somit die Ungleichung

I - - 2 r [ [ K 1 '-'p',

.K,2v,, ~m. 2 q~, \ K + I a ]]

T

- - - T

N u n strebt aber nach dem Satze B fiir K - - - ~ die GrSsse

K ''p" WE

gegen :Null;

[ ) b r i g e n s ist, w i e u n m i t t e l b a r z u b e w e i s e n

T

-,.I f r ~

lira l* (to) alto = (I - - 2 I V ( R ' : ^m

2 : / ' " "

7'~oc , ] - - 7 '

4 - - 3 1 3 5 6 . Acta mathematfca. 58. Imprim~f le 10 d4cembro 1931.

26 Harald Bohr nnd BSrge .aessen.

die linke Seite u n s e r e r U n g l e i c h u n g ist somit fiir einen h i n r e i c h e n d grossen W e r t y o n K positiv, u n d der S~tz ist bewiesen.

Es fehl~ n o c h die erste U n g l e i c h u n g in d e m Fall al = I zu beweisen. I n diesem Fall e r g i b t sie s i c h ~ls u n m i t t e l b ~ r e P o l g e r u n g der Sgtze I I , I u n d 4, I I I n n d V I I der e r s t e n M i t t e i l n n g .

w 5 . Zweiter Hauptsatz. Wahrscheinlichkeitsverteilungen in vertikalen Streifen.

I n den f o l g e n d e n P ~ r a g r a p h e n soil n u n die f o l g e n d e sehr wesentliche Ver- s c h i r f n n g des S~tzes YV bewiesen werden.

Satz V. E s sei - < aa ~ I, a~ < a.~ und a eine beliebige komplexe Zahl; ferner I 2

bezeichne N a ( T ) die Anza~l der (in ihrer Vielfachkeit geziihlten) a.Punkte yon log" ~ (s) in demjenigen Tell des Gebietes G, der dem ~echteck a~ < a < a~, ~ T < t < T angehb'rt: den Quotienten N ~ ( T ) bezeichnen wir als die ~Vahrscheinlichkeit, mit der

2 T

log ~(s) im betrachteten Rechteck den W e f t a annimmt; dann gilt."

I)

]~J8 konvergiert fi~r T ~ der Quotie~t ... -~;- geqe~ einen bestin~n~ten

' ' 2 ' "

Grenzu,,ert

(14) (; (a)--- lira N(, (T).

w i t ne,nnen diesen Gre~zwert die W a h r s e h e i n l i e h k c i t , S t r e i f e n a i < a < a . ~ d e n W e f t a a n n i m m t .

2) G (a) ist positiv fiir jeden tVert yon a.

3) G (a) variiert stetig m i t al und a.,_.

m i t d e r log ~(s) i m

Bis unf deft l e t z t e n P u n k t s t i m m t dieser Satz m i t d e m zweiten H a u p t s a t z der E i n l e i t u n g iiberein. Es geniigt P u n k t I zu beweisen; d a n n f o l g t P u n k t 2 aus d e m Satze I V u n d P u n k t 3 im Falle a.2 ~ I aus d e m z u n g c h s t zu b e w e i s e n d e n H i l f s s a t z 6, im Falle a.2 > I aus dem H i l f s s a t z 6 u n d aus dem (entsprechenden) t t i l f s s a t z 6 der e r s t e n Mi~teilung. D e r Beweis des S a t z e s wird m i t H i l f e des

~]:I~ONECKER-WEYLschen Satzes u n d des ersten H a u p t s a t z e s (Satz I I I ) erbracht.

i~ber die Werteverteihmg der Riemannschen Zetafunktion. 27 w 6. A n w e n d u n g des ersten Hauptsatzes zum B e w e i s eines Hilfssatzes.

Hilfssatz 6. ~ s sei I < ao ~ I u,~l a eine beliebige komplexe Z a h l ; fern.er

2

I die A n z a h l der a-Stellen yon log ~ (s) bezeichne N a (T) f i i r j e d e n W e f t yon ~ < a o - - 2

in demjenigen 1'eil des Gebietes G, der dem Rechteck a o - - e < a < a o + , , - - T < t < T angehSrt, u n d es sei

l(~) .... lira ---N'~ (T) T---| 2 ~/'

gesetzt. D a n n koJwergiert f l i t a ~ o die GrSsse l(e) gege,n Null.

B e w e i s . Es sei ein positives e o < a o - - - - fest gews I es 'geniig~ otfenbar,

2

wenn wir l(*) fiir e < eo u n t e r s u c h e n . D e r Beweis g e s c h i e h t d u r c h eine d i r e k t e Absehi~tzung, die j e d o e h erst d u r c h die H e r a n z i e h u n o ' des H a u p t s a t z e s ,'ms dem ersten Teil e r m S g l i c h t wird.

Es bezeichne n~ (to) ftir e < ~o die A n z a h l der a-Stellen yon log ~'(s) in dem- j e n i g e n Teil des Gebietes G, der dem R e c h t e e k a o - - , < a < ~ o + , t o - I < t < t o + x

. ' ~ 2

angehSrt. N a c h einer f r i i h e r e n Llberlegung ist

(xs)

T

- I ; e

l (e) = lira , ~ _ ~

2-~ ~

n a

(to) alto.

- - T

Sei j e t z t I < C ~ o < a o - - e o , d > I + 2 e o u n d ~ > o beliebig gews D a n n ist fiir

2

.~eden W e r t yon t o im S i n n e yon Satz C, 2 n~(to) ~ na(d, to); es gibt d e m n a c h eine Zahl

0=0(ao, d,v,a)

so, dass fiir jede in - : ~ < t o < + ~ stiiekweise kon- s t a n t e Funktioll. g (to), die n u r die W e r t e o u n d I a n n i m m t , u n d fiir die

ist, die U n g l e i e h u n g

T

lira I

(Z(to) dto< 0

- - T

T

lira ~ f ,~ (to) z (to) d to <

T ~ o 2 1 - - T