(H) (l) UBER EINIGE LOSUNGEN DER FUNKTIONALGLEICHUNG

(1)

UBER EINIGE LOSUNGEN DER FUNKTIONALGLEICHUNG

~f (X) . <f (y) : rp (xy).

VON

ALEXANDER OSTROWSKI

i n MARBURG A. D. L .

i. E i n l e i t u n g . gleiehung

In dieser Abhandlung sollen die LSsungen der Funktional-

~f (x) ef (y) = ~ (xy)

(l)

<f (x + y) < ~ (x) + <f (y)

(H)

mit der Nebenbedingung

untersucht werden, wo die F u n k t i o n (f nur reeller Werte f~hig ist, die Argu- mente x , y . . . . aber s~mtliehe Elemente eines beliebig vorgegebenen K6rpers 1 durch]aufen.

U n t e r s u e h t man zuerst das System (I), (II) im KSrper R der rationalen Zahlen, so kSnnen siimtliche LSsungen des Systems leieht hingeschrieben werden.

Es ist dann, abgesehen yon einigen trivialen LSsungen, entweder ,p (x) = Ix I ~

wo der P a r a m e t e r ~ sieh in den Grenzen o < Q< I ~ndern kann, oder

~f ( x) = C" (p, xl

wo der P a r a m e t e r C eine beliebige positive Zahl < I i s t , u (p, x) aber die Ord- n u n g der rationalen Zahl x in bezug auf eine beliebige aber fcste Primzahl p ist, d. b. die ganze Zahl yon der Eigenschaft, dass pa (p, x) _x_ in der reduzierten F o r m weder im Z~hler noch im Nenner p enth~ilt.

Zum K6rperbegriff vgl. ST~:I~ITZ, Algebraische Theorie der K(irper, Crelles Journ'd, B. J 37.

(2)

272 Alexander Ostrowski.

Im Falle aber, wo die Argumente yon <p alle Elemente eines beliebigen KSr- pets K durchlaufen, werden wir besonders auf den archimedischen Fall eingehen.

Dieser Fall ist d a d u r c h charakterisiert, dass fiir wenigstens eine in K enthaltene ganze rationale Zahl a <f(a)> I ist. In diesem Fall ist K einem UnterkSrper des KSrpers aller gewShnlicher komplexer Zahlen isomorph. Entspricht bei dieser isomorphen Beziehung jedem Element x von K eine Zahl x', so gibt es dann eine solche positive Zahl Q< I, dass allgemein

' r = l i I -~

ist. Durch diese Angaben ist der archimedische Fall vollsti4ndig erledigt. Fiir den dann allein noch iibrig bleibenden unarchimedischen Fall gilt a n s t a t t der Ungleichung (II) die sch~rfere

~f (x + y) < Max (tp (x), <p (y)),

durch welche die Aufstellung s~mtlicher unarchimedischer LSsungen von ( I ) u n d (II) auf die Aufstellung s~imtlicher Primdivisoren in beliebigen KSrpern zuriickge- fiihrt ist. Da die Durchfiihrung dieser letzten Aufgabe ganz versehiedene Hilfs- mittel erfordert und um die vorliegende Abhandlung nicht zu gross werden zu lassen, werden wir auf die beziigliehen Untersuehungen bei einer anderen Ge- legenheit eingehen.

Das System (I), (II) hat zum ersten Mal H e r r KORSCHJ~K l behandelt. Die Frage naeh siimtliehen LSsungen dieses Systems hat er jedoch nicht beriihrt.

Seine Arbeit besehiiftigt sich mit dem Naehweis der Existenz gewisser LS- sungen yon (I), (II) in speziellen (besonders algebraisehen) Erweiterungen vor- gegebener K6rper, worauf wir sp~ter (in den N u m m e r n 5, 6) eingehen.

2. Vorbemerkungen. Von den trivialen F/illen, in welehen ~p (x) fiir alle x durehweg o oder durehweg I i s t , sehen wir in der Folge ab. Dann folgt aus (I), dass stets <p ( o ) = o, ep (a)r~ o fiir a r o ist.

Der Fall, wo if(x) negativer Werte fiihig ist, ist leicht zu erledigen. Ist fiir ein a rf(a)< o, so folgt aus (II) und (I)

ef (X + y ) ~ <f (a) <p (: + Y ) > q~ (a) tf (:) + el(a)el(y) = tf (x) + ep (y) .

Durch Vergleichung mit (II) folgt, dass in (II) in diesem Fall stets das Gleich- heitszeichen gilt. Dann wird aber dureh (I) und (II) eine isomorphe Beziehung des KSrpers K, dessen Elemente die Argumente x , y , . . . d u r e h l a u f e n , auf einen TeilkSrper .Q des K6rpers aller reeller Zahlen hergestellt. Wir erhalten den Satz:

i C r e l l e s J o u r n a l , B. 142 , S. 2 1 I - - 2 ~ .

(3)

(lber einige L~isungen der l~ unktlonalglelchuno ~f f.c). r (y) ~f (xy). 273 Ldisst sivh ]edem Element a eines Kdrpers K eine reelle Zahl q~(a) so zuordnen, dass

~p(a)~(b)=ef(ab) (I) e f ( a + b ) < ( f ( a ) + e f ( b ) ( I I )

ist, und ist rp (a) [iir wenigstena ein a negativ, so ist K mit einem UnterkSrper des Kdrpers der ffewdhnlichen reellen Zahlen isomorph und diese isomorphe Beziehung wird dutch die Fnnktiou ~ ( a ) vermittelt. I n (II) gilt dann stets das Gleiehheitszeichen.

W i r n e h m e n d a h e r in d e r Folge i m m e r an, d a s s ~p (x) neg.ativer W e r t e nicht f~hig ist. W i t w e r d e n d a n n ~f (a) e i n f a c h e r d u t c h a b e z e i c h n e n u n d die Bewertu~gs- /unktion n e n n e n . E s ist n a c h (I) o f f e n b a r s t e t s - - a ~ a . D i e e i n f a c h s t e Be- w e r t u n g s f u n k t i o n ist diejenige, ffir welche o = o, a := I fiir alle a ~ o . Sieht m a n vorl/iufig y o n dieser ab, so ist ~a fiir w e n i g s t e n s ei,l a y o n o u n d I v e r s c h i e d e n . I n d i e s e m F a l l e s p r e c h e n wir m i t t t e r r n KORSCHs y o n einer Bewertung. O r d n e n wir in d i e s e m F a l l e j e d e m E l e m e n t a y o n K die Z~hl a zu, so soil diese Z a h l die Bewertung y o n a heissen, diese Z u o r d n u n g eine Bewertung des K6rpers K, d e r K S r p e r K , w e n n seine E l e m e n t e als m i t ihren B e w e r t u n g e n b e h a f t e t b e t r a c h t e t w e r d e n , ein bewerteter K S r p e r . ~ D a d e r Fall, wo : a n u r die W e r t e o u n d I h a b e n k a n n , sich als Grenzfa]l a n d e r e r e r w e i s e n wird, w e r d e n wir in d i e s e m F a l l e y o n halbbewerteten K S r - p e r n s p r e c h e n . E n d l i c h e K 6 r p e r -~ k 6 n n e n n u t h a l b b e w e r t e t , n i c h t a b e r b e w e r t e t sein, d a alle i h r e E l e m e n t e g e w i s s e n G l e i c h u n g e n y o n d e r F o r m x p ~ - x = o geniigen.

3. Unarchimedische Bewertungen. H a t die B e w e r t u n g s f u n k t i o n a n s t a t t ( I I ) die seh~i, rfere E i g e n s e h a f t

i a + b < M a x ( a , b ), ( I I ' )

so n e n n e n wir s o w o h l die so b e w e r t e t e n K S r p e r als a u c h diese B e w e r t u n g s e l b s t unarchimedisch. A u s ( I F ) f o l g t f ~ r jede g a n z e r a t i o n a l e Z a h l n, w e n n m a n sie als die S u m m e i h r e r E i n h e i t e n a n s i e h t , :n < i . Diese E i g e n s c h a f t ist ffir d e n u n a r c h i m e d i s e h e n F a l l charakteristisch. E s gilt d e r S a t z : Ist bei irgend einer Be- wertung des K6rpers K [iir ]ede ganze rationale Zahl n n < i, so ist diese Bewer- tung unarchimedisch. I n d e r T a t f o l g t a u s o < b < a u n t e r d e r o b i g e n An- n a h m e die A b s c h / i t z u n g :

i i a + b " = ( a + b ) ' ~ < a n 4 - n . a " - 1 b + . . . + b ~ < ( n + I ) : a .~ ( I ) W S r e n u n !ia+b > a , so wiirde a u s ( i ) folgen, w e n n m a n b e i d e Seiten d u r c h ia + b = d i v i d i e r t u n d n ins U n e n d t i c h e w a c h s e n I/isst:

[ ( a )'~]

I . < lira ( n + i ) - a + b ~ = o .

J KC~sc~,~K, a. a. 0., S. -~11--21z.

' Darunter verstehezi wir K(irper mit endlich vielen Elemeuten. S. S,rEIxm~, a. a. O., S. -~4~ ft.

Acta m a t h e m a t i c a . 41. ]mprimd le 8 ddcembrs 1917. 35

(4)

274 Alexander 0strowski.

Die R e l a t i o n ( I I r) k a n n n o c h weiter v e r s e h / i r f t w e r d e n . I s t , l a > ib!,, so ist [ a T b l ! -~'- lali.'~ D e n n aus (II') folgt ~:!a:i= ~(a + b)--b~ < Max (!ia+b!l, !b ).

Die u n a r e h i m e d i s c h e n B e w e r t u n g e n des K S r p e r s R ailer r a t i o n a l e r Z a h l e n lassen sieh n u n leicht a u f s t e l l e n . Es ist o f f e n b a r fiir wenigstens e m e P r i m z a h l

~o iljol! ⁼ e < I . W/ire n u n a u c h ffir eine a n d e r e P r i m z a h l q ,ql < I , so w/ire es mSglieh ffir jedes p o s i t i v e g a n z e n solche g a n z e Z a h l e n a,, b, zu linden, dass

ist. G e h e n wir j e d o c h w e r d e n , so k o m m t

a . p" + b. q" ~ i

hier zu d e n B e w e r t u n g e n fiber u n d ]assen n u n e n d l i c h

I ~ M a x ( i a n . i p i " , b, . : i q " ) < a , , . p " + b,, 9 q ' < l i m ( p " + : q " ) = o .

Also ist die B e w e r t u n g j e d e r zu p t e i l e r f r e m d e n g a n z e n Zahl gleich i. D a r a u s f o l g t weiter, w e n n wir u n t e r d e r O r d n u n g einer r a t i o n a l e n Zabl a in b e z u g a u f eine P r i m z a h l p die Zahl o y o n d e r E i g e n s c h a f t v e r s t e h e n , dass p,., in d e r r e d u - a z i e r t e n F o r m w e d e r im ZKhler n o c h im N e n n e r p e n t h a l t :

a ~,pe---c:,, wo Q die O r d n u n g v o n a in b e z u g auf p ist.

Die W a h l d e r p o s i t i v e n Zahl c < i ist o f f e n b a r ganz belanglos. J e d e r P r i m - zahl p e n t s p r i e h t ein b e s o n d e r e r T y p u s u n a r c h i m e d i s c h e r B e w e r t u n g e n von R.

Auch a l l g e m e i n e r k a n n m a n j e d e r u n a r c h i m e d i s c h e n B e w e r t u n g eines beliebigen K S r p e r s K e i n e n P r i m d i v i s o r p z u o r d n e n , i n d e m m a n f e s t s e t z t , dass ein E l e m e n t a v o n K g e n a u d u r c h die P o t e n z y o n ~ m i t d e m E x p o n e n t e n lgi:a t e i l b a r ist. D a n n ist, n a c h (I) u n d (II'), w e a n a u n d b d u r e h die c~-te bzw. fi-te P o t e n z v o n ~ g e n a u t e i l b a r sind, ab g e n a u d u r c h die P o t e n z a + l ~ teilbar, a + b w e n i g s t e n s d u r c h die a-te, wenn a < f l ist, genau d u r c h die a-te, w e n n a <fl ist.

Die so d e f i n i e r t e n D i v i s o r e n lassen sieh n u n ebenso b e h a n d e l n , wie die P r i m d i v i - s o r e n in d e r H~SSEL'schen I d e a l t h e o r i e ; es lassen sich a u f sie n i c h t n u r die HEI~SEL- s c h e n l ~ e s u l t a t e i i b e r t r a g e n , was in e i n e m gewissen Masse bereits in den a l l g e m e i n e n KORscm;.K'schen E r g e b n i s s e n e n t h a l t e n ist, s o n d e r n a u c h die w i e h t i g e n S~tze y o n G. DUMAS ~ fiber die A n w e n d u n g e n des NEWTO~'schen D i a g r a m m s .

4. Archimedische Bewertungen yon R. W i t w e n d e n uns n u n zu den a r c h i m e - d i s c h e n B e w e r t u n g e n v o n R , d e m K S r p e r d e r r a t i o n a l e n Z a h l e n . Sie sind d a m i t i G. DuMAs, Sur quelques cas de rddUctibilit6 etc., Journal de Liouville, (6) 2, 19o6; Sur les fonctions ~ charact~re alg6brique etc., Thbse, 1)aris, ~9o4.

(5)

15ber einige L0sungen der Funktionalgleichung ~f (x). q (y)--~f(xy). 275 charakterisiert, (lass fiir wenigstens eine ganze Zahl n n : > I ist. Ist uns n u n eine bestimmte archimedische Bewertung von R gegeben, so nennen wir fiir jede ganze rationale yon o verschiedene Zahl a die reelle aus der Gleichung

i a i - - l a I :'(", (2)

bestimmte Zahl q(a) den Exponent von a. Da fiir jede ganze Zahl : a i i ~ l a I i s t , so ist Q ( a ) < i . Ffir diejenige ganze Zahl n, deren Bewertung > I i s t , ist q(n) positiv. Es ist endlich leicht einzusehen, dass fiir zwei beliebige von o versehiedene ganze rationale Zahlen a und b stets

q(a) < q ( a b ) < ~ ( b ) fiir o,(a)<q(b); q ( a ) = q ( a b ) ~ q ( b ) fiir q(a).=q(b) (3) ist. Daraus folgt fiir jedcs ganze p Q (p)-= Q(p~) . . . .

Es sei nun q die gewiss positive obere Grenze der Zahlen q(a). Wit be- haupten, dass /iir jedes ganze rationale a stets q ( a ) ~ o ist.

In der T a t I/isst sich q jedenfalls als Grenzwert einer nieht abnehmenden Folge yon Zahlen

q (al) , o (a2) . . . . (4)

darstellen. Aus (3) sieht man, dass die Zahlen ai als Primzahlen oder Primzah|- potenzen angenommen warden k f n n e n . Wir k f n n e n welter annehmen, dass ffir jedes i q(al) nicht kleiner ist, als die Exponenten s~imtlicher positiver ganzer Zahlen, die kleiner als al sind, denn sonst k f n n e n wir nach (3) a/ durch eine geeignete Primzahl oder Primzahlpotenz ersetzen und, indem wir dieselbe Ope- ration bei allen ai sukzessive vornebmen, die Folge (4)in gewiinschterWeise um- formen. Indem wir aus (4) gewisse ai ganz fortlassen, k6nnen wit noah erreichen, dass auch die Zahlen ai eine waehsende Folge bilden. Dieses Verfahren fiihrt n u r dann nicht immer zum Ziel, wenn es eine Primzahl p gibt, ffir welche o (p) = q ist. In diesem letzten Fall k f n n e n wir ]edoch fiir (4) direkt die Reihe

e (P), q (P'), q ( # ) . . . . nehmen.

Es geniigt offenbar zu beweisen, dass fiir jede Primzah] q q(q)=o ist. Neh- men wir nun an, dass fiir eine Primzahl q (~(q)< q ist. Wir k f n n e n d a n n voraus- setzen, dass in (4) alle q(ai)> q(q) sind, indem wir alle ai, die dieser Bedingung nicht genfigen, fortlassen. Dann sind, unseren Voraussetzungen fiber die Fo]ge (4) zufolge, s~imtliehe ai zu q relativ prim.

Wir bezeichnen jetzt den kleinsten positiven Rest yon ai modulo q durch

(6)

276 Alexauder Ostrowsld.

kl, den ganzzalfligen Quotienten a i - - k l dureh A i , den Exponenten q(ai) durch q

el, q i - q ( q ) dutch 6i, r dureb J . Aus (I) und (II) folgt nun

q . A i = a i - - k i > ai - - ki > ai - q , (5) da k i < l k i l < q ist. Nun folgt aus A i < a i nach unseren Annahmen fiber (4), dass Q ( A i ) S Q i , d. h. A i < A i ~ ist. Setzen wir dies und q = q ~ . i - o i in (5) ein, so kommt, nach Multiplikation mit q,~i:

ai ~ > (ai ^{- -} k i ) 9 i = q'-'i Ai'-'i > ( ai - - q) q'~i = (ai"i - - q) q'~i.

Lassen wir hier i nach Division dureh aigi unendlieh werden, so k o m m t

Nun ist Lim a i = oo

i ~ o o

ein, so kommt:

r > L i m ( I - - a q i ) o ' ~ i . .

, Lim,oi die positive Zahl q, L i m d i - - d .

i ~ i ~

Setzen wir dies

l > q I.

Dies steht aber d a m i t im Widersprucb, dass ~ / - - o - - ~ (q) nach unserer Annabme p o s i t i v i s t . Damit ist unsere B e h a u p t u n g bewiesen. J e t z t sieht man aber leicht, dass auch fiir jede rationale Zahl a a =lal'-' ist. Die Zahl o werden wir den I n d e x der arehimedischen Bewertung von R nennen. Ist umgekehrt eine positive Zahl Q < I willkiirlich gew/ihlt, so kann die F u n k t i o n la[" als Bewertungs- funktion von R genommen werden und ffihrt auf eine archimedische Bewertung yon R. - - Setzen wit aber q gleich o, so erhalten wit den halbbewerteten KSr- per R, der sieh also als ein Grenzfall des archimedisch bewerteten K6rpers R erweist.

Fassen wir nun die bisherigen Ergebnisse, sofern sie sich auf R beziehen, zusammen, so kommen wit zu dem Satz:

Dan S y s t e m der F u n k t i o n a l b e d i n g u n g e n

ep (x) tp (y) = rf ( x y ) (I) ,f (x + y) <_ ,p (x) + ,f (y) (II),

wo die A r g u m e n t e x, y sdimtliche rationale Z a h t e n durchlau/en, die F u n k t i o n q~ (x) abet n u t reelle Werte a n n i m m t , hat n u t [olgende L S s u n g e n

I) a) , p ( x ) = - o ; b) tp(x)=-i; c) , p ( o ) = o ; ~ f ( x ) = I , (x.~o);

2) ~ (x) -= x ,

(7)

0ber einige L0sungen der Funktionalgleiehung ~f(x). q ( y ) - - ~ f ( x y ) . 277

3) ~ (x) =- I x I -~

wo der ?~ositive Parameter Q nicht grSsser als 1, sonst aber beliebig ist:

4 ) (p (Z) ~- C a(p'x),

wo der positive Parameter c kleiner als z ist, ce (p, x) aber die Ordnung yon x in bezug au] eine beliebige Primzahl p bezeichnet. Jeder Wald yon c und p entspricht eine Funktion cf (x) yore T y p u s 4.

5. Per/ekte KSrper. J e d e r a r c h i m e d i s c h b e w e r t e t e K S r p e r K b e s i t z t d e n mit i r g e n d e i n e m I n d e x • a r c h i m e d i s c h b e w e r t e t e n K S r p e r 12 aller r a t i o n a l e r Z a h l e n als U n t e r k S r p e r . U m n u n zu einer C h a r a k t e r i s e r u n g aller a r c h i m e d i s c h b e w e r - t e t e r K S r p e r zu gelangen, mfissen w i t z u e r s t a u f einige KORsc~XK'schen Siitze fiber b e s o n d e r e E r w e i t e r u n g e n b e w e r t e t e r K S r p e r eingehen.

W i r n e n n e n ein E l e m e n t A eines b e w e r t e t e n K S r p e r s K d e n Limes einer F o l g e ai ( i - - - - i , 2 . . . . ) d e r E l e m e n t e v o n K , w e n n L i m a n - - A ----o ist. E i n e :Folge ai (i = I, 2 . . . . ) d e r E l e m e n t e v o n K n e n n e n wir eine Fundamentalreihe, w e n n Lira i a n + t - - an: = o ist bei frei v e r ~ n d e r l i c h e m , ganze p o s i t i v e W e r t e d u r c h -

n ~ o o

l a u f e n d e m t. B e s i t z t eine F o l g e ai ( i = I, 2 . . . . ) d e n L i m e s A (was wir d u r e h L i m a n ~ A a u s d r i i c k e n ) , so ist diese Folge, wie aus (II) leicht folgt, eine F u n d a -

n ~ o O

m e n t a l r e i h e . U n d z w a r k a n n , wie sich ebenfalls aus (II) ]eicht ergibt, eine F u n d a m e n t a l r e i h e n u r einen einzigen Limes h a b e n . Man sieht end]ich leicht ein, dass aus Lira a i = A a u e h L i m ! a i i : = A folgt.

i = ~ i ~ o o

I s t in K d e r L i m e s j e d e r aus K e n t n o m m e n e n F u n d a m e n t a l r e i h e e n t h a l t e n , so heisst K per[ekt. Wie s e h o n das Beispiel des K 6 r p e r s aller r a t i o n a l e r Z a h l e n bei seiner g e w S h n l i c h e n B e w e r t u n g d u r c h a b s o l u t e Betr~ige zeigt, ist n i c h t j e d e r b e w e r t e t e K S r p e r p e r f e k t .

F a s s e n wir n u n die G e s a m t h e i t aller K e n t n o m m e n e n F u n d a m e n t a l r e i h e n ins Auge u n d n e n n e n wir zwei solche R e i h e n A = ( . . . . a i , . . . ) u n d B = ( . . . . bi . . . . )

~iquivalent, w e n n L i m i a i - - b i i i ~ o ist, so b i l d e t diese G e s a m t h e i t einen K 6 r p e r

i ~ r

K , w e n n wir zwoi ~iquivalente F u n d a m e n t a l r e i h e n als gleich a n s e h e n u n d u n t e r dor S u m m e bzw. d e m P r o d u k t y o n A = ( . . . . a ~ , . . . ) u n d A ' ~ ( . . . . ari . . . . ) die F u n d a m e n t a l r e i h e ( . . . . a i T a r l , . . . ) bzw. ( . . . . a i a ' i , . . . ) v e r s t e h e n . B e w e r t e n wir n o c h j e d e F u n d a m e n t a l r e i h e A = ( . . . . al . . . . ) d u t c h :A = L i m i i a , i (dass die l e t z t e F o l g e k o n v e r g i e r t , f o | g t l e i c h t aus (II)), so wird d a n n K ein b e w e r t e t e r K S r p e r , y o n d e m m a n n u n l e i c h t beweisen k a n n , dass er per]ekt ist. K heisst d ( r derivierte KSrper v o n K.

(8)

278 Alexander 0strowsld.

Nennen wir zwei isomorphe bewertete KSrper analytisch isomorph, wenn die entsprechenden :Elemente dieselben Bewertungen haben, so kSnnen wir welter den Satz aussprechen, dass K cinen mit K analytisch isomorphen UnterkSrper besitzt. Und zwar besteht dieser UnterkSrper aus allen F u n d a m e n t a l r e i h e n von der Form ( a , a , a , a . . . . ) und allen mit ihnen ~iquivalenten Fundamentalreihen, wo a s'~mtliche Elemente von K durchl~iuft. Welter fo]gt aus der Bildungsweise von K , dass wenn der bewertete KSrper K ein UnterkSrper eines per/ekten KSr- pers K ist, K eine Eweiterung yon K als UnterkSrper besiizt, die mit dem derivierten KSrper K von K analytisch isomorph ist. -- In diesem Sinne kann m a n den derivierten KSrper K von K als die kleinste perfekte Erweiterung von K betrachten.

Ist der bewertete KSrper K ein UnterkSrper eines bewerteten KSrpers K r, so ist offenbar der derivierte KSrper K von K ein UnterkSrper des derivierten KSrpers K ~ von Kr. ~

6. Erweiterungen 2-ten Grades. Wir werden in der Fo]ge noeh den Hitfs- satz brauchen :

Es sei W ein per/ekter bewerteter Kdrper und Z eine derartige Erweiterung yon IV, dass ]edes in Z abet nicht i n W vorhandene Element ce einer in W irredu- ziblen Gleichung 2-ten Grades mit Koe//izienten a~ts W

x ~ + bx + c ~ o (6)

geni~gt. Ordnet man jedem solchen Element a die positive Zahl Vi c-= und jedem in W enthaltene~ Element yon Z seine ursprit.ngliehe Bewertung zu, so erhdlt man, eine Bewertung des Kdrpers Z.

Diese Bewertung ist die einzige Bewertung yon Z, bei der die Elemente yon W ihre urspriinglichen Bewertungen behalten.

Dass die definierte Zuordnut)g die F o r d e r u n g (I) erfiillt, folgt aus den ein- fachs$en algebraischen Tatsachen ohne Weiteres. Schwieriger ist der :Nachweis, das die Ungleichung (II) oder die damit ~iquivalente

~+~ < I + c~ (7)

erfiillt ist. Es geniigt anzunehmen, dass a der in W irreduziblen G]eichung (6) genfigt. Dann ist (7) mit ' , i - - b + c '/-~SI+IC '!'-' oder I - - b + c i l ~ I + 2 : j c '/~+ic

~quivalent. Da abet die letzte Ungleichung nach (II) aus b:is fo]gt, so brauchen wir nur zu beweisen, dass, wenn :lbi~Z--4 ~ci~>o ist, die Gleichung (6) in W eine Wurzel besitzt, also nicht irreduzibel ist.

Ftir (lie a u s f ( i h r l i c h e r e D a r s t e l l u n g d e s I n h a l t s d i e s e r N u m m e r v e r g l e i c h e m a n K(mscH~u,

"t. a. 0., S. 214--216, 222--228

(9)

~lber einige LSsungen der Funktionalgleichung ef (x). ef ( y ) = e l ( x y ) . 279 D e f i n i e r e n wit u n t e r der A n n a h m e lib i~> 4 b:c!i die u n e n d l i c h e F o l g e d e r Ele- m e n t e vn aus W : vo = 2, % = - b . . . . d u r e h die R e k u r s i o n s f o r m e l

v.~ = - - b v . _ l - - c v . _ 2 ,

($)

so 1/i, sst sieh d a n n fiir jedes n > o die R e l a t i o n n a c h w e i s e n

21:vn >_ b , . v , , - 1 . (9)

D a sie fiir n = i gilt, wegen 21!v,!i----2ilbi~> 21. b! (da ja ! 2 < 2 ist), so k a n n m a n sie fiir n - - i als bewiesen a n n e h m e n . Da.nn folgt aus (8) wegen b : > 4 c : 2 v,, > ~ 2 ! b v . - 1 ] - - 2 1 c : . v n _ . , . : = i b v . _ l + 2 ] 2 v . - 1 ~

- - 4 ~ b ? 9 b . v , , _ 2 _> ,: b il . v , - i ,

d. h. (9). Aus (9) kann n u n gefolgert w e r d e n , dass die F o l g e d e r E l e m e n t e aus W . . . . w , = . . . , 9 9 . ( n = 2, 3 . . . . ) ?3n (IO)

Vn --1

eine F u n d a m e n t a l r e i h e ist. - - Die V o r a u s s e t z u n g , u n t e r welcher (io) g e b i l d e t wet- den k a n n , n~mlich d a s s ' f i i r n > o k e i n vn = o ist, ist i m m e r fiir~ b i> o erfiillt, d e n n n a e h (9) folgt aus v , = o, dass a u c h alle v o r h e r g e h e n d e v v e r s c h w i n d e n , dies ist a b e r fiir v l = - b n i c h t der Fall. I s t a b e r b . = o , so ist wegen b ~ > 4 c!

a u e h c!i = o, d a n n r e d u z i e r t sieh a b e r (6) auf x s = o, ist also jedenfalls r e d u z i b e l .

-- Aus (8) und (9) folgt

~ v . i < v . _ 2 2 c M

w , = l i - - ^, b + c : - - - - < b + - b < 2 ' ( i i )

~ v . _ l !1 == v . - i =

wo M eine feste p o s i t i v e Zahl ist. W e l t e r folgt aus (8) d a alle w y o n 0 v e r s c h i e d e n sind,

(w~+l w l _ ~ ) w , + t - i - - w~-~

W n + t - - W ~ - - - - - C t - - 1 - - - ~ w n + t - - %1) n ~ C . F

} W n + t - - I 9 : W n - - I

4 i ! c i

oder, w e n n wir die p o s i t i v e Zahl ~ - % < i d u r c h q bezeiehnen,

iw~+t _. w . = q _. _. _. _.b l _. _. _.~b W n + t - - 1 - - W n - - 1

2 : W n + t - 1 2 W n - - 1

oder, wenn wir (9) u n d (ix) beriieksiehtigen,

(10)

280 Alexander 0strowski.

w . + t - - co,, < q ! w . , + t - 1 - - w . _ l < q'- w . + t - 2 - - w . _ 2 _<~ "" :<: q"i: w t - - Wo <

_<q"('wt + w o ) < q " M .

L a s s e n w i r hier n u n n u n e n d l i c h w e r d e n , so f o l g t a u s q < z a i m :~ w , +t - - wn = o,

w. z. b. w. D e r im per/ekten K S r p e r W e n t h a l t e n e L i m e s y o n (io) ist a b e r wegen (8) u n d (io) eine W u r z e l y o n (6), u n d (6) ist in W reduzibel. D a m i t ist d e r e r s t e Teil u n s e r e s H i l f s s a t z e s bewiesen. - - D i e s e r Tell ist ein spezieller F a l l des a l l g e m e i n e n K O R s c ~ s S a t z e s i i b e r a l g e b r a i s c h e E r w e i t e r u n g e n p e r f e k t e r K S r p e r . A u c h d e r h i e r g e g e b e n e Beweis s t e h t m i t d e m KORscm~.x'schen i n s o f e r n im Z u s a m m e n h a n g , als die v o m H e r r n KORSCH.~K b e n u t z t e HADAMARD'sche U n - t e r s u c h u n g eine V e r a l l g e m e i n e r u n g des BERNOULLI'schen W u r z e l a p p r o x i m a t i o n s - v e r f a h r e n s ist, w i i h r e n d u n s e r Beweis eine A u s b i l d u n g d e s s e l b e n V e r f a h r e n s d a r - stellt. E s wird sich iibrigens weiter e r g e b e n , d a s s die in u n s e r e m H i l f s s a t z be- t r a c h t e t e n a l g e b r a i s c h e n E r w e i t e r u n g e n p e r f e k t e r K S r p e r die einzig mSglichen im archimedischen F a l l sind, so d a s s d a m i t in d i e s e m F a l l a u c h d e r a l l g e m e i n e K O R s c a ~ , K ' s c h e S a t z e r l e d i g t ist. I m u n a r c h i m e d i s c h e n F a l l a b e r ]assen sieh z u m Beweise des K O R s c r L ~ s ' s c h e n S a t z e s viel e l e m e n t a r e r e , y o n HE~SEL herriJh- r e n d e M e t h o d e n a n w e n d e n 1.

U m d e n z w e i t e n Teil ~ u n s e r e s H i l f s s a t z e s zu beweisen, n e h m e n wit an, es sei bei einer d e r in F r a g e k o m m e n d e n B e w e r t u n g e n v o n Z c x < > c 'I'-', wo cc eine W u r z e l d e r in W i r r e d u z i b e l n G l e i e h u n g (6). I s t d a n n ti die a n d e r e W u r z e l , so ist t ~ : ~ c~! wegen c~ . ~ c . E s sei e t w a t( > (~. D a n n h a t die F o l g e d e r in W e n t h a l t e n e n E l e m e n t e

~n.~_~(n I -~ ( ~ i n

. . . r . . . C("--1-1- (t n - 1

(f~l "-I

fiir n = ~ c~ z u m L i m e s , c~ wiire also im per/ekten K S r p e r W e n t h a l t e n , w/ihrend die G l e i e h u n g (6) j a als i r r e d u z i b e l a n g e n o m m e n ist.

7. Der Vollstdndigkeitssatz. I s t d e r K S r p e r R a l l e r r a t i o n a l e r Z a h l e n a r e h i m e - disch m i t d e m I n d e x q b e w e r t e t , u n d ist ai(i = i, 2 . . . ) i r g e n d eine i h m e n t n o m m e n e F u n d a m e n t a l r e i h e , so b l e i b t ai (i --= x, 2 . . . ) a u e h d a n n eine F u n d a m e n t a l r e i h e , w e n n

Vgl. K0ascrt~i, a. "t. O., S. 218.

d e r s i c h a u c h a u f d e n a l l g e m e i n e n yon KuRscm~K a. a. O. b e h a n d e l t e n Fall a u s d e h n e n l~tsst.

Vgl. A. OS'rROWSKI, L'ber s o g e n a n n t e p e r f e k t e K 0 r p e r , Crelles J o u r n a l , B. I47.

(11)

Uber einige L(~sungen der Funktionalgleichung ff (x) . ef (y) = ef (x y). 281 R m i t i r g e n d e i n e m a n d e r e n zul~ssigen W e r t y o n q a r e h i m e d i s c h b e w e r t e t wird, d e n n a u s Lira I a s + t - - a s l o ~ o f o l g t L i m l a s + t - - a s l - " ' ~ o u n d u m g e k e h r t (o < o < ~; o < 0'~-< ~).

s ~ c o s m ( ~

B e t r a c h t e n w i t also d e n K S r p e r W a l l e r r e e l l e r Z a h l e n , d e r d e n d e r i v i e r t e n K S r - p e r v o n R bei e = r d a r s t e l l t , u n d o r d n e n w i t j e d e r Zahl a y o n W die p o s i t i v e Zahl l a [ - ~ zu, so w i r d d e r sieh so e r g e b e n d e b e w e r t e t e K S r p e r W e als d e r deri- v i e r t e K S r p e r y o n R bei d e r B e w e r t u n g m i t d e m I n d e x o b e t r a c h t e t w e r d e n k S n n e n . I m K S r p e r W g i b t es n u r i r r e d u z i b l e F u n k t i o n e n z w e i t e n Grade8 y o n el- n e t U n b e s t i m m t e n u n d es g e n f i g t eine W u r z e l e i n e r y o n i h n e n , e t w a y o n x-~q-i, zu a d j u n g i e r e n , u m d e n K S r p e r Z a l l e r k o m p l e x e n Z a h l e n zu e r h a l t e n , in d e m es s e h o n k e i n e n i e h t l i n e a r e i r r e d u z i b l e F u n k t i o n e n y o n e i n e r U n b e s t i m m t e n m e h r g i b t . O r d n e t m a n j e d e r Z a h l a y o n Z die p o s i t i v e g a h l lal-" zu, so s t e l i t d e r so e n t s t e h e n d e b e w e r t e t e K(Srper Z o zugleich e i n e n p e r f e k t e n K S r p e r d a r , well Z~ es ist. V o n Z e gilt n u n d e r w i e h t i g e S a t z : d e r V o l l s t d n d i g k e i t s s a t z . E s gibt k e i n e n a r c h i m e d i s c h bewerteten K S r p e r K , der e i n e n K S r p e r Z , z u m Unterk6r- per hat, ohne m i t i h m i d e n t i s c h z u sein.

N e h m e n w i t in d e r T a t an, es g e b e eine b e w e r t e t e E r w e i t e r u n g K y o n Z 0, u n d es sei x ein in K a b e r n i c h t in Z o e n t h a l t e n e s E l e m e n t . E s sei die u n t e r e G r e n z e d e r Z a h l e n i,x--(ei!, wo a alle G r S s s e n v o n Ze d u r c h l ~ u f t , gleieh m. D a n n g i b t es eine G r S s s e A a u s Zq, so d a s s , ! x - - A = m ist. D e n n s o n s t m i i s s t e es eine F o l g e d e r k o m p l e x e n Z a h l e n ai (i ---- i, 2 . . . . ) geben, so d a s s L i m ~' x - - as'i = m

n ~ o o

ist. D i e k o m p l e x e n Z a h l e n ai m i i s s t e n a b e t d a n n eine H~iufungsstelle A h a b e n m i t l i x - - A i ! = m , d e n n die a b s o l u t e n Betr?ige d e r Z a h l e n al sind b e g r e n z t , we-

< ~ II x 11 + ali]. D a s E l e m e n t x - - A v o n K , d a s w i r d u r c h y bezeieh- hen, h a t d a n n die E i g e n s e h a f t , d a s s fiir alle G r S s s e n a a u s Z o il Y - a ii > li Y :I---- m i s t .

W i t s e h a l t e n n u n d e n Beweis f o l g e n d e r T a t s a e h e ein: H a t ein n i c h t i n Z o enthaltenes E l e m e n t z yon K die E i g e n s c h a [ t , d a s s [i~r alle E l e m e n t e a y o n Z o it z - - a I t => le~' ~-,,11 ist, so ist H z - - a i[ = li,, z !I ]i2r aUe E l e m e n t e a yon Z o,/i~r welche I ~ i! <

<[iz!] ist. D e n n es sei a ein E l e m e n t y o n Z 0 m i t !iaii<ilz[, u n d ~ x = x , ~ . . . . , ~ s

die s~imtliehen n - t e n E i n h e i t s w u r z e i n fiir eine beliebige n a t i i r l i c h e Z a h l n. D u r c h M u l t i p l i k a t i o n d e r R e l a t i o n e n ~ l!z - - ~ia!l > i l z ! i (i = 2, 3, '~ . . . , n) e r h a l t e n w i r

I z s - - a s I!

I! - J : > ~ i z~s-l"

z - - a !'

[;

D a r a u s f o l g t

r: z - - a [ . itZ'in--' ~ ilZ n - a n ! < ! Z in + ia ' s Dies e r g i b t a b e t n a e h D i v i s i o n d u r c h :iz!i s fiir n = oo

Acta malbematica. 41. lmprimr le 8 d ~ c e m b r e 1917. 36

(12)

'i z -- a iJ

_{z l} <Lim,=~ I + ~ /

[ tli

a

1"1"1

j = z .

" ' " f o l g t a b e r I! a!i ~* ~'

A u s Itz--a!t<41Zl] u n d z--all>]lZlr~,: z - - -=lz4,, w. z. b. w.

I s t also fiir ein E l e m e n t a y o n Z o o < ~' ~' l l a l ! < m ~iiy!l, so Jst "'"~ ii Y " - - a ,i ~' - - ~ I] Y iL. ~t A n d e r e r s e i t s b e s i t z t a u e h y - - a die E i g e n s e h a f t , d a s s ffir k e i n E l e m e n t a y o n Z o

! i y - . - a l l < il Y - - " ~ II = m sein k a n n . Also ist, i m m e r w e g e n "ll a II < m, II y - - a - - a !i = "

= l!y It, l ! y - 2 a[l = II y I', D a h e r b e s i t z t a u c h y - - 2 a jene E i g e n s e h a f t , d a s s fiir k e i n E l e m e n t a y o n Z o " IlY ^-^- 2 a - - a ~i<!lY - - ~ !1 = m sein k a n n . - a " D a r a u s folgt w i e d e r II , y - - 3 a j l - - - - m u. s. w. ~ So k o m m e n w i t z u m R e s u l t a t , d a s s fiir jede n a t i i r -

I It

liche Z a h l n ] ~ y - - n a ] t = l t y ! ' , = m ist. Dies ist a b e r unmSglieh. D e n n a u s ( I I ) f o l g t d a n n

2 m = i! y - - n a !l + ll y ]l > !l n a l] = = n'-" 'i! a ~'~, ,

wo die r e c h t e Seite m i t n u n e n d l i e h gross wird, w~ihrend z m k o n s t a n t ist, w. z. b. w.

8. B e l i e b i g e a r c h i m e d i s c h e B e w e r t u n g e n . E s sei n u n K ein b e l i e b i g e r a r c h i - m e d i s e h b e w e r t e t e r K S r p e r u n d ,o d e r I n d e x d e r B e w e r t u n g des in i b m e n t h a l t e n e n b e w e r t e t e n K S r p e r s R. D a n n enthKlt d e r d e r i v i e r t e K S r p e r K y o n K d e n b e w e r t e t e n K S r p e r W e (oder e i n e n zu i h m a n a l y t i s c h i s o m o r - phen). E n t h / i l t n u n K eine W u r z e l ' i d e r G l e i e h u n g x'-'+ i = o , so ist in K eine b e w e r t e t e a l g e b r a i s c h e E r w e i t e r l ~ n g y o n W o (oder y o n e i n e m zu W e a n a l y t i s e h i s o m o r p h e n U n t e r k S r p e r v o n K ) e n t h a l t e n , welehe n a c h d e m zwei- t e n Teil d e s H i l f s s a t z e s in 6. m i t Z 0 a n a l y t i s e h i s o m o r p h ist. I s t a b e r x" + i in K irreduzibel, so a d j u n g i e r e n w i t zu K eine W u r z e l y o n x ~ + i u n d b e w e r t e n d e n so e n t s t a n d e n e n K S r p e r K n a e h d e m H i l f s s a t z y o n 6. D a n n m u s s K e i n e n m i t Zq a n a l y t i s c h i s o m o r p h e n U n t e r k S r p e r Z o e n t h a l t e n . N a e h d e m Vollstiindig- k e i t s s a t z f~llt a b e r K m i t Z 0 z u s a m m e n . D e n n s o n s t k S n n t e n wir a u s K , i n d e m wir in i h m alle E l e m e n t e y o n Z~., d u t c h d i e e n t s p r e c h e n d e n v o n Z 0 e r s e t z e n u n d eine e n t s p r e e h e n d e M o d i f i k a t i o n in seinen K o m p o s i t i o n s g l e i c h u n g e n a u s f i i h r e n , eine b e w e r t e t e E r w e i t e r u n g y o n Z 0 e r h a l t e n . Also ist K m i t e i n e m U n t e r k d r p e r y o n Z o a n a l y t i s c h i s o m o r p h . I s t u m g e k e h r t K m i t e i n e m U n t e r k S r p e r y o n Z i s o m o r p h , u n d o r d n e n wit j e d e m E l e m e n t y o n K die B e w e r t u n g zu, die d a s i h m e n t s p r e e h e n d e E l e m e n t in Z 0 h a t , so e n t s t e h t eine a r e h i m e d i s e h e B e w e r t u n g y o n K . W i r wollen a u f diesen Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n d e n a r c h i m e d i s e h e n B e w e r t u n g e n y o n K u n d d e n iso- m o r p h e n B e z i e h u n g e n y o n K u n d d e n U n t e r k f r p e r n y o n Z nKher e i n g e h e n . E i n e i s o m o r p h e B e z i e h u n g (p z w i s e h e n K u n d e i n e m U n t e r k S r p e r y o n Z sei eine P e r - m u t a t i o n y o n K in Z g e n a n n t . D a s d a b e i e i n e m E l e m e n t a y o n K e n t s p r e e h e n d e E l e m e n t qJ(a) y o n Z sei d a s B i l d y o n a g e n a n n t . Zwei P e r m u t a t i o n e n q~ u n d (p v o n K in Z seien k o n j u g i e r t k o m p l e x g e n a n n t , w e n n die B i l d e r ~ (a) u n d ~O (a)

(13)

lJber einige LOsungen der Funktionalgleichung q~ (x) . ~f (y) ~ ~# (x y). 283 fiir jedes a aus K k o n j u g i e r t k o m p l e x sind. E n d l i e h n e n n e n wir eine P e r m u t a - tion ~ y o n K in Z reell, wenn die Bilder siimtlicher E l e m e n t e y o n K reell sind.

Aus jeder P e r m u t a t i o n ~p y o n K in Z k a n n m a n n u n nach d e m Obigen eine archimedisehe B e w e r t u n g y o n K herleiten d u r e h die F e s t s e t z u n g i:aii~ltP(a)[:'.

E r g e b e n a u f diese Weise zwei P e r m u t a t i o n e n ~o u n d (pr y o n K in Z eine u n d dieselbe B e w e r t u n g y o n K , so muss fiir alle a aus K I ~ (a) I -~ = I ~0' (a) lo , I~p (a)~ =

= [ ~V (a) I seth. Sind hier ~0 u n d (p' zwei wersehiedene P e r m u t a t i o n e n , u n d ist e t w a fiir ein a aus K ~O(a) ---- ee + f i t , ~' (a) = 7 + (~i ~ ~ + f i t , so muss fiir jede rationale Zahl m ]m + c~ 3- f l i l ~ ] m - 4 - Z 3- ~i~ seth, woraus a ~ 7 , f i = - - ( ~ folgt. I s t fiir ein beliebiges anderes E l e m e n t b y o n K ~p (b) ~ w + b i, ~' (b) ~ r + ,9 i, so folgt fiir zwei beliebige r a t i o n a l e Zahlen m u n d n I m ~ (a) + n ~, (b) i = [ m ~0' (a) 3- n ~' (b) [, (m a + n w)'-" + (m fl + n b) ~ = (m a + n r) ~ + ( - - m fl + n ,9) e. Beriieksichtigen wir noeh, dass jedenfalls w ~ r , b = • 0 u n d dass wegen ( p ( a ) ~ (p'(a) fl~>o ist, so folgt endlich b ~ - - O , d. h. die P e r m u t a t i o n e n (p u n d ~r sind k o n j u g i e r t komplex.

Z u s a m m e n f a s s e n d erhalten wir folgende Siitze, d u r e h welche die Theorie der a r e h i m e d i s c h e n B e w e r t u n g e n erledigt wird:

Jede archimedische Bewertung eines KSrpers K , bet welcher der in K enthaltene UnterkSrper R aller reeller Zahlen m i t einem I n d e x Q bewertet wird, entsteht aus einer Permutation ~ yon K in den KSrper Z aller komplexer Zahlen, indem /iir ]e- des Element a v o n K /est~esetzt wird:

!] a li = I q) (a) I%

und umgekehrt entsteht au] diese Weise arts ]eder Permutation yon K in Z eine archimedische Bewertung yon K: Zwei verschiedene Permutationen yon K in Z er- geben dann und nur dann eine und dieselbe Bewertung yon K, wenn sie kon]vgiert komplex sind. Die Anzahl (bzw. die Mdchtigkeit) aller solcher Bewertungen yon K ist gleich der Anzahl (bzw. der Mgchtigkeit) seiner reellen und der Paare seiner kon-

~uqiert komplexen Permutationen in Z.

I s t z. B. K = R (a), wo a eine algebraische Zahl ist, so ist die Anzahl aller einem b e s t i m m t e n I n d e x Q e n t s p r e e h e n d e n B e w e r t u n g e n y o n K der Anzahl der reellen u n d der P a a r e k o n j u g i e r t k o m p l e x e r W u r z e l n der in R irreduzib]en Gleiehung, der a geniigt, gleieh. J e d e r a r e h i m e d i s c h e n B e w e r t u n g yon K e n t s p r i e h t eine mit jener irreduziblen Gleiehung vertr~igliehe F e s t s e t z u n g des absoluten B e t r a g e s y o n a u n d v o n alien aus a r a t i o n a l a b l e i t b a r e n Zahlen.

Die spezielle W a h l y o n Q ist o f f e n b a r unwesentlich, d e n n jede algebraische u n d L i m e s - R e l a t i o n zwisehen d e n E l e m e n t e n y o n K , die fiir irgend ein Q gilt, bleibt giiltig a u c h fiir jedes a n d e r e zuliissige Q. Aus u n s e r e n R e s u l t a t e n ergibt sieh d a h e r die F o l g e r u n g :

(14)

Jeder archimedisch bewertete KSrper ldsst sich au] einen Unterkdrper des Kgr- pets aller komplexen Zahlen so abbilden, dass dabei sowohl alle algebraischen als auch alle Limesrelationen bestehen bleiben.

Nennen wir nach Swv.I:siTz einen K6rper algebraisch abgeschlossen, wenn in ihm jede algebraische Gleichung mit einer U n b e k a n n t e n eine LSsung hat., so folgt insbesondere aus dem VollstEndigkeitssatz:

Jeder archimedisch bewertete per/ekte und algebraisch abgeschlossene KSrper l(isst sich au/ den Kdrper aller komplexer Zahlen so abbilden, dass dabei sowohl alle algebraischen als auch aUe Limesrelationen bestehen bleiben.

Damit ist eine merkwiirdige Charakterisierung des K6rpers aller komplexer Zahlen gewonnen.

Marburg a. d. L. April 1916.