Einfiihrung UBER DIE MULTIPLIKATION DER KAUSALFUNKTIONEN IN DER QUANTENTHEORIE DER FELDER

UBER DIE MULTIPLIKATION DER KAUSALFUNKTIONEN IN DER QUANTENTHEORIE DER FELDER

VON

N. N. BOGOLIUBOW und O. S. PARASIUK

in Moskau (N. N. B,) und in Kiev (0. S. P.)

Einfiihrung

Die verallgemeinerten Funktionen von Sobolew [1] und Schwartz [2] finden heute eine immer breitere und breitere Anwendung. In erster Reihe umfasst dieses An- wendungsgebiet die Theorie der linearen Probleme der mathematisehen Physik. Bei nichtlinearen Problemen finder diese Theorie fast keine Anwendungen. Dies ls sich wohl dadurch erkl/iren, dass bis jetzt die Theorie der niehtlinearen Operationen mit verallgemeinerten Funktionen noeh nicht ausgearbeitet ist. Die cinfachste nichtlineare Operation ist die Multiplikation. N u n hat Schwartz [3] in einer seiner Arbeiten ge- zeigt, d a s s e s praktisch nicht m6glich ist, eine verniinftige Multiplikation im Gebiete der verallgemeinerten Funktionen zu definieren. Da aber dig Operation der Multi- plikation der speziellen verallgemeinerten Funktionen in der Quantentheorie der Felder eine besonders wichtige l~olle spielt, ngmlich bei der Konstruktion der Streumatrix mit st6rungstheoretischen Methoden, so ist das Problem der Ausarbeitung einer Theorie der ~ultiplikation ffir spezielle sogenannte Kausalfunktionen ein zentrales Problem der modernen mathematischen Physik. DiG Physiker haben versucht, diese Aufgabe in der folgenden Weise zu 16sen. U n t e r Benutzung der Tatsache, dass die Fourier- transformation der Kaus~lfunktionen dureh eine Folge gewShnlicher Funktionen dar- gestellt wcrden kann (siehe wciter strenge Definition im w 1), versuchte man, die Fouriertransformation des Produktes zu schreiben. Dabei erschienen aber im Allge- meinen divergente Integrale, da die Funktionen unter dem Integralzeichen oft zu schnell im Unendlichen anwuchsen. Damit entstand der Wunsch, diesen divergenten Integralen einen finiten Sinn beizulegen. Bemfihungen in dieser l~ichtung fiihrten zur Ausarbeitung einer speziellen Subtraktionstechnik (Schwinger [4], F e y n m a n n [5], [6],

2"~8 N . N . B O G O L I U B O W U N D O. S. P A R A S I U K

Dyson [7], Salam [8]). Bis heute aber sind die Untersuchungen auf diesem Gebiet noeh nicht zu Ende gebracht. Die wichtigste diesb.eziigliche Arbeit [8] enth~lt keine strenge Definition der Subtraktionsoperation, w/~hrend die Einftihrung der sog. Basisvariablen den praktischen Nutzen dieser Operation weitgehend beschr~nkt hat.

Der Beweis des Satzes, dass die Subtraktionsoperation auf endliche Resultate ffihrt, ist nicht streng und der m a t h e m a t i s c h e Sinn dieser Operation ist unklar.

Ein neuer Ansatz zur LSsung dieser Probleme wurde in den Artikeln [9] vorge- schlagen. Jedoch sind diese Arbeiten in erster Linie fiir P h y s i k e r bestimmt; sie ent- halten keine Beweise der wiehtigen S/~tze, welche die Subtraktionsoperation charakte- risieren. Unserer Meinung nach haben solche S~tze selbst~ndige Bedeutung u n d wir haben uns daher entschieden, eine unabh~ngige, fiir M a t h e m a t i k e r b e s t i m m t e Dar- legung zu bringen. Daneben richter sieh unser Artikel ebenfalls a n Mathematiker, die die physikalische Bedeutung der Resultate begreifen wollen, ebenso wie an Physiker, denen es an einer strengen mathematische Begriindung der Subtraktionsoperation ge- legen ist.

Daher haben wir uns entschlossen, dem Artikel einen Anhang beizufiigen, in dem ein Z u s a m m e n h a n g zwischen der S-Matrix-Theorie und dem Multiplikationsproblem der Kausalfunktionen hergestellt wird.

Fassen wir kurz die Resultate der Arbeit zusammen. Wie sehon oben erw~hnt, beseh/~ftigen wir uns m i t d e m Problem der Multiplikation y o n Kausalfunktionen. Die Fouriertransformation oder, wie wit lieber sagen wollen, das Impulsbild solcher Funk- tionen wird durch die Gleiehung

P (k) Ac (k) : lim m2 _ k2 _

definiert, w o k den vierdimensionalen Vektor m i t den K o m p o n e n t e n / c ~ /cl, /c$, /ca, p (k) ein Lorentzkovariantes P o l y n o m und die Grenze e-->0 in der schwachen Topologie zu nehmen ist. Die K a u s a l f u n k t i o n A c (x) wird also durch die Formel

/c x = k ~ x ~ - / c l x 1 _ / c ~ x2 _ / c ~ x3; d/c = d k ~ d/Cl d/C2 d/c3

definiert, wo die Fouriertransformation im Sinne der Theorie der verallgemeinerten Funktionen zu verstehen ist (vgl. w 1). Unsere Aufgabe besteht darin, die Theorie der P r o d u k t e der Kausalfunktionen der F o r m

1-[ Af (x, - xs)

l

KAUSALFUNKTIONEN I N D E R QUANTENTHEORIE D E R ~'ELDER 2 2 9

zu entwiekeln; hierbei bedeutet l den I n d e x der Linien, die die P u n k t e xr m i t xs ver- binden (vgl. w 1). Das Problem wird in der folgenden Weise gel6st. Man konstruiert zuerst zu jeder K a u s a l f u n k t i o n A[ ( x r - x s ) eine Folge yon regul/~ren Lorentzinvari- anten Funktionen reg A[M (x,. -- x~), die bei M - ~ ~ sehwaeh gegen A[ (xr - x~) konver- giert, d . h . fiir jede genfigend schliehte F u n k t i o n F (x) gilt die Beziehung

| r e g A[M(X) F ( x ) d x = | A ~ ( x ) F ( x )

lira d x .

J e t z t w/~re es natfirlich, die schwache Konvergenz der P r o d u k t e

II reg A~M

(Xr- Xs);

l = 1, 2 . . . . , L (0.1) z

zu beweisen. Der Ausdruek (0.]) konvergiert jedoeh in der Regel nieht, selbst in der sehwachen Topo]ogie. Der hier vorliegende U m s t ~ n d ist gerade die oben erw/~hnte Divergenz der Integrale. N u n l/isst es sieh ab3r beweisen, dass die Konvergenz in (0.1) besteht, sobald die sehliehten Funktionen F beim Zusammenfallen irgendweleher Argumente Null werden. D a n n k6nnen wit das zu konstruierende P r o d u k t

I-[ 55 (Xr-- xs); t = 1, 2 . . . L (0.2)

l

als in dieser Unterklasse definiertes Funktional betraehten. Es entsteht jetzt die Auf- gabe, das so gefundene Funktional auf den ganzen R a u m der schliehten Funktionen auszudehnen. Solche Fortsetzungen lassen sieh auf versehiedene Art und Weise be- werkstelligen; nieht alle sind ffir uns gleiehwichtig. I n der vorliegender Arbeit studieren wit eine spezielle Fortsetzung, die dureh die Operation R (w 3) realisiert wird.

Der Grund fiir die Wichtigkeit dieser Fortsetzung wird im Anhang erhellt. Es zeigt sich n/~mlieh, dass die dureh sic definierte P r o d u k t e zur K o n s t r u k t i o n der Streu- m a t r i x fiihren, welche den Bedingungen der Lorentzkovarianz, Unitarits und K a u - salit//t geniigt. Die Subtraktionsoperation k a n n hierbei als Fortsetzungsoperation er- kl/~rt werden.

Die strenge Definition dieser Operation und der strenge Beweis des Satzes, dass dureh sie die Fortsetzung unseres Funktionals realisiert wird, d . h . d a s s in den ent- sprechenden Integralen die Divergenz aufgehoben wird, stellen die wichtigsten Re- sulfate unserer Arbeit dar.

Die Arbeit besteht aus vier Paragraphen: der erste enth/~lt eine kurze Theorie der Kausalfunktionen; im zweiten wird das Problem der Multiplikation der KausM- funktionen diskutiert; im dritten definieren wir die Subtraktionsoperation und studieren

230 ~. ~. BOaOnIUBOW U~D O. S. rXaASIUK

ihre k o m b i n a t o r i s e h e n Eigensehaften; im vierten werden schliesslieh die wichtigsten S~tze bewiesen.

Einige B e m e r k u n g e n fiber die y o n uns b e n u t z t e n Bezeiehnungen:

xl, x 2 .. . . xn b e d e u t e n die 0 r t s v e k t o r e n der P u n k t e im vierdimensionalen R a u m - z e i t k o n t i n u u m ; kl, k 2 .. . . k~ die vierdimensionalen I m p u l s v e k t o r e n ;

/C X = /C0 X 0 - - /Cl X 1 - - /C2 X 2 - - /C3 X3, /C2 : ( / C 0 ) 2 ( / C l ) 2 ( / C 2 ) 2 (/C3)2,

X 2 = ( Z 0 ) 2 - - ( x i ) 2 - - (X2) 2 - - (X3) 2

die skalaren P r o d u k t e ; mi, M~ die Massen der Felderteflchen; 5 (x) das S y m b o l der vierdimensionalen Diracschen F u n k t i o n , d/c = d/c o d/Cl d/c2 d/ca; d x = d x ~ d x 1 d x 2 d x 3.

Die O p e r a t i o n f (...) d/c, bzw. f (...)

dx,

b e d e u t e t die I n t e g r a t i o n fiber den g a n z e n vierdimensionalen I m p u ] s v e k t o r r a u m bzw. K o o r d i n a t e n r a u m : schreiben wir

/ f ... f . . d/c , bz . f / . . . f ...

so ist d a r u n t e r die I n t e g r a t i o n fiber d e n ganzen e n t s p r e c h e n d e n 4 n - d i m e n s i o n a l e n R a u m zu verstehen. Weitere B e z e i c h n u n g e n werden im T e x t eingeffihrt.

w 1. Die Kausalfunkti~nen der (~uantentheorie der Felder

Eine strenge Definition der K a u s a l f u n k t i o n e n l/~sst sieh m i t Hilfe der Theorie der verallgemeinerten F u n k t i o n e n v o n Sobolew [1] u n d Sehwarz [2] geben. E s ist wohl b e k a n n t , dass m a n die verallgemeinerten F u n k t i o n e n , als F u n k t i o n a l e im R a u m e der , , G r u n d f u n k t i o n e n " definiert. D a b e i hi~ngt die Klasse der verallgemeinerten F u n k t i o n e n wesentlich y o n der W a h l dieses R a u m e s ab. Ffir unsere Zwecke ist die folgende Klasse d e r v. F. a m bequemsten.

Sei C (g, r, n) die Klasse der q-mal stetigdifferenzierbaren F u n k t i o n e n F (xl, x 2 .. . . xn), ffir die a]le P r o d u k t e der F o r m

a p F (xl, x 2 .. . . . x~)

X ~ ~ X~s s

( s = 0 , 1 . . . r; p = 0 , 1 . . . q; ~ , / ~ = 0 , 1 , 2 , 3) beschri~nkt sind.

W i r definieren ffir E l e m e n t e ~' (xl, x 2 .. . . . xn) E C (q, r, n) die N o r m [[_~][ d u r c h die Gleichung

K A U S A L F U N K T I O N E N I N D E R Q U A N T E N T H E O R I E D E R F E L D E R 2 3 1

[ as ~P A~(Xl'X2' ~ "'"'" ' 3p i

l I E [ l = sup x~'xT: ... x, s axqp

(1.1)

| ( - ~ < x ~ < c ~ ; s = O , 1 . . . r ; p = 0 , 1 . . . q ; ~ r 1 , 2 , 3) 1

Man sieht leieht, dass d a d u r e h der t~aum C (q, r, n) zu einem B a n a e h s e h e n ]~aume wird.

Die linearen F u n k t i o n a l e K (F) fiber d e n R~iumen C (q, r, n) (q, r irgendwelche ganze positive Zahlen) sollen verallgemeinerte F u n k t i o n e n heissen. W i r werden sic a u c h d u r e h

K (xl, x 2 .. . . . x~)=--K(F) (1.2)

bezeichnen u n d kurz in C (q, r, n) integrierbare F u n k t i o n e n nennen. Es ist klar, dass wenn K (F) ein lineares F u n k t i o n a l fiber d e m R a u m e C (q, r, n) ist, so ist es a u c h ein lineares F u n k t i o n a l fiber denjenigen C(~, ~, n), ffir welehe ~ > q , r gilt. D a C (~, ~, n) dieht in C (q, r, n) ist, sobald n u r ~ > q, ~ > r, so e n t s t e h e n keine Schwierig- keiten m i t der E i n d e u t i g k e i t unserer Definitionen. Selbstversts sind a u c h die gewShn]iehen F u n k t i o n e n K (xl, x 2 .. . . . xn) in diesem Sinne C (q, r, n) integrierbare F u n k t i o n e n , sobald n u r die I n t e g r a l e

f f . . . f g ( x l ,

. . .

. . . xn)dx dx=...dx=,

F E C (q, r, n) existieren. W i r wollen sagen, dass wir im Falle der gewShnliehen F u n k - tionen m i t F u n k t i o n a l e n y o n d e m T y p einer F u n k t i o n zu t u n haben.

Mit Hilfe solcher F u n k t i o n a l e k a n n m a n eine neue, flit uns sehr nfitzliehe De- finition der verallgemeiner~en F u n k t i o n e n geben. M a n w~hle eine s c h w a c h k o n v e r g e n t e

F o l g e

KM

( x 1, x 2 . . . .

xn),

M---~oo der F u n k t i o n a l e y o n d e m T y p einer F u n k t i o n (d. h.

fiir jede F (xl, x 2 .. . . . x~) E D (q, r, n), q, r genfigend gross, mSge

l i m f f . . . f g M ( x ~ , x 2 .. . . . x ~ ) F ( x x , x2 . . . xn) d ~ , l d x 2 . . . d x r t

M--+oo

J J J

existieren).

Der Grenzwert K (x 1, x~ . . . x ~ ) - ~ K (F)

einer solchen Folge b e s t i m m t n u n ein F u n k t i o n a l , dass im allgemeinen nicht m e h r ein F u n k t i o n a l y o n d e m T y p einer F u n k t i o n zu sein b r a u c h t . So e n t s t e h t eine ver- allgemeinerte F u n k t i o n

K ( F ) ~ K (Xl, x 2 .. . . . x~). (1.3)

232 N . N . B O G O L I U B 0 ~ V U N D 0 . S. P A R A S I U K

Es ist nieht sehwer fiir den oben eingefiihrten Begriff der verallgemeinerten F u n k - tion eine Theorie der Differentiation, der I n t e g r a t i o n , der h a r m o n i s e h e n Analyse u. a.

zu entwiekeln. Dabei muss m a n aber alle R g u m e

C(q, r, n)benfitzen;

m a n sieht, dass eine genfigend h o h e Ableitung einer verallgemeinerten F u n k t i o n nieht m e h r in d e m ZugehSrigen C(q, r, n) integrierbar zu sein braueht.

N a e h diesen B e m e r k u n g e n k 6 n n e n wir bereits zur Definition der K a u s a l f u n k t i o n fibergehen.

Eine Gleiehung

K a u s a l f u n k t i o n D ~ (x) ist eine verallgemeinerte F u n k t i o n , die d u r e h die

1 fe,~,:f)~(lc)dlc

(1.4)

D c ( x ) :

definiert wird, wobei /)~ ( k ) = lim m2 - k2 ¹ (1.5)

~ 0 i e

u n d der Grenztibergang in der sehwaehen Topologie zu vollziehen ist. Mit a n d e r e n W o r t e n D c (x) ist als F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n der verallgemeinerten lq'unktion /) c (k) zu verstehen.

Eine noeh allgemeinere K a u s a l f u n k t i o n A c (x) f/ihren wir d u r e h die Gleiehung

A c ( x ) = P - i ~ x (x). (1.6)

ein, wo P ein P o l y n o m bedeutet. I n den A n w e n d u n g e n soll es ein L o r e n t z k o v a r i a n t e s P o l y n o m sein.

Die F u n k t i o n e n D c, A c h a b e n b e k a n n t l i c h Singularitgten auf dem Lichtkegel.

Dies ist der wahre Grund, w a r u m m a n sie als verallgemeinerte F u n k t i o n e n be- t r a e h t e n muss.

I n diesem Z u s a m m e n h a n g ist es wiehtig, dass sieh immer eine Folge, reg A ~ (x), v o n regulb;ren L o r e n t z i n v a r i a n t e n F u n k t i o n e n a n g e b e n 1//sst, die bei M-->oo sehwaeh gegen die F u n k t i o n A ~ (x) konvergiert.

Die K o n s t r u k t i o n einer solehen Folge wurde y o n Pauli-Villars [10] angegeben. W i r werden den Sinn dieser K o n s t r u k t i o n erklgren u n d d a n n den Satz v o n d e r sehwaehen K o n v e r g e n z der Folge reg A ~ (x) beweisen.

Man bildet eine lineare K o m b i n a t i o n von F u n k t i o n e n A~j(x) m i t versehiedenen Massen Mj

l

reg A ~ ( x ) = A ~ ( x ) + ~

cjA~Mj(x)

(1.7)

j - 1

KAUSALFU:NKTIONEN IN DER QUANTENTtIEORIE DER FELDER 233 unter den Nebenbedingungen

ra 2 + ~ ej ~ / ~ = O, J

,~yt2(/ 1 ) + /~.

cjM2(l-1)= O,

(1.s)

wodureh die Singularit/iten in der F u n k t i o n reg A~ (x) aufgehoben werden.

Den Sinn der Nebenbedingungen sieht m a n am besten, wenn m a n m i t ttilfe der Relation

~o

1 f (1.9)

m2 k 2 _ i e ~ e z~ k2 ~ ) d ~

0

zu einer neuen Darstellung d.s. ~-Darstellung der Kausalfunktionen iibergeht

1 f e i~*b ~(k) dk--

D ~ ( x ) = - - - d ~

lim ~

e - i a ( m ' - i s ) e 4~ __(x 2 .

o

(1.10)

Die letzte Gleichung haben wir durch die Ausrechnung der Gaussischen Integrale f e i (Qtk2+kx) d Ic = i or 2 e 21:2 - _ _

erhalten.

Solche Integrale sind stets als Grenzwerte

zu verstehen.

Aus der Formel

ix 2

4~, ~>0, (1.11)

lim | F e i(~k2+ kx)-, [(k~ (k')~+(k~)-'+(k~)2] d k 7-.0 J

7>0

(1.10) sieht m a n leicht, dass die Singularit//ten der F u n k t i o n D c (x) aus dem Pol bei cr stammen.

Wir b e m e r k e n aber, dass die F u n k t i o n reg A c (x) m i t Hilfe der Relation (1.9) in der folgenden Weise geschrieben werden k a n n

co reg ACM (x) = ~ f e ~kx

o dabei h a t die F u n k t i o n I (u) die F o r m

e ~(k . . . . 4~) dg} d k ; (1.12)

I (:r = 1 + ~ c~ e -i~(M~'-')

]

2 3 4 ~ . :N. B O G O L I U B O W U ~ D O. S. t ' A R A S I U K

u n d nach (1.8) eine Nullstelle y o n genfigend hoher O r d n u n g bei ~ = 0 . Die Anwesen- heit dieser Nullstelle g a r a n t i e r t die R e g u l a r i t g t der F u n k t i o n e n reg A ~ (x).

Es gilt der

SATZ 1. M a n kann die Hil[smassen in der Formel (1.12) so gegen unendlich streben lassen, dass die Folge

reg A,~ (x) 8chwach gegen den Grenzwert A ~ (x) konvergiert.

Beweis. Seien /~j beliebig verschiedene Massen. D a die D e t e r m i n a n t e

1 1 . . . 1

~ ~ ' ' ~ ~ 0

,u1~(l-1) ~ ( l - 1 ) . . . ~ ( l - .

yon Null verschieden ist, so h a t das G l e i c h u n g s s y s t e m E 4 ") l = ~o~

i 1 1

E (v) 2(l-1)

a] ~t] = 01-1, v

] - 1

eine LSsung. W i r setzen M s - ~ s M u n d linden leicht aus (1.13) dass

l = l ( i ) 2 v

~, = - E a7 )

v=0 E s ist klur, dass fSr M r > ~ IcJl <- K.

N u n schgtzen wir die Differenz

I

= [ 1 fz=v I

/

(1.13)

F L

J

| reg A c ( x ) F . ( x ) d x - J | A c ( x ) F ( x ) d x = ~ cj I AcM~ ( x ) F (x) dx

j = l

ab, wo F (x) eine beliebige F u n k t i o n aus d e m g a u m e C (q, r, n) ist u n d die Zahlen q, r geniigend gross gewghlt w o r d e n sind. D a die cj bei M - - - ~ b e s c h r g n k t bleiben, so genfigt es

c X

f h~j ( ) F (x) d x ~ O

zu beweisen. D a s ersieht m a n aber m i t Hilfe der P a r s e v a l s c h e n I d e n t i t g t .

K A U S A L ] F U N K T I O N E N I N D E R Q U A N T E N T H E O R I E D E R F E L D E R 235 w 2. Das Problem der Multiplikation yon Kausalfunktionen

Wir betraehten im vierdimensionalen Zeitramne die Punkte xl, x 2 .. . . . x,~ und ver- binden sie in einer ganz beliebigen Weise dutch geriehtete Linien. Dadureh entsteht im vierdimensionalen l~aume eine Figur. Wir wollen sie einen Graph oder ein Dia- gramm nennen und dutch G ( x l , x 2 . . . x~) bezeiehnen. Die Punkte Xr sollen die Vertexe und die Linien l die Linien der Graphen G (Xl, xe . . . Xn) heissen.

Jeder Linie 1 des Graphen G (xl, x 2 .. . . . x~), die yon xr nach x, fiihrt, ordnen wir nun eine Kausalfunktion A[ (Xr Xe) ZU und bilden formal das Produkt

I I A~ (Xr -- x~), Z = l , 2 . . . L . (2.1)

l

Ein solehes P r o d u k t soll als Beitrag des Graphen G bezeichnet werden.

Ziel unserer Arbeit ist nun Aufbauen einer Theorie fiir solche Produkte der Form (2.1). Gerade solehe Produktbildungen werden in der Quantentheorie der Felder bei der Konstruktion der S-matrix mit st6rungstheoretischen Methoden (siehe Anhang) gebraueht.

Eine kleine Reehnung zeigt, dass das formMe Impulsbild eines solchen Produktes v o n d e r Form

,(~,k,, ... ~ ) - ( f ...(~6(kr+~[p~)~A~(P~)~pldp~...~p~ _{d J j}

(".2) r = l , 2 . . . n, l = l , ' 2 , . . . , L

sein wird, wobei

e~--1, wenn die entspreehende Linie 1 x T als E n d p u n k t hat;

e~ = - 1 wenn die Linie l x~ als Anfangspunkt hat;

e[ = 0, wenn die Linie l den Vertex x~ nicht enth/~lt.

Man sieht, dass fiir die Bereehnung des Impulsbildes des Beitrages reeht ein- faehe gegeln formuliert werden k6nnen: jedem Vertex xr ordne man die Funktion (} (k~ + ~ e~p~), jeder Linie I die F u n k t i o n A[ (p~), erstreeke die Multiplik~tion fiber alle

l

Vertexe und Streeken und integriere fiber alle dp~ ( l - 1 , 2 . . . L).

Bereits die einfaehsten Beispiele zeigen, dass die Ausdrfieke ] (kl, k 2 . . . k , ) wegen der Divergenz der Integrale bei grossen Impulsen sinnlos werden k6nnen.

U m den tieferen analytisehen Sinn dieser Divergenzerseheinung aufzukl//ren, setzen wit in die Formel (2.2) an Stelle der F u n k t i o n e n A~ die regularisierten reg A~ ein und ziehen die ~-DarsteHung her~n, also:

236 N . N . B O G O L I U B O W U N D O . S. P A R A S I U K

0 r - 2 2

reg A~ (p~) = i P z (p~) f I ( ~ ) e ~ ( ~ - ' ~ +~) d:~

0

(der Grenziibergang e-+0 soll am Ende der Rechnungen vollzogen werden, vergleiche weitere Auseinandersetzungen).

FOr I (k~, k~ . . . k~) erh~lten wir jetz~

I M ( k 1, k 2 .. . . . k , ) = i L

...f d:qd~e ... d~e~r':~('~-"~)FII(~).

0 0 0 l

9 f f . . . f ~ P , ( p , ) e * = * ~ V ~ ( k ~ + ~ e ~ p , ) d p ~ d p ~ ... ~ p ~ .

(2.3)

Das folgende L e m m a kls den analytischen Sinn der Divergenzerscheinung auf:

LEMMA 1. Der A u s d r u e k IM(]Cl, k 2 .. . . ]Cn) k a n n i n /olgender F o r m geschrieben

w e ~ ' d e n :

IM (kl, k2 . . . k~) =

= ~

0 0 0

]-II(c~l)e z [ ( k l , k e . . . k~, ~1 . . . ccL) d ~ 1 ... d ~ L t = l

~ 5 k~ ~ M (It 1, ]C1 . . . /~n), i

(2.4)

w 0

/ (I: 1, k 2 . . . kn, :% ~2 . . . u L ) = F ( k , k2 . . . /c,, :q, :r . . . ~L)"

~ Aab(O:t, cz~ .. . . ~L) k a k O . e a,O

D i e F u n k t i o n F (k 1, /c 2 .. . . . kn, ~(1, ~2, " ' ' ' ~ L ) ist ein P o l y n o m i n den Verdnder.

lichen kl, k2, ... k~ u n d eine rationale Fun]ction i n den Vergnderlichen C~l, :r . . . . :eL die bei ~z = 0 einen P o l hat. D i e reelle quadratische F o r m

~. Aab (~(1' 0~2 . . . O~L) Xa Xb a,b

ist positiv de/init u n d die K o e / / i z i e n t e n A~b (... ~l ...) s i n d lineare homogene rationale F u n k t i o n e n i n den c~z.

Bevor wit zum Beweise dieser wichtigen Aussage fibergehen, bemerken w i r ~ d a s s Formel (2.4) anschaulich zeigt wie die Singulariti~ten entstehen, wenn d i e \ R e -

die \

gularisation aufgehoben wird und die Hilfsmassen Mj gegen ~ streben. D a n n k6nnte

KAUSALFU:NKTIOzNEI~ II~ D E R QUA:NTE~NTtIEORIE DEI% F E L D E R 2 3 7 m a n n~mlieh a n n e h m e n , dass I (0(z)--~l u n d im A u s d r u c k e (2.4) erscheinen die Pole bei ~ = 0.

W i r beweisen das L e m m a d u r c h die vollsti~ndige I n d u k t i o n nach der A n z a h l der Linien u n d Vertexe.

Wie sofort zu sehen, ist die B e h a u p t u n g riehtig im Falle des G r a p h e n m i t einer einzigen Linie, die zwei Vertexe verbindet. N u n b e m e r k e n wir, dass jeder G r a p h aus einem solchen d u r e h Hinzuffigen y o n neuen Linien u n d Vertexen entsteht. B e t r a e h t e n wit zuerst den Fall des Hinzuffigens einer Linie. N e h m e n wir an, dass die neue Linie den Vertex 1 m i t d e m Vertex 2 verbindet, d a n n h a b e n wir

ff f

reg AC ( X l - X2) I~ reg A c 1 ( x ~ - x ~ ) - (27~)4L+4 ... reg A~ (p)e ~p(~-~).

l

n

" d k i ~ M ( k l , k 2 . . . k~)e j=l d p d k l d k 2 ... dlc~=

i=1

n

(2~)4L+4 ... e j : l d kj DM (k 1

also

- - p , ]c2§ p . . . ]On) A c ( p ) d p ] "

9 d k l d k 2 . . . dk~

(2.5)

/* (]C1' k2 . . . 0(1' 0(2 . . . 0(L, 0 ( ) = f P ( p ) e ~ / ( l Q - p , k ~ § . . . k~, 0(i, 0( 2 . . . 0(L) d p , wobei das S t e r n c h e n fiber / bedeutet, dass die neue Linie beriicksichtigt worden ist.

D~ aber

/ ( k l - P ' ~2 § P ' k3 . . . ]Cn, 0(1, 0(2 . . . 0(L)

= F ( k l - p, k2 § la p, k3 + lap . . . ]c~ § ln p, 0(1, 0(2 ... 0(L) "

e x p {ia~ Aao (0(1, c % .. . . . 0(L) (ka + l~ p) (lc~ + l~ p)}

- F ( - i V ql, - i V q2 . . . - i v q,, 0(1, 0(2 .. . . 0(L)"

exp it X (.. 0(z.. )(ko+lop)(k0§ la )qo}

( a , b a = l q~=q. . . . q n - O

l~= + l, - 1 , 0 , I b = + 1 , - - 1 , 0 ,

so k a n n die I n t e g r a t i o n nach p ausgeffihrt werden u n d wir erhalten

238 N . N . B O G O L I U B O W U N D O . S . : P A R A S I U K

[* (kl, k2, . . . , kn, Oq, ~2 . . . . OCL, Or)=

= P ( - i V q) F ( - i V q p - i V q 2 . . . - i V q . . . )"

9 f e x p i o : p 2 + i p q e x p [ i ~ (ka +l,~p)(kb + l b p ) + X i ( k ~ + l a p )

[ a , b a

qa ) d J I j q = q~ = q ~ = . . 2152

= P ( - i V q ) F ( - i V ql, - i V q2 . . . - i V q . . . ) i(~A~l~lbz

t- o~) 2

. = q..t ~ 0

9 exp i A ~ b k a k ~ - i ~,b § (2.6)

4 ( ~ Aa~lal~ +c~) a

a, b q = q ~ = q 2 . . . q n = 0

Hierbei soll~n die Gaussisehen I n t e g r a l c

e~(aP~+bP)dp = - - i e ' i ~ , a > 0 , stets als Grenzwerte

lira ( e ~ (aP~-§ b P ) - ~ 7 [ ( P ~ ( p 2 ) , + ( p , ) 2 ] d P

77-->0

~ > 9

v e r s t a n d e n werden.

Aus der F o r m e l (2.6) ersieht m a n nun, dass, w e n n die Aussage fiir die F u n k t i o n / (fx, k 2 .. . . . f . . . ) gilt, sie a u e h fiir die F u n k t i o n /* (kl, k 2 .. . . . k . . . ) riehtig isf.

I m Falle des Hinzuffigens eines n e u e n Vertexes b e k o m m e n wir ganz analog

- io:k 0 2 g

[ * ( k l , k 2 . . . k~, ko, ~xl, o~ 2 . . . . z%, c ~ ) = P ( k o ) e " l ( k l - k o , k 2 .. . . . k . . . ~z . . . . ) (2.7) w o P ( k o ) das P o ] y n o m im I m p u l s b i l d der K a u s a l f u n k t i o n der neu h i n z u g e k o m - m e n e n Linie ist. Aus der F o r m e l (2.7) sieht m u n leicht, dass die I~ichtigkeit der Aus- sage a u e h it1 diesem Falle erhalten bleibt.

J e t z t sehen wir bereits die Sehwierigkeiten, die m a n bei der Aufstellung einer Theorie der Multiplikation y o n K a u s a l f u n k t i o n e n zu fiberwinden hat.

D a m a n reg AIM (x)--~A ~ (x)

M - - ~ o

schreiben kann, so w~re es ganz natfirlich das P r o d u k t I-[ A~ ( x r - x s ) als schwacher

z

G r e n z w e r t dcr Folge

I~ reg AiM (xr -- Xs) (2.8)

l

ffir M - - > ~ zu definieren.

K A U S A L ~ - U : N K T I O N E N I N D E R Q U A : N T E N T H E O R I E D E N F E L D E t t :239 f f ... f {zI~ reg A~M ( X r - X~)} F (Xl, Z~ . . . X~) d x 1 d x 2 ... d x~

wo F (x 1, x~ . . . . xn) 6 C (q, r, n).

D a aber

f f . . . f {1-I reg ( x r - ( - x . - . . . - x )ex e ...

l

= f f ... f I M ( k 1, ks . . . k , ) - ~ (kl, k~ . . . ]c~)dk~dk 2 ... dk~, wo _P das Impulsbild yon F i s t , so b r a u c h t dieser Grenzwert naeh den obigen Aus- fiihrungen nicht zu existieren. Es liisst sich jedoch beweisen, dass der Limes der Fo]ge (2.8) existiert, zwar nieht fiir alle F u n k t i o n e n F aus dem l~aume C (q, r, n), doeh ffir solche F ( x l , x 2 .. . . . xn), die sich z u s a m m e n m i t ihren Ableitungen versehwinden, so- bald irgendwelche Argumente zusammenfallen, d . h . wenn x~=x~. Die Klasse soleher Funktionen bezeiehnen wir durch D (q, r, n).

Es gilt ns der

S A T Z 2. Fiir alle F u n k t i o n e n F 6 D (q, r, n) (q, r geniigend grosse Zahlen) strebt die FoIge

gegen einen hoben wird.

( ( ( g V [ ~jj.~ x 2 .. . . . x ~ ) d x l d x 2 ... d x ,

bestimmten Limes, wenn M - - + ~ , d. h. w e n n die Regularisation au/ge-

Den Beweis des obigen Satzes k a n n m a n in den Arbeiten [12], [i6] linden.

Bemerken wit, dass dureh den Satz 2 das P r o d u k t (2.1) bei niehtzusammenfal- lenden Argumenten definiert wird und zwar als ein Funktional aus der Funktionen- klasse D (q, r, n).

U m das Problem vollst/~ndig zu 16sen, muss jetzt das so gefundene Funktional aus der Klasse D ( q , r, n) auf den ganzen R a u m C (q, r, n) fortgesetzt werden. Eine solehe Fortsetzung k a n n natfirlieh auf mannigfache A r t und Weise bewerkstelligt werden. Die Wahl der Fortsetzung wird davon abhs welchen Bedingungen wir dus P r o d u k t der Kausalfunktionen unterwerfen. I n der vorliegenden Arbeit werden wir eine spezielle Fortsetzung dieses Funktionals studieren, welehe dureh die in w 3 eingefiihrte R-Operation geliefert wird. Diese Fortsetzung (wir werden sie als R-Fort- setzung bezeiehnen) ist besonders f/Jr die Zweeke der Quantentheorie der Felder ge- eignet: wie im Anhang gezeigt wird, genfigt die Streumatrix, die m i t I-Iilfe der R- Fortsetzung konstruiert wird, den wichtigen Bedingungen der Unitarit/~t, der Lorentz-

240 1#. N . B O G O L I U B O W U~ND O. S. P A R A S I U K

invarianz und der Kausalit~t. Dabei werden die Forderungen, die man gewShnlich an Produktoperation stellt, vSllig ausser Acht gelassen, so dass wir das Wort ,,Pro- d u k t " nur ganz formal beniitzen dfirfen.

Da die R-Fortsetzung, wie es uns spKter klar wird, in Wirklichkeit mit dem Subtraktionsformalismus zusammenf/illt, so werden wir sie auch als Subtraktions- operation bezeichnen.

w 3. Die Subtraktionsoperation R und ihre wichtigsten Eigenschaften

Es sei G ein Graph mit den Vertexen xr, ( r = 1, 2 . . . n) und den Linien l ( l = 1, 2 . . . L ) . Nehmen wir weiterhin an, dass der Graph G zusammenh~ngend ist. Ausserdem ordnen wir, wie zuvor, jeder Linie l eine bestimmte regularisierte Kausalfunktion, reg A~ ( x r - x s ) , zu, wo xr den Anfangspunkt und xs den E n d p u n k t der Linie l bedeutet.

Bevor wir die R-0peration, die einem Graph G entspricht, definieren, wollen wir den Begriff des verallgemeinerten Vertexes einfiihren.

Unter einem verallgemeinerten Vertexe verstehen wir eine beliebige Menge yon Vertexen x~,, x,,~, . . . , x,. k, welche als ein Ganzes betrachtet werden soll. Dies ist so zu verstehen, dass bei der Berechnung des Beitrages des Untergraphen G (x~,, x, . . . x,~), der aus Vertexen dieser Menge besteht, sollen die Kausalfunktionen der Linien, die die Punkte x,,, x,. . . ~'k mit einander verbinden, ausser Acht gelassen werden und an deren Stelle sollen die Funktionen der Form

0

eingesetzt werden, wobei PL einige Polynome bedeuten sollen, die sps definiert werden. Der Beitrag eines verallgemeinerten Vertexes G (x~, x . . . x~) wird also immer ein Impulsbitd v o n d e r folgenden F o r m haben

wo / ein Polynom ist.

Wenn in einem Graph G(xl, x 2 ... x~) die Vertexe xl, x 2 .. . . x~ zu verallgemei- nerten Vertexen G 1 (xl, x2, x~,), G~ (x~,+l, x~+2 .. . . . x,,J . . . . Gs (x,, _1,1 . . . x,) zusammen- gefasst werden, so werden wir dies durch die Schreibweise:

G = G 1•215 • (3.1)

K A U S A L F U ~ K T I O N E N I N D E R Q U A N T E N T I t E O R I E D E R F E L D E R 2 4 1

andeuten. Der neue G r a p h

G = G I • 2 1 5 •

ist also ein solcher Graph, in welehem n u r solehe Linien auftreten, die Ga m i t ein- ander verbinden.

D e n Beitrag dieses G r a p h e n werden wir d u r e h

A (G1) A (G2) ... A (Gs) (3.2)

bezeichnen.

Zur B e r e e h n u n g eines solchen Beitrages bilde m a n also das P r o d u k t

A (G1). A (G 2) ... A (Gs) YI reg A~ (xT - x~) (3.3) wo I genau alle Linien durchliiuft, die die Vertexe xr aus d e n u G1, G 2 .. . . , G, m i t e i n a n d e r verbinden. Die Linien die die Vertexe, welche in denselben Ga liegen, ver- bindeni werden ausser A c h t gelassen, jedoch werden sie d u r c h die F a k t o r e n A (G1), A (G2)I . . . . A (G~) der verallgemeinerten Vertexe in l~echnung gestellt.

Bei der Einffihrung wller dieser n e u e n Begriffe spielen die ursprfinglichen Vertexe xr eine besondere Rolle u n d wir wollen sie U r v e r t e x e nennen.

U m aber eine S y m m e t r i e in den B e z e i c h n u n g e n zu erreichen~ ws wir als U r - vertexe bereits verallgemeinerte Vertexe G1, G 2 . . . Gs des G r a p h e n

G = G I • 2 1 5 ... •

diese sollen also U r v e r t e x e in d e m Sinne sein, dass wir aus ihnen weitere verallgemei- nerte Vertexe (sozusagen hSheren Stufe) bilden werden:

F k = G~ x G i x ... xG~ k. (3.4)

J e t z t definieren wir ganz formal die d e m G r a p h G G l x G2x ... x G~ z u g e o r d n e t e R- Operation. W i r bezeichnen sie d u r c h R (G 1 G 2 ... G~). Die Definition l~utet:

3~-1

R (G1 G~ ... G ~ ) - A (G~) A (G2) ... A (Gs)+ ~ A (F~) A (F2) ... A (Fro)§

m=2

+ A ( G 1 G 2 . . . G ~ ) ~ R ( G 1 G 2 . . . G ~ ) + A ( G 1 G 2 ... G~), (3.5) wo die S u m m a t i o n fiber alle mSglichen U n t e r t e i l u n g e n des G r a p h e n G - G 1 x G 2 x ... x Gs in verallgemeinerte Vertexe Fk zu erstrecken ist:

G = F ~ x F 2 x ..- xF,~, F k = G ~ x G ~ x . . . x G ~ k . 16- 563804. A c t a mathematica. 97. I m p r i m 6 le 7 a o h t 1957.

242 ~. N. BOGOLIUBOW UND O. S. PARASIUK

Die Operation R, in welcher ffir U r v e r t e x e gerade die Vertexe xl, x 2 .. . . . xn ge- n o m m e n werden, bezeiehnen wir einfach durch R (G). U m die Definition der R-Operation vollst/~udig zu maehen, muss man natfirlich noch die Beitr/~ge A (F1), A (F2) . . . A(F~) bestimmen; der Sinn des Symbols

A (U1) A (F2) ... A (Pro) wurde schon erkl/~rt.

Bevor wir das maehen, wollen wit ffir die rechte Seite y o n (3.5) abzfiglieh des letzten Gliedes die Bezeichnung R (G) einffihren.

Wir gehen nun zur B e s t i m m u n g y o n A (Fk) fiber. N e h m e n wir an, dass jedem verallgemeinerten Vertexe Pk eine ganze positive Zahl ~ (Pk) zugeordnet ist.

Es wird sp/~ter erkl/irt, wie eine solche Zahl zu w/~hlen ist. D a n n definieren wir die Impulsbilder der Beitr/~ge des Fk (wir bezeichnen sic aueh m i t A ( F k ) ) i n der folgenden Weise:

a) Wenn der Graph Fk schwachzusammenh/ingend ist d . h . in zwei Graphen, die m i t einer einzigen Linie verbunden werden, zerf//llt, dann setzen wir

A ( G ) = 0.

b) Wenn der Graph lPk starkzusammenh/~ngend ist (d. h. zusammenh//ngend aber nieht sehwaehzusammenh//ngend ist), dann definiert m a n A (Pk) rekurrent m i t Hilfe der Annahme, dass ffir alle F j c Pk der Beitrag A (Pj) bereits definiert ist

s 1

A ( F k ) = - M ( P k ) { A ( G ~ , ) A ( G ~ )

...

A ( G k ) + ~ A ( F , , ) A ( F , J . . . i ( r i m ) } , (3.6) Jm=2

wo die S u m m a t i o n fiber alle m6gliehen Unterteilungen des Graphen Pk in veralL gemeinerte Vertexe Fjm zu erstreeken ist. Das S y m b o l M ( P k ) ist so zu verstehen:

m a n bringe den Beitrag in den K l a m m e r n in die F o r m

d ( ~ lC~s) /r~ (l%, k ... Ic~k )

(3.7) und setze dann an seine Stelle den Ausdruek

0 (~ k~) T~/r~,

wo T ~ / r k ein soleher Absehnitt der Taylorsehen Entwieklung der F u n k t i o n [re in einem beliebigen P u n k t k~, = o)~, ... k~k = (~k ist, in d e m keine Gtieder v o m h6heren Grade als r (Fk) auftreten.

KAUSALFUI~KTIO~TE~ IN DEI% QUANTENTHEORIE DER F E L D E R 243 D a wit a n n e h m e n , dass A (G1), A (G2) ... A (Gs) ffir U r v e r t e x e gegeben sind, so genfigen die B e d i n g u n g e n a) b), u m A (Fk) vollsti~ndig zu definieren.

W i r sehen also, dass, wenn A (G1) , A (G2) .. . . . A (Gs) u n d die Zahlen r (Fk) be- k a n n t sind, die F u n k t i o n R (G1, G~ ... Gs) vollst~indig definiert ist.

J e t z t wollen wir einige E i g e n s e h a f t e n der so definierten R - O p e r a t i o n studieren.

L E M M A 2. E s gilt die Formel

. . .

R (G 1 a 2 . . . G s ) = A (G1) R ( G 2 G 3 . . . G~) + ~ P h + 1 . . . . , s /

9 A (G 1 G 2 .. . . . G~.,) R (G~,+I . . . Gs) -~ A (G 1 G 2 .. . . .

Gs),

(3.8) wobei P ein Symmetriesationssymbol bedeutet, u n d zwar die S u m m a t i o n i~ber alle Zer- legungen der M e n g e (2, 3 . . . s) i n zwei M e n g e n aus h 1 u n d s - ~1 Elemente, so dass insgesamt iiber alle Unterteilungen der Menge (2, 3 . . . s) i n zwei M e n g e n s u m m i e r t wird.

Beweis. D a die verallgemeinerten Vertexe Fk aus den U r v e r t e x e n G~,, G~ .. . . . Gi k bestehen, so k 6 n n e n wir immer in der S u m m e (3.5) die Glieder finden, welche als F a k t o r e n entweder A (GI) oder A (G 1 G2) usw. enthalten. F a s s e n wir in der S u m m e all2 K o m p o n e n t e n , die z u m Beispiel A (G1) enthalten, so k 6 n n e n wir A (G1) v o r di~

K l a m m e r ziehen u n d es steht, wie leicht zu sehen ist, in der K l a m m e r g e n a u der A u s d r u c k

R (a~ G ~ . e~).

I n analoger Weise b e k o m m e n wir a u c h die a n d e r e n Glieder der S u m m e (3.5). U m den Beweis der F o r m e l (3.8) zu E n d e zu fiihren, muss m a n sich n u r n o c h fiberzeugen, dass in dieser Weise alle K o m p o n e n t e n der S u m m e (3.5) ersch6pft werden. Dies ist ab~r offensichtlich, w e n n wir bemerken, dass eine beliebige U n t e r t e i l u n g der Menge G 2, G a . . . Gr in verallgemeinerte Vertexe F1, F 2 .. . . . F~ in folgender Weise durch- geffihrt werden kann.

W i r w~hlen einen festen Vertex G 1 u n d unterteilen die fibrigen auf alle m5gliche Weise in verallgemeinerte Vertexe: d a n n vereinigen wir G 1 u n d G 2 zu einem verall- gemeinerten Vertex u n d unterteilen die a n d e r e n in beliebiger Weise usw.

D a m i t ist das L e m m a bewiesen.

J e t z t wollen wir eine a n d e r e B e z e i c h n u n g fiir die Operation R einfiihren.

W i r sehreiben R (G 1 G~ ... G, [ ... ~ r ...), (3.9)

wo die Ausdrficke ~ r diejenigen beliebigen P u n k t e bezeichnen, in denen bei der Be- r e c h n u n g y o n A (Fk) T a y l o r s c h e E n t w i c k l u n g gebildet wird. Weiterhin schreiben wir

244 N . :N. B O G O L I U B O ~ V U N D O . S. P L R A S I U K

R* (G 1 G., ... Gs[ ... ~ r - - . ) fiir die R-Operation, die dem Graph G* entspricht, der aus G durch das Hinzuffigen einer neuen Linie zwischen G~ und G0 entsteht, wenn daneben den U n t e r g r a p h e n Fk aus G* dieselben Zahlen ~ (Pg) wie im G zugeordnet sin&

Das Impulsbild der Verbreitungsfunktion der Linie 1-2 bezeichnen wir durch

/xi~ (t)

J e t z t kSnnen wir folgendes L e m m a formulieren.

L EMMA 3. ES gilt die /olgende rekurrente Formel

R * ( G 1 G 2 , . . G ~ [ . . . g 2 r . . . ) = f A ~ ( t ) R ~ b ( G ~ G ~ ... G~ I . . . ~ t r . . . ) d t , (3.10) wo der obere I n d e x t andeuten soil, dass in R~o /i& k~ der A u s d r u c k k a - t /iir kb der A u s d r u c k kb § t substituiert ist. Die Integration wird iiber den ganzen I m p u l s r a u m ge- /i~hrt. Die Operation Ra~ wird durch die Formel

R ~ b ( G ~ G 2 ... G ~ I . . . ~ r . . . ) - R ( G ~ G 2 ... G~)+ ~ R ( G x G 2 ... G s : F ' l . . . ~ r . . . ) (3.11)

F ' C G

Hierbei bedeutet F" Ga, • Ga.. • ... • G% diejenige schwach zusammenh~ingenden Graphen, welche naeh Hinzu/iigen der neuen L i n i e zwischen Ga u n d Gb stark zusammenhgngend werden, R (G 1 G 2 ... Gs : F' ] ... ~ r ...) ist eine A r t von R-Operation liar Graph G*, indem /iir Urvertexe der Graph F ' u n d alle iibrigen G~k die nicht in F' enthalten sind, ge- n o m m e n werden. Dabei wird die Operation A (F') durch die Formel

A (F') = - M (F') R (F')

(3.12)

de]iniert, d . h . A (F') wird so berechnet, als ob die neue Linie zwisehen G~ u n d Gb /ehle u n d der Graph F' starkzusammenh~ingend wgre.

Beweis. Mit Hilfe der Formel (3.8) b e k o m m e n wit fiir R* (G 1 G 2 ... Gs ]... ~ r ...) R* (G I ('2 .-- Gs I--- ~ I . . . . ) - A* (G 1) R* (G~. G~ ... Gs) +

+ A * ( G IG2) R * ( G a G 4 ... G s ) + . . . + A* (G 1G 2 . . . G s ) . (3.13) I)as Sternchen auf der linken und der rechten Seite der Gleichung (3.13) bedeutet, dass alle Operationcn unter Beriicksichtigung der neuen a - b genommen werden. Wir wolien jetzt die rechte Seite von (3.13) so umformen, dass dort die Operationen A und R (ohne Sternchen) cxplizit erscheinen. Natiirlich wird dadurch die Verbreitungs-

1 E A U S A L F U N K T I O ~ E I q I N D E R Q U A ) I T E ~ T H E O R I E D E R F E L D E R 245 funktion A c ao (t) auftauchen. Dazu bemerken wir: wenn wir yon den Komponenten in (3.13) diejenigen mit dem F a k t o r A* (G 1 G 2 ... Gk) w/~hlen, die denjenigen Graphen entsprechen, welche auch vor dem Hinzuftigen der Linie a - b stark zusammenh/~ngend waren, so wiirde ihre Summe, im Falle dass wir diese Linie nicht beriicksichtigen, gerade R (G i G 2 ... Gs) ergeb3n. U m zu erkennen, um welche Ausdrficke die Summe der gew/~hlten Glieder sich y o n R (G 1 G 2 ... G,) unterscheidet, weisen wir darauf hin, dass ffir K o m p o n e n t e n der Form A* (A)R* (B), wo A ~ G a und B D G~ die Gleichung

A* (A) R* (B) = f A ~ (t) A (A t ) A (B t) dt gilt.

Bei Komponenten der F o r m A* (A) R (B), wo A ~ G~ G0 wegen der Voraussetzung des Lemmas bezfiglich der Zahlen v (Fk), kann man i~hnlich verfahren.

Wir betrachten zuerst den Fall, dass A - G ~ •

Da nach Annahme A, auch vor dem 1LIinzuffigen der Linie a - b , stark zusammen- h/~ngend ist, so hat man

A* (A) = A* (Ga Gb) -- -- M (A) {A* (G,~) A* (Gb)}

= -- M (A) {f A~a~ (t) A (Gt~) A (G~) dt}

= f A~b (t) { - M ( A ) [A (G~) A (G~)]} dt

= f A ~ ( t ) A (Ga Go) dt, t t

wobei das Bestehen der letzten Gleichung auf Grund der Eigenschaften der Zahlen v (F~) erschlossen worden ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die Formel

A* ( H ) = f A~b (t) A ( H t ) d t richtig ist ffir alle Untergraphen

H = G a x G o • des Graphen

A = G a x G b X G a ,

X ' ' " X e b k

• 9 • G a s ,

welcher auch vor dem Hinzuffigen der Linie a - b starkzusammenh/ingend war und beweisen, dass sie auch ffir den ganzen Graph A gtiltig bleibt. I n der Tat

246 ~ . :N. B O G O L I U B O W U N D O . S . P A R A S I U K

A* (A) = - M (A) {A*

(Ga) A* (Gb) A* (Ga~)

^{... A *}

(Gas)

^§

~m A* (H1)

A* (H2) ... (Hm)}

= - M (A) { f / ' , ~ (t) [/', G ~ ( a) A ( e i ) A ( , ~ , ) a ~ ^{. .} . A ( G , ~ ) +

+ ~ A (H~) A ( S t ) ... A ( s t ) ]

dt}

m

= f A ~

~b (t) A (A t ) dr.

J e t z t ist es sehon klar, dass die Summe aller ausgewi~hlten Glieder gleich f R(G~ G~ ... G~]... ~ . . . ) A~b (t) dt

ist. Es bleibt zu zeigen, dass die iibrigen Glieder die Summe

5 J A ~ G~ r'~l ^...

r ' c a

ao(t) R ( G ~ G ~ . . . : " ~ , ) d t

ergeben. Dazu betrachten wir die K o m p o n e n t e

A* ( r ' ) R* (Ga, Ga, ... G%).

Offensichtlich ist

R*

(Ga~ Ga, ... Gak) = R (Ga, Ga, ... Gak),

denn die neue Linie a - b liegt in F. Welter bemerken wir, dass F ' auch von dem Hinzuffigen der neuen Linie zusammenhi~ngend war, denn dureh das ttinzuffigen dcr neuen Linie ist der Graph F' ja stark zusammenhikngend geworden und dass die Zahl r ( F ' ) durch das H i n z u k o m m e n der neuen Linie nicht geikndert worden ist. Dann bekommen wir

A* ( F ' ) = f AC~ (t) A

( F ' t ) d t .

Also kSnnen wir schreiben

A* (F')

R (Ga, Ga, ... Gas) = f ACab (t) A (F,t) R (Ga, Ga, ... Gak) d t

= f A c ~ (t)R(G~,

G a , . . . G % : F ' I 9 ~ r

,. . . . ) d t

auf Grund der Definition yon R (G: F' I ... ~ r ---).

Es bleibt jetzt die Summation fiber F ' ~ G zu berficksichtigen um das L e m m a vollst~ndig zu beweisen.

Wir bemerken noch, dass in der gleiehen Weise auch die folgende Formel be- wiesen werden kann:

. . . A c . .

R*(G1G2 ... Gsl ~ r . . . ) = f ab(t) Rab(G~G~ ... G~] . ~ r . . . ) d r ,

(3.14) wo R ~ b ( G I . . . ~ . . . ) = R ( G ~ G ~ . . . G ~ ) § ~ R ( G ~ G 2 . . . G ~ : F ' I . . . s

r " c G

K A U S A L F U I ~ K T I O N E N I N D E I ~ Q U A I ~ T E N T t t E O R I E D E R F E L D E t ~ 247

w 4. Die analytischen Eigenschaften der Subtraktionsoperation R

In diesem Paragraph studieren wir die analytischen Eigenschaften der R-Opera- tion und zeigen, dass mit Hilfe dieser Operation die Multiplikation der Kausalfunk- tionen definiert werden kann.

Wir fiihren zuerst einige neue Bezeichnungen ein. Fiir R wollen wir im Falle, dass fiir die Kausalfunktionen die regularisierten stehen, R ( G ) I M ( . . . k . . . ) , und im anderen Falle R (G) I (... k . . . ) schreiben.

Es gilt der

S AT Z 3. Es sei G = G 1 • G 2 • " " • G s ein zusammenhgngender Graph. Dann kSnnen wir R(G1G 2 ... Gs)IM(... k . . . ) in der Form

R ( G 1 G 2 . . . G ~ ) I M ( . . . k . . . ) = ~ ks ... e , E ~ z ~ - ~ Z ~ [II(:r

i - 1 l

0 0 0

l'(I/~ki, 1/~./c,:,, l/'ik~, l/~-~1, l/~-~2, 1/'O~N, l/i)

, ~ " ' ' ~ , . . ~

schreiben. Darin bedeuten : l entweder ~

k~

P~= l oder ~ o~,

r (r . . . l / E )

" e a,O a G b d~ 1 ... d:r (4.1)

/" (... V~ k . . . V i ~o ... Vi) ein Polynom in allen seinen Argumenten,

r (... ( ~ ...) eine homogene rationale Funktion in V ~ , V ~ . . . V~-L vom Grade r, i E A'G~GbV~V~

die Summation vor (/,/r e ~. o , dass zur Bereehnung des Beitrages R mSg- licherweise i~ber verschiedene Glieder der in der Formel angegebenen Form durchzu- lighten ist,

eine homogene rationale Funktion ersten Grades in l/~, r [A (G)] den Grad des Polynoms in A (G),

r~ den Grad des Polynoms der Verbreitungs/unktion, die der Linie l entspricht, L die Zahl aUer Linien zwischen den Basisvertexen,

S die Zahl aller Basisvertexe, r = ~. r [ A ( G ~ ) ] + Z r ~ + 4 L - 4 ( S - 1 ) ,

a l

248 N . N . BOGOLIUBOW UND O. S. PARASIUK

A % % (... :q . . . ) x ~ x ~ ( S u m m e iiber beliebige S - 1 von S vertexen): quadratische

a , b

F o r m in x~ u n d homogene rationale F u n k t i o n ersten Grades in o~z m i t den Eigen- scha[ten :

a) W e n n alle cq > O, so ist die quadratische F o r m in x~ positiv de/init.

b) s A ~ % ( . . . ~ , . . . ) x ~ x ~ ~ ~,r Ix~I) 2.

a , b l a

Beweis. W i r beweisen den Satz d u t c h I n d u k t i o n n a c h der Zahl der Linien u n d Urvertexe. B e t r a c h t e n wir zuerst den einfachsten Fall, dass der G r a p h aus zwei d u r c h eine Linie v e r b u n d e n e Vertexe besteht. A n d e r e G r a p h e n e n t s t e h e n aus einem solehen d u r c h Hinzufiigen von neuen Linien u n d Vertexen.

Fiir den einfachsten G r a p h h a b e n wir

R (G 1 G 2) - A (G1) A (G2).

Es sei A (G1) = P1 (... I t . . . ) d ( ~ k), G~

A (a~)= P~(... ~ . . . ) ~ ( ~ k).

G~

Bezeiehnen wir noeh m i t A~2 (t) ~ PI~ (t) e i~'t~

die V e r b r e i t u n g s f u n k t i o n der Linie 1 - 2 . (Die I n t e g r a t i o n naeh ~r sowie die F a k t o r e n I ( ~ ) usw. werden wir auslassen.) D a n n h a b e n wir

A(G~)A(G2)=d( Z k + :~k)A~2(~k)P~(k~- ~ ]~ .... )P~(k~+ Z ~...),

GL G~ G G~ G~

u n d deswegen kSnnen wir schreiben

A(G1) a ( G 2 ) = d ( ~ It) [ ( ' ' " V ~ ] ~ . . . V ~ o ) . . . V~) i a ( Z k ) '

r e ~, ,

wobei, wie leieht zu sehen, der G r a d der F u n k t i o n r (... l/~z...) gleieh r = r [A (G1) ] + r [A (G2) ] + r12 + 4 . 1 - 4 (2 - 1)

ist, wie die B e h a u p t u n g des Satzes fordert. Die a n d e r e n B e h a u p t u n g e n des Satzes sind in diesem einfaehsten Falle evident.

W i r m a e h e n jetzt den I n d u k t i o n s s c h l u s s fiir das Hinzufiigen einer Linie. Dabei fassen wir insbesondere die E i g e n s e h a f t e n d e r F u n k t i o n

K A U S A L F U N K T I O N E N I ~ D E R Q U A N T E N T H E O R I E D E R F E L D E R 249 1( ) _e~a,b ~Z ~ a ~ , ~ b

r ...)

ins Auge.

Es sei G - G 1 • G2• • G~ ein zusammenh~ngender Graph m i t m § 1 Linien. Wit wollen annehmen, dass dieser Graph yon einer solchen Gestalt ist, dass durch das Weglassen einer beliebigen seiner Linien sein Z u s a m m e n h a n g nicht zerstSrt wird. Alle fibrigen F~lle werden durch den sp~teren Induktionsschluss ffir das H i n z u k o m m e n eines neuen Vertexes erfasst. W i t wollen jetzt annehmen, dass eine Linie zwischen den Vertexen G 1 und G~ beseitigt worden ist. D a n n haben wir auf Grund yon L e m m a 3

R*(G~G2... G~)= f A~2 (t) R~2(G

1G2... G ~ l . . . ~ . . . ) d t . (4.2) Wenn wir b e h a u p t e n kSnnten, dass /~12 yon derselben F o r m wie /~ w/~re, dann genfigte es ffir die Durchffihrung der I n d u k t i o n das I n t e g r a l (4.2) zu berechnen.

Wir werden n u n zeigen, d a s s die B e h a u p t u n g tats&chlich zutrifft.

Es ist

RI2(G~G2...Gsl...~r...)=R(G~G2...G~)§ ~ R(G~G2...Gs:F'I...~r...).

(4.3)

F ' C G

Wir wissen aber, dass

R (G1 G2... G8 : F ' ] ... ~ r ) = A (F') R (as. G~ ... G~k), (4.4) wo G~,, G . . . G~ k diejenige G, bedeuten, welche nicht in I ^TM enthalten sind und

A (F') = - M (F') R (F'). (4.5)

N a c h der I n d u k t i o n s a n n a h m e soll R ( F ' ) die F o r m (4.1) haben u n d allen Vor- aussetzungen des Satzes geniigen. W i t zeigen nun, dass durch die Operation M ( F ' ) die F o r m nicht zerstSrt wird. Diese Operation wechselt tatss E k in X eo im E x p o n e n t e u n d ~ndert dabei aber weder die F o r m des Zghlers noch den Grad der Homogenit~t des Nenners; bei s-maligen Differentiation der Exponentialfunktion wird diese m i t dem Ausdruck der F o r m (]/~)s multipliziert. D a a b e t in der T a y l o r s c h e n Entwicklung der F a k t o r ( k - w ) 8 erscheint, so k a n n m a n

(Vi (k- o)) ' (Vi p)'

schreiben. Bei der Differentiation des Polynoms entstehen F a k t o r e n der F o r m (V~)', die immer m i t k - c o zusammengefasst werden kSnnen. Es ist also die F o r m yon

250 N. N. BOGOLIUBO%V U N D O. S. P A R A S I U K

A ( F ' ) die gleiche wie v o n R ( F ' ) . D a r a u s k a n n m a n leicht schliessen, dass a u c h R (G : P ' l . . . f ~ r . . . ) der I n d u k t i o n s a n n a h m e g e n u g t u t . W i r k 6 n n e n also a n n e h m e n , dass

/ C / Z / 2

5 1 , ' ( . . . l ~ . . . 1 ~ o , . . . 1 ~ . . . ) ~ , ' < ... )~op~

R12-(G1G2-~.. Gs [ _.. f2r ... )

. . . , - e a,b GoGo

" 47 (... l'~i...)

(4.6)

J e t z t ist es s c h o n leicht, die S t r u k t u r des A u s d r u c k s

f

A~2 (t) ~12 t'~l ,~2 . . . .

~ ~r:,t r , ~ - at

} ...

f y

...) d t (4.7)

zu fibersehen. Offensichtlich geniigt es, das I n t e g r a l

A~2 (t) / (...

l'~.(lc+Iot)... ~/~ (o~+Iot)... ~/(r ...)e~ZbA'~o%(P~t.t)U'~bt)dt

(4.8)

4~ (... G~)

Zll bereehnen, wo

- 1 w e n n / c = k i , o d e r (~=(o~

1 w e n n / c = k 2, o d e r o ) = o ) 2 0 in fibrigen Fallen.

W i t s e t z e n fiir A~2 (t) d e n A u s d r u c k

P12 (t) e ic~t~ = [ P 1 2 ( i V r )

ei=t'+itrJr=o

(4.9)

u n d fiir f" ( . . . / ~ . (~ + to t)... l/~ (~ + to t ) . . . / ~ . . . . ) d e n A u s d r u c k

D a n n b e k o m m e n wir

f t / - E / ~

A ~ (t)/' ( ' ' " ~ ct (k T I o t ) . . . ~'ck (co + I t ) . . . VS.) i Z A';o % (Po+l~t)(Pb .%t)

~ 2 . . . e

a.b dt

4; (.../~...)

= I P 1 2 ( - i V r )

4~ (... V~)

(2 ~ Af~aGblaPb+r+...cav... e...laW ...)"-

j.y2 i "]

i ( ~ Aaa%Io l~ + :r e

a(E AGoGblalb+a)

r=v=w=O a, b

(4.10)

K A U S A L F U N K T I O N : E N I N D E R Q U A N T E N T t t E O R I E DEt~ FELDEP~ 2 5 1

N u n sieht m u n ]eieht, dass der Grad der neuen F u n k t i o n r (... I~c(l...), welehe entsteht, wenn m a n den A u s d r u e k (4.10) in die F o r m (4.1) bringt, u m 4 vergr6ssert wird, was dem Hinzuffigen einer neuen Linie entspricht.

N e h m e n wir jetzt an, dass m a n z u m G r a p h G einen neuen Vertex G 1 hinzuffigt, welcher mit d e m G r a p h e G 2 d u r c h eine Linie m i t der V e r b r e i t u n g s f u n k t i o n A~.~(t) v e r b u n d e n ist. A u f G r u n d der F o r m e l (3.8) u n d a u f G r u n d der Tatsache, dass G 1 mit G 2 n u r m i t einer einzigen Linie v e r b u n d e n ist, b e k o m m e n wir

--5(~lc)fR(GtGt...G~§ ~ P)dt,

(4.11)

wo ~ P die S u m m e der I m p u l s e des G r a p h e n G 1 bezeiehnet.

G~

D a s elementare A u f h e b e n der & F u n k t i o n zeigt, dass a u c h in diesem Falle die B e h a u p t u n g des Satzes riehtig ist. I n der Tat, der G r a d der F u n k t i o n r vergrSssert sich u m den G r a d des P o l y n o m s in A (G1) u n d des P o l y n o m s PI_O (t). U m zu berfick- sichtigen, dass die Zahl der Linien u n d der Vertexe sich u m Eins vergr6ssert, muss m a n in der F o r m e l ffir r die Zahl 4 addieren u n d subtrahieren.

Es bleibt also noeh die B e h a u p t u n g e n des Satzes iiber den F a k t o r im E x p o - n e n t e n zu beweisen.

Aus der b e k a n n t e n Ungleiehung

( ~ A';aG b Pa Pb) ( ~ A~baCbla lb) ~ (~ A'~aG bla pb) ~

a,b a,b a,b

folgt leieht, dass die F o r m

positiv definit ist.

Aa~a b (... ~l...)X~Xb

It a.b

D u r c h I n d u k t i o n beweisen wir n o c h die U n g l e i c h u n g : A'~o,~ (... :~...) ~ x ~ < (Y~ ~,)(E

Ix~l) ~.

a.b l a

I m Falle des einfaehsten G r a p h e n ist die U n g l e i e h u n g leicht verifizierbar. W i r b e t r a e h t e n jetzt den G r a p h m i t S Vertexen u n d L Linien. D a n n addieren wir zu i h m eine neue Linie u n d reehnen die entsprechende quadratisehe F o r m aus. A u f G r u n d der F o r m e l (4.10) b e k o m m e n wir

A % % x~ I~) 2

/,~ a, b

a, bE A*l'Gaab (''" ~l " ' ' ) X a X b = a,b~ A a a G o ('''~Zl .. . ) X ~ X b - -

(~ AG.a~l~

Ib

+~)

"

252 N . :N. B O G O L I U B O W U N D O . S . P A R A S I U K

Auf Grund der I n d u k t i o n s a n n a h m e kSnnen wir schreiben ( A ~ a % Xa l~) 2

A % % XaXb <- ( ~ ~z)(E I x~ l) 2

a , b i ~ A c a % l a l b § l a

( ~ A'~a% la Xc) ~ ( ~ AaaGb la lb + :r

D a aber E A % % l ~ l b > O ~ so verst~rken wir die Ungleichung wenn wir auf der rechten Seite das negative Glied weglassen und das positive addieren. ]:)ann be- k o m m e n wit

A . ~ % ( ~ . ) x ~ x ~ ( 5 ~ + ~ . ) ( Z [xol)

^~

l a

I m Falle des Hinzuffigens des neuen Vertexes k a n n m a n ~hnlich verfahren.

J e t z t werden wir den folgenden wichtigen Satz beweisen.

S A T z 4. E s sei G = G 1 • G z • ... • G~ ein zusammenhiingender Graph, rl der Grad des Polynoms der Verbreitungs/unktion der L i n i e l, r[A(Ga)] der Grad des P o l y n o m s in A(Ga). W i r wiihlen die Zahlen

~[A(G~)]>_r[A(G~], ~>_rz. (4.12)

Es sei F k = G ~ , • 2 1 5 ... • k ein Untergraph des Graphen G. W i r setzen

v(Fk)= ~ ~[A(G~)]+ ~ ~z+2Lk-4(sk- 1),

ct l

(4.13) wo die S u m m a t i o n iiber diejenige G~ zu erstrecken ist, die in Fk enthalten sind u n d iiber diejenigen l, welche die genannten G~ verbinden; sk ist die Zahl der Urvertexe in Fk. W i r de/inieren zu diesen r(Fk) die Operation:

R (GI G 2... Gs) I M ( . . . ]c ... )

=~

_{k~ .}

..

_{I(:q) e} Zz ~Im~ ~ Z ~t z ~ F , ( . . . k . . . co . . . :r . . . ) .

i ~ l ,u

0 0 0

~ Z A ~ a ~ a p b

. e a , b a b d ~ l d ~ 2 . . . d g L . (4.14)

I n der Formel (4.14) bedeutet F , ein P o l y n o m in It, co u n d eine rationale Funlction in ocz, wobei das Summenzeichen bedeutet, wie im vorigem Satze, dass m a n i m allgemeinen bei der Berechnung von R ( G 1 G 2 ... G s ) I M ( . . . I t . . . ) mehrere Glieder yon der F o r m

F , ( . . . k . . . c o . . . : c , . . ) e a . ~ a bekommen ]cann.

KAUSALFUNKTIONEI~ IN DER QUANTENTHEORIE DER FELDER 253 D a n n k a n n m a n behaupten, dass die /olgende Ungleichung gilt

IF.u( ' ' ' k ' ' ' ~ ~ . . . . ~...)1 < C ( ' ' ' k ' ' ' C ~ 1 6 2 , (4.15) --[ 1 2L

l Z

wo L die Zahl der Linien, die die Urvertexe G1, G 2 .. . . . Gs miteinander verbinden u n d C ein in k ... ~o ... ~ ... polynomial beschr~nkter A u s d r u c k ist (d. h. durch ein Polynom nach oben abg~scMitzt werden kann.

Beweis. Der Fall des einfachsten Graphen k a n n auf Grund der vorigen Berech- nungen leicht verifiziert werden. Es sei jetzt der Satz richtig ffir alle Graphen m i t der Linienzahl L = m (wobei m >_ s - 1 ist) und der Vertexenzahl s 1 _< s. Wir werden ihn ffir Graphen m i t der Linienzahl L = m + 1 beweisen. B e t r a c h t e n wir dazu einen Graph m i t m + 1 Linien. Es kSnnen zwei F~lle eintreten: entweder zerst6rt das Weg- lassen einer Linie den Z u s a m m e n h a n g des Graphen G = G I • 2 1 5 ... • oder nicht.

I m ersten Falle sei es die Linie G a - G o deren Weglassen den Graph in zwei ge- trennte U n t e r g r a p h e n Fa und Fb teilt. Es ist leicht zu sehen, dass in diesem Falle R ( G 1 G 2 . . . Gs) i m m e r y o n der F o r m

Re (... kv-eS~v. ~ k ...) ACao ( ~ k ) R o (... kF,--~,., . ~ ]c ...) sein wird, wo R~, Ro den Fa und I~b entsprechen.

Daher

-~ ( . . . k . . . ( D . . . ~) = ~'T a ( . . . ] r CO... OC) F b ( . . . ] r 5 0 . . . ~) Pab ( ~ It),

w o

Pab

ein P o l y n o m der Verbreitungsfunktion AC a0 ist. Da die Zahl der Vertexe in

F~ und F0 kleiner als S ist, so haben wir nach der I n d u k t i o n s a n n a h m e ]-~ar~a~" l 2Lal~--Ca

1 1

wo l-I, ]-I fiber die Linien, die im I n n e r n y o n l"a, Fb liegen, ausgedehnt sind.

I" a I" b Daher

i G~ : 1 -2L < C a C b l P a b ( ~ 1 _ 1 F ~ o~2L a 2 L ~ 2 L b 2L, 1 1 1 1 (4.16)

. l Fb

wo C ein Polynomial beschri~nkter Ausdruck ist und L = L~ + Lb + 1.