UBER EINE STABILITATSFRAGE IN DER THEORIE DER LINE- AREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.
VoN
_4. WIMAN in UPSALA.
I. I n einer nachgelassenen Note yon FATOV, die in den Comptes rendus der Pariser Akademie, Band I89 (I929), p. 967 publiziert worden ist, handelt es sich um die Differentialgleichung
(~) x" + a~(t)x = o,
wo O(t) eine fiir Mle reellen t stetige reelle F u n k t i o n bedeutet, die zwischen positiven Schranken
(2) ~ _-< ~(t) =< ~
bleibt. In dieser Note versucht FATOU ZU beweisen, dass die Iutegrale der Differentialgleichung sowie ihre Ableitungen beschriinkt sind. Indessen h a t spi~ter O. PEI~RON in einer kurzen Note1 durch ein Beispiel, auf welches wir hier wiederkommen werden, gezeigt, dass der obige Satz yon FATOV nicht richtig ist. Betreffend die Folgerungen, die FATOU an seinen Satz kniipft, bemerkt PERSON nur, dass dieselben bis auf weiteres als unbewiesen gelten miissen.
Fiir die Giii~igkeit des obigen Stabiliti~tssatzes sind mithin weitere Be- dingungen nStig. Bei PERSON wird aber auf solehe Fragen nicht eingegangen.
Nun haben wir in einer vor mehreren J a h r e n verSffentliehten Arbeit ~ eine Formel hergeleitet, welche uns eine entscheidende Bedeutung fiir das in Rede
1 ,,Uber ein vermeintliches Slabilitigtskriterium,,, GSttinger Nachrichten (I93o).
, ~ b e r die reellen L6sungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung,>, Arkiv fSr matematik, astronomi och fysik, Band I2 (I917).
16--35150. Acta mathematica. 66. Imprlm6 le 15 ocr 1935.
122 A. Wiman.
s t e h e n d e P r o b l e m zu h a b e n scheint. I n dieser F o r m e l t r i t t die A b l e i t u n g q)'(t) explizit auf, und es lgsst sich deshMb schliessen, dass fiir ein a l l g e m e i n g e l t e n d e s S t a b i l i t g t s k r i t e r i u m A n n a h m e n fiber q)'(t) (oder d a m i t ~,tquivalente A n n a h m e n ) n 5 t i g sin& I n u n s e r e r f r i i h e r e n A r b e i t h a b e n wir j e d o c h k e i n e Schlfisse aus der F o r m e l gezogen, welche sich a u f die obige S t a b i l i t g t s f r a g e beziehen. Es w u r d e n d o r t auch h a u p t s g c h l i c h solche Fglle b e r i i c k s i c h t i g t , wo q)(t) zwischen k e i n e n e n d l i c h e n G r e n z e n s c h w a n k t , s o n d e r n e n t w e d e r q)(t)--+ ~ o d e r @(t)---+ o.
D a die R e s u l t a t e u n s e r e r v o r h e r g e h e n d e n A b h a n d l u n g ziemlich u n b e k a n n t sein diirften, so wollen w i t h i e r z u n g c h s t dieselben ffir den FM1 @ ( t ) > o wieder- geben. Es w e r d e n d a n n A n w e n d u n g e n a u f die yon FaTOU a u f g e w o r f e n e n F r a g e n hinzugefiigt,
2. I n dieser N u m m e r wollen wir einige T a t s a c h e n z u s a m m e n s t e l l e n , welehe wohl ziemlich b e k a n n t sein diirften. W i r v e r g l e i c h e n die I n t e g r a l e zweier Dif- ferentaialgleichungen
x " + q ) ~ ( t ) x - o ,
(3) x " "+ q)-a(t) x = o,
wobei fiir das zu u n t e r s u e h e n d e I n t e r v a l l stets (P~(t)~ q ) l ( t ) s e i n soil. D i e s e I n t e g r M e b e z e i c h n e n wir bzw. m i t x I u n d x~. W i r m a c h e n die V o r a u s s e t z u n g , es seien fiir t = t o , x l = x ~ u n d x;~---x;, wobei wir e n t w e d e r x l = x , , > o oder, falls xl = x2 = o, x ' , - - x ; > o a n n e h m e n kSnnen. Es e r g i b t sich
(4)
x j ;
- < x ~ = [ ~ . , ( t ) - ct $ , ( t ) ] - 1 - , > offir ein IntervM1 t o ... t, in w e l e h e m ffir die I n t e g r M e x~ u n d x,, k e i n e N u l l s t e l l e liegt. H i e r a u s bekommt~ m a n welter
p f
(5) [ . ~ x , - <x~]~,o
= x~(tl)X,(t 0 - - i Xl(tl)Og~(tl) -~ tt l
=f
t o[@2(t) - - @~(t)] x ~ x ~ d t >= o,
wobei t t > t o v o r a u s g e s e t z t wird. D a f i i r t o < t = < t 1 xl u n d x ~ > o sind, so er- h M t e n w i r
.;(t,) x;(t,) > o,
(6) < ( t , ) .~{t~) =
Uber eine Stabilitiitsfrage in der Theorie tier linearen Differentialgleichungen. 123 w o r a u s m a n erschliesst, dass im f r a g l i c h e n I n t e r v a l l e
(7) log x~ ~ o
X2
ist. Aus diesem R e s u l t a t e liisst sich schliessen, dass, falls n i e h t i m m e r @ 2 ( t ) =
= @l(t) ist, in welchem Falle x 1 u n d x~ i d e n t i s c h gleich w e r d e n , das I n t e g r a l x~ u n t e r h a l b des I n t e g r a l s x I verli~uft. Man finder j e t z t leicht, dass das I n t e g r a l x~ friiher als das I n t e g r a l xl eine Nullstelle b e k o m m t . N a c h (5) e r h a l t e n wir
i o,, lx,
(8) y/ ~ (t)
x~
wo T(t) in dem yon uns b e t r a c h t e t e n I n t e r v a l l e eine m o n o t o n z u n e h m e n d e F u n k - t i o n b e d e u t e t . N a c h d e n V o r a u s s e t z u n g e n f o l g t h i e r a u s
t
- - - - I : - - - - d t .
to
N u n ist aus der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g l e i c h t zu ersehen, dass, falls xl g e g e n eine
~ u l l s t e l l e t ~ , riickt, Ix't[ endlich bleiben muss. Es g i b t m i t h i n eine Gr5sse A > o, so dass m a n fiir die n~chste U m g e b u n g der N u l l s t e l l e
x[ < A (t - - .)~
erhi~lt. Das I n t e g r a l r e c h t s in (9) wird m i t h i n fiir t - - * , u n e n d l i c h gross. Es muss f o l g l i c h e i n e n W e r t % < ~ geben, fiir welchen m a n
~o
to
hat, u n d m a n b e k o m m t n a c h (9) x ~ ( % ) ~ o. D i e erste Nullstelle, zu welcher m a n beim Fortschreiten yon ei~er Beriihrungsstelle der Integrale x 1 und xe gelangt, ge- hSrt also z u m Integral x2, u n d dasselbe gilt, f a l l s man als A u s g a n g s p u n k t eine gemeinsame Nullstelle der beiden Integrale ~,imml.
W i r wollen besonders ~uf den F a l l
(io) @,(4 - ~ @ ( t ) , @,~(t) = #~@(t)
1 ~4 A. Wiman.
die A u f m e r k s a m k e i t lenken, wo tel u n d t% k o n s t a n t e GrSssen > o b e d e u t e n , u n d tt~ > #1 a n g e n o m m e n wird. S e t z t m a n h i e r tt,, = th + e, so finder m a n leicht, wie die N u l l s t e l l e n yon x~ m i t e s t e t i g variieren.
W i r b e t r a c h t e n n o c h besonders d e n Fall, wo m a n f i i r t - - ~
O ( t + h ) ( :(t))
( ~ ) o ( t ) - ' ~
Ihl--<V-
hat, wobei ffir k i r g e n d welche positive GrSsse g e n o m m e n w e r d e n kann.
B e d i n g u n g ist z. B. fiir
~v(t) = ct '~ (,~ > - 2)
D i e s e
erfifllt. M a n finder leicht, dass, fails
(i i)
gilt, die I n t e g r a l e der Differential- g l e i c h u n g u n e n d l i c h viele N u l l s t e l l e n besitzen. W i r n e h m e n an, es sei ffir ein I n t e g r a l t = t o eine Nullstelle. Fiir ein I n t e r v a l lIt- tol < ~
" ~ , ~ ' - " ' k[to)
wo die K o n s t a n t e k > z g e n o m m e n wird, b e z e i c h n e n wir den M a x i m a l - b z w . M i n i m a l w e r t von @(t) m i t M bzw. m. N a e h (I I) w e i c h e n die b e i d e n V e r h ~ l t n i s s e
M m
V~(to) ' YO(to)'
w e n n t o h i n r e i c h e n d gross ist, beliebig w e n i g yon I a b . schen t o u n d den
den K u r v e n
Die I n t e g r a l k u r v e zwi- beiden n i i c h s t l i e g e n d e n N u l l s t e l l e n l~Lsst sieh d a n n zwischen
x'(to)
(121) x - l / ~ r sin V-~r(t - to)
u n d
_ x'(to)
(I2]) X V~m sin
V-m(t- to)
einschliesseu. N a c h d e n V o r a u s s e t z u n g e n n s sich a b e r die beiden einschlies- s e n d e n K u r v e n (I21) u n d (I22) fiir t o - - * ~ e i n a n d e r u n b e g r e n z t .
3. W i r n e h m e n j e t z t noch an, dass a u c h die e r s t e A b l e i t u n g q)'(t) e x i s t i e r t u n d s t e t i g ist. W i r g e h e n y o n der Identit~it
Uber eine Stabilitgtsfrage in tier Theorie tier linearen Differentialgleichungen. 125
(I3) x " x ' + O ( t ) x x ' = o
aus u n d e r h a l t e n durch I n t e g r a t i o n zwischen t o u n d T
(i4)
T
to
H a t n u n das I n t e g r a l x t o u n d T als Nullstellen, so ergibt sich hieraus
(I5)
T
.,,(T)_ x,O(,o)--- f
tu
Eine solche I d e n t i t g t gilt selbstverstiindlich auch fiir jedes P a a r a u f e i n a n d e r - f o l g e n d e r Nullstellen tn, tn+l, so dass wir schreiben k S n n e n
(i6)
t n + l
" f
x (t~+l) - - x'~(t,) = x'~O'(t)dt.
tn
E s ist die hier erhaltene Relation, welehe fiir das Stabilith'tsproblem eine entsehei- deride Bedeutun 9 besitzt. Doch sind wir in unserer v o r h e r g e h e n d e n P u b l i k a t i o n n i c h t besonders auf diese F r a g e eingegangen. W i r beschr~nkten uns d o r t in der T a t a u f den Fall, wo m a n fiir q)'(t) eine analoge E i g e n s c h a f t m i t d e r j e n i g e n h a t , welche wir in (I I) fiir O(t) a n g e n o m m e n haben, also fiir t--* oo
(t) "-+ I I h l <: V I e .
Die E i g e n s c h a f t (I7) involviert offenbar, /lass q ) ( t ) e i n e m o n o t o n z u n e h m e n d e oder a b n e h m e n d e F u n k t i o n sein muss. Schreiben wir jetzt
P 2 t 2 - -
Z (tn+l) - - X'2(t.) = .ffXn, tn+l tn = J t n , so ergibt sich aus (i6) u n d (17)
d x'~ I
r ( t J , . + , '
f x ~ d t
t n
126 A. Wiman.
Im Intervalle Jt,~ ist nun, wie aus der Bedeutung y o n (I21) und (I2~) her- vorgeht, die LSsung x zwischen zwei Sinusoiden eingeschlossen. Dieselben ni~hern sich f i i r n - - * 0r einander asymptotisch in einer Weise, welche mit
(~9)
tn -~ V '1' (t n)
f
t ntn+ l
f x2dt
t n
x~ sin~
[]/@(t~)(t-t~)]dt O(tn)
"-~I
~quivalen~ ist. Bei Beriicksichtigung, dass
erhalten wir aus (19)
(20)
~t~ V ~ ( t . )
- ) . I t 7g
t n + l
f x~dt
tn
I .
Xn J tn
P22 9 (t~) Hierdurch 1Esst sich (IS) in
(2 I ) 2z137;~ q)(tn)
r r
umformen. Da (I1) und (I7) als giiltig angenommen sind, so hat man
(22) J l o ~ O(tn) , I.
Ffir die Umformung yon (2I) gil~ jetzt noch
~x~
t ~ t 2
(23) x~" ,~ log x~
so dass wir erhalten
log x~
(24)
J log @(t~) 2
~I~
--~I.
0ber eine Stabilitiitsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 127 H a t man nun fiir t--->~ qD(t)--~a~> o, so erh~lt man offenbar ~us (24)fiir x~ ~ einen endlichen nicht verschwindenden Grenzwert c * , u n d die Integrale sind im Sinne yon FATou beschrgnkt.
integrieren, und man bekommt
Gilt~ aber @(t)--* 0 oder ~ , so liisst sieh (24)
t~
log ~ ; Xn X0
(25) _I log
2 q)(to)
wo die feste Nullstelle to in geeigneter Weise gewithlt wird.
(26) x ~ = [q) (t~)] 89 + %
Aus (25) ergibt sieh
(0~n ~
0).
Man erhitlt weiter
x" _ _+ [~(t~)]_~+~ ~,
(27) l/O(&)
worin wir einen Ausdruck fiir die Beziehungen zwischen den Amplituden des Integrals und der Funktion @(t) haben.
Die erhaltenen Resultate lassen sieh in der folgenden Weise zusammen- fassen :
Sind die Bedingungen (II) und ( I 7 ) f i i r (I)(t) und die erste Ableilung q)'(t) ofiillt, so kb'nnen wit im Sinne yon (26) und (27) behaupten, Class die Amplituden der LSsungen wie [O(t)]-~, die absoluten Betrdge clef Winkelkotffizienten an den Nullstellen dagegen wie [q)(t)]~ gedndert warden. Fiir @(t) ~ ~ werden die Oszilla- tionsintervalle, welche sich ja wie [q)(t)]-'~ dndern, immer kleiner; dann warden zwar auch die Amplituden vermindert, abet dessen ungeachtet verlaufen die Integral- kurven zwischen je zwei aufeinande~folgenden Nullstellen in, met steiler. In .umge- kehrter Weise verhdlt es sich fiir @ ( t ) ~ o.
4. Im jetzg behandelgen Falle sind die IntegrMe yon (I) in derselben Weise mi~ einander gleiehartig wie fiir den wohlbekannten Fall q ) ( t ) = a 2. Um einen Fall zu konstruieren, in welehem Integrale mit versehiedenari~igen Eigen- sehaften existieren, geniigt~ es anzunehmen, dass zwar (I I ) n o a h besteht, dass abet (I7) dutch die Forderung erset~zt wird, dass @(t) monoton wi/ehst oder f~llg, so duss also q)'(t) nieh~ das Zeiehen weehseln kann. Es ist aus (I6) ersiehglieh, dass x~ mit O(t) zunimmt~ oder abnimmt. Mit; den jegzigen Annahmen ist; es
128 A. Wiman.
nun vertr~glich, dass fiir eine besondere LSsung x das Integral reehts in (I6) ein Glied einer konvergenten Reihe darstellt. Im extremen Falle kann man ja, yon einer geeigneten Umgebung der Nullstellen der L5sung abgesehen, q ) ' ( t ) ~ o setzen. Die absoluten Betr~ge der Winkelkoeffizienten an den Nullstellen der LSsung streben dann nach einem endlichen nicht verschwindenden Grenzwert.
Umgekehrt nehmen die Amplituden der LSsung wie [q)(t)]-~ zu oder ab. W i e man leicht erkennt, wirkt diese LSsung auf die anderen L5sungen der Differen- tialgleichung fiir @(t) ---) r162 abstossend und fiir O(t) --* o anziehend.
Es l~tsst sich noch ein anderer extremer Fall herstellen, in welchem fiir eine gewisse L5sung @'(t) ---- o, wenn yon den n:,tehsten Umgebungen der Extre- malstellen zwisehen je zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen der LSsung abge- sehen wird. Man hat sogar Grund anzunehmen, dass gleiehzeitig LSsungen yon den beiden hier beschriebenen Arten auftreten kSnnen. Bei der jetzigen An- nahme l~isst sich das Integral reehts in (I6) durch
[00(tn+l)- (O(tn)]- J(I)(tn)
e(t.) e(tn)
ann~hernd ausdrficken. Man wird in dieser Weise zu LSsungen gelangen kSn- hen, fiir welche die absoluten Betr~ge der Winkelkoeffizienten an den Nullstellen sich wie [q~(t)]~ ~ndern, und deren Maximalbetr~ge zwisehen den ~Tullstellen nach endlichen nicht verschwindenden Grenzwerten streben. Ein derartiges Integral wirkt auf die anderen LSsungen fiir O(t)--* r162 anziehend ~ und fiir q)(t)-~ o ab- stossend. Natiirlich kann man sich allgemeiner Fiille denken, wo die oben be- schriebenen Lagebeziehungen nicht bei demselben Integrale bleiben, sondern yon einer LSsung zu anderen iibergehen.
Zuletzt sehen wir noch yon der Forderung ab, dass (II) gelten soll, und nehmen nur an, dass q)(t) monoton w~chst oder abnimmt. Es ist bereits her- vorgehoben, dass im diesem Falle naeh (I6) x~ gleiehzeitig mit @(t) steigt oder fgllt. Es sei t~ die Extremalstelle im Intervalle t , - . . t~+l. Man hat x ' ( t ~ ) = o.
Aus (I4) bekommen wir die mit (I6) analoge Relation
~n+l
(28)
x'({,~+~) @({n+l) - x~({~) cP({n) = ; x ~ q)'(t)dt.
q t /
t n
D. h., die Nu]ls~ellen der anderen Integrale haben eine Tendenz sich den Nullstellen dieses Integrals zu anni~hern.
l)ber eine Stabilit~tsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 129 Man ersieht unmittelbar aus (28), dass auch x~(i,)@(tn) mit O(t)steigt oder f~llt.
Mit x~(t~) verh~lt es sich aber in der umgekehrten Weise. W i r schreiben
Das linke Glied yon (z8) li~sst sich dann in die beiden Gestalten iiberfiihren
(29)
- - 2 - - - - 2 - - - -Andererseits kann offenbar das Integral rechts in (28) einen grSsseren Betrag als entweder xnH-~ @n oder Xn+l-2 H@n nicht besitzen. Hieraus ist ersichtlich, dass in (29) zwei zusammenstehende Glieder dasselbe Zeichen nieht haben kSnnen.
Wenn also q)(t) monoton zu~immt, waehsen aueh die absoluten BetrSge der
~ukelkoeffizienten an den Nullstellen. Dagegen bilden die Amplituden der LS- suugen in den Intervallen zwischen den Nullstellen eiue abnehmende Folge. I n der entgegengesetzten Weise verhYlt es sieh, wenn q)(t) monoton abnimmt.
Betrachten wit jetzt den Fall, wo q)(t) monoton gegen einen endlichen Grenzwert a > o strebt. Steigt dabei O(t), so nehmen zwar die Amplituden der LSsungen ab, ihre Produkte mit den GrSssen @(in) wachsen aber, und die LS- sungen sind stabil. I s t dagegen @(t) abnehmend, so wachsen die Amplituden der LSsungen, ihre Produkte mit den GrSssen @(tn) nehmen ab, und man be- kommt auch in diesem Falle stabile LSsungen. Hrenn sich also q)(t)monoton eine'm e~dlichen Grenzwert a5hert, so hat die D~fferentialgleiehu,2g (I) stabile Lb'- sungen.
N u n ist es aber unmittelbar verstgndlich, dass es die aus der Monotonitgt folgende Eigenschaft ist, dass man in log q)(t) eine F u n k t i o n mit beschr~nkter Variation hat, welche fiir die letztere Eigenschaft entscheidend i s ~ . W e n n log @(t) eine nicht monotone Funktion mit beschr~inkter Variation ist, so wit- ken ja die Intervalle, in denen die Funktion steigt, und diejenigen, in welchen dieselbe fgllt, in entgegengesetzter Richtung, was die Stabilit~it befSrdern muss.
Als hinreichende Bedingung dafiir, dass (I) stabile Lb'sungen hat, ergibt sich also, dass log @(t) eiue Funktion mit beschriinlcter Variation darstellt. Bei uubeschriink- ter Variation ist es aber fiir Stabilitgt nicht ausreichend, dass log @(t) beschr~nkt bleibt. Dies ist insbesondere nicht zu erwarten, wenn ffir eine LSsung die Inter- valle, wo O(t) steigt (bzw. fgllt), in der Nghe der Nullstellen und diejenigen, wo O(t) fgllt (bzw. steigt), in der Nghe der Extremalstellen liegen.
17--35150. A c t a mathematica. 66. I m p r l m 6 le 15 octobre 1935.
130 A. W i m a n .
5. D i e v o r h e r g e h e n d e n A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n w o l l e n w i r j e t z t d u r c h d a s y o n P E ~ o s g e g e b e n e B e i s p i e l b e l e u c h t e n . D o c h m i t d e r V e r ~ t n d e r u n g , d a s s w i r e i n e n E x p o n e n t e n a l l g e m e i n ~ k s c h r e i b e n , d e r bei PERRON = I g e s e t z t wird. E s w i r d d a b e i y o n e i n e r L S s u n g m i t g e e i g n e t e n E i g e n s c h u f t e n a u s g e g a n g e n u n d n a c h h e r die zu b e f r i e d i g e n d e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g g e s u c h t . W i r s e t z e n d e m e n t - s p r e c h e n d
(30) x = sin t[c ~ + ( t - sin t c o s t)~] k.
t t i e r a u s e r h a l t e n w i r
(3i)
x ' ~ - - - c o s t [ c ~ + ( t - s i n t c o s t ) ~ ] k ++ 4 k sin ~ t ( t - - sin t cos t) [c 2 + (t - - sin t cos t)~] k-1 . E s e r g i b t sich w e i t e r
(32) x " = - - sin tic ~ + ( t - - s i n t c o s t ) ~ ] k +
+ I 6 k s i n ~ t cos t (t - - sin t cos t) [c ~ + (t - - sin t cos t)e] k-1 + + 8 k s i n ~ t i c ~ + (t - - sin t c o s t)2] ~'-1 +
+ I 6 k (k - - I ) s i n '~ t ( t - - sin t c o s t) ~ [c 2 + (t - - sin t c o s t)~] k-2 . Es l~sst sieh j e t z t @(t) a u s (3o) u n d (32) b e s t i m m e n , u n d m a n b e k o m m t
16k sin t c o s t ( t - - sin t c o s t) (33) @(t) = I - - c ~ + ( t - - s i n t c o s t) ~ - -
8 k s i n 4 t I 6 k ( k - - 1)sin ~ t ( t - sin t c o s t) ~
-- c ~ + (t - sin t cos t) ~ - - [c ~ + (t - - sin t eos t)~] ~
W i e m a n sieht, h a t m a n q ) ( t ) - ~ I ffir t--~ ~ . U n d d o c h k e n n e n w i r b e r e i t s e i n I n t e g r a l (30), fiir w e l c h e s die S t a b i l i t i i t s b e d i n g u n g e n n i c h t erfiillt sind, i n d e m fiir k > o d a s s e l b e z w i s c h e n d e n N u l l s t e l l e n fiber j e d e g e g e b e n e G r e n z e w~Lchst u n d fiir k < o sich u n b e g r e n z t a n die t - A c h s e schliesst.
E s i s t zu u n t e r s u c h e n , wie l e t z t e r e E i g e n s c h a f t e n a u s d e r R e l a t i o n (I6) z u e r k l ~ r e n sind. W i e m a n l e i c h t s i e h t , g i b t es in @'(t) n u r d a s e i n z i g e G l i e d
I 6 k c o s 2 t ( t - - sin t c o s t) c 2 + (t - - s i n t cos t) 2
w e l c h e s ffir die u n b e s c h r i ~ n k t e V a r i a t i o n y o n q)(t) B e d e u t u n g h u t . S i e h t m a n y o n e i n e r b e s c h r ~ n k t e n V a r i a t i o n ab, so liisst sich dieses G l i e d d u r c h
Uber eine Stabilitgtsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen.
(34) I 6 k c o s 2t
t
131
ersetzen. Fiir die Nullstellen der L S s u n g h a t m a n xn ~ n z u n d fiir die Extre- malstellen anngherungsweise
J C n = ( n + ~ ) ~ .
W i r finden also, was nach den v o r h e r g e h e n d e n E r S r t e r u n g e n zu erwarten war, dass fiir k > o q)(t) in der Um- g e b u n g der Nullstellen f~llt u n d in der U m g e b u n g der E x t r e m a l s t e l l e n steigt, u n d dass es sich fiir ]c < o in der u m g e k e h r t e n Weise verhiflt.Fiir die L S s u n g (3o) h a b e n wir
x~
(3 5) ( ~ 7l:)4: ~ --") I .
Die I n s t a b i l i t g t riihrt yon dem F a k t o r n tk im N e n n e r her. Es muss mSgliCh sein diesen F a k t o r herzuleiten, wenn m a n in (I6) fiir O'(t) das die I n s t a b i l i t g t erzeugende Glied (34) setzt. D a t zwischen n z u n d (n + I ) Z variieren soll, so ist hierbei noch die weitere g e r e i n f a c h u n g zuliisslich, dass m a n t durch ~ er- setzt. D a hier (I I) gilt, so lgsst sich die LSsung zwischen nT~ u n d ( n + I ) Z a n n g h e r n d durch
p ,
x = x ~ s m (t - ~ ~ )
darstellen.
sich m i t h i n
Als das eigentlich wichtige Glied im I n t e g r a l e rechts in (I6) ergibt
, (n-t- 1) re *~
I6kx•
J;
sin 2tcosnz2 t d t = 4 kxn .
nnT~
I n diesem Beispiel b e k o m m t m a n h i e r n a c h aus (I6) A x ~ 4k
- - ' - - ~ I }
x2 n
u n d hieraus ergibt sich das gewiinschte R e s u l t a t Io~ x ~
(36) 4 k l o g n ~ ~'
das j a m i t (35) in Obereins~immung steht.
132 A. Wiman.
6. Aus seinem Satze h a t FATOU die F o l g e r u n g gezogen, dass fiir die Gyl- d~nsche G l e i c h u n g
(37) x " + (a ~ + b~ c o s 2 t ) x = o (b~-< a 2)
die c h a r a k t e r i s t i s c h e n E x p o n e n t e n ~>purement i m a g i n a i r e s (ou 6gaux s +__ I x)>>
sind. Es ist n u n ffir uns l e i c h t zu beweisen, dass es sich m i t dieser Differential- g l e i c h u n g in d e r ganz e n t g e g e n g e s e t z t e n W e i s e verh~tlt, i n d e m dieselbe un- b e s c h r ~ n k t e L S s u n g e n h a b e u k a n n . Es ist hier b e q u e m in (37) die A n d e r u n g v o r z u n e h m e n , dass m a n in a)(t) e i n e n u n b e s t i m m t e n P a r a m e t e r tt > o ein- fiihrt, so dass
(3s)
9 (t) + 2t)g e s c h r i e b e n wird. W i r b e t r a c h t e n ein I n t e g r a l m i t der Nullstelle t = - a . W e n n tt m i t d e m A u s g a n g s p u n k t e y o n tt = o steigt, so n ~ h e r t sich die n~ichstfolgende N u l l s t e l l e stetig, u n d fiir einen gewissen W e r t t t - ~ tel h a t m a n fiir dieselbe t = a + z . Die N u l l s t e l l e n w i e d e r h o l e n sich dann periodisch, u n d m a n h a t t,, = a + n z . Soll n u n ffir dieses I n t e g r a l tier M u l t i p l i k a t o r , d e r h i e r n e g a t i v sein muss, = -- I sein, so muss o f f e n b a r das I n t e g r a l r e c h t s in (I6) verschwin- den. Dass a b e r dies n i c h t fiir j e d e n W e r t a m 5 g l i c h ist, l~sst sich d u r c h leichte U b e r l e g u n g e n darlegen. A m e i n f a c h s t e n g e s t a l t e t sich die Sache, w e n n das v e r g n d e r l i c h e Glied yon q)(t) klein wird, well d a n n die I n t e g r a l k u r v e zwischen n z u n d (n + I ) z sich d u r c h eine Sinusoide a p p r o x i m i e r e n l~isst. Setzen wir also t h b ~ = e, so h a t m a n fiir alas f r a g l i e h e I n t e g r a l , w e n n yore F a k t o r 2x',~e abge- s e h e n wird, ffir e ~ o a n n ~ h e r u n g s w e i s e
(39)
- -fsin'tsin2(a
+ t ) d t - ~ ~ " s i n 2 a . 40
Dieses
P e r i o d e
R e s u l t a t d e u t e t d a r a u f , dass n u r fiir a ~ - o u n d a ~ - ~rg der M u l t i p l i k a t o r
2
ist, in w e l c h e m Falle m a n eine e i n f a c h periodische F u n k t i o n m i t d e r 2 ~ als I n t e g r a l erhiilt, dass fiir s i n 2 a > o , d. h. o < ~ < - , das In-
2
1 H i e r m u s s o f f e n b a r g e m e i n t w e r d e n , dams, da z u r e i n i m a g i n ~ r e n E x p o n e n t e n Z a h l e n m i t d e m B e t r a g I g e h 5 r e n , k e i n e a n d e r e n r e e l l e n M u l t i p l i k a t o r e n d e r I n t e g r a l e a l s _ I e r h a l t e n wer- d e n k S n n e n .
Uber eine Stabilit~itsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 133 t e g r a I k e i n e endliche Beschr~Lnkung zul~isst, u n d dass fiir sin 2 6 < 0 , d. h.
zc
- < a < z , das I n t e g r a l sich a s y m p t o t i s c h u n b e g r e n z t der A c h s e niihert. D e r
2
vollsti~ndige Beweis fiir die T a t s a e h e , dass h i e r fiir a---o, - d e r M u l t i p l i k a t o r 7C
2
- - I e r h a l t e n wird, e r g i b t sich aus S y m m e t r i e g r i i n d e n , w e n n m a n - - t fiir t s u b s t i t u i e r t .
E s e r s e h e i n t v o r t e i l h a f t das P r o b l e m d e r B e s t i m m u n g des speziellen W e r t e s
#2 in (38), bei w e l c h e m ein I n t e g r a l m i t d e n a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n N u l l s t e l l e n 6, a + z existiert, ein w e n i g abzuiindern. W i t setzen d e m e n t s p r e c h e n d
(40)
O(t)
= I -4- d + e c o s 2 t .W e n n w i r d a b e i ~ als g e g e b e n b e t r a c h t e n , so g i l t es also ~ als F u n k t i o n yon u n d a auszudriicken. H i e r b e i liisst sich fiir ~ - ~ o d a s H a u p t g l i e d leicht b e s t i m - m e n . Es sei x = x~ die L S s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
(41 ) x " + [I + ~ + 8 c o s 2 ( t + a ) ] x = o m i t den a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n N u l l s t e l l e n o, z u n d x ' ( o ) = I . eine L S s u n g y o n
P t
X + X ~ O .
W i r b e k o m m e n
E s ist x ~ x~ = sin t
( 4 2 )
t ~ t t
x xl - = + o o s 2 ( t +
6)]
I n t e g r i e r e n wir j e t z t zwischen o u n d ~ , so e r g i b t sich,
(43)
f
[~ + e c o s 2 ( t +a)]xlx~dt=o.
0
Fiir e - - ) o ist o f f e n b a r a u c h ~ - - ) o . M a n h a t d a n n a n n ~ h e r u n g s w e i s e x~ = s i n t . Als H a u p t g l i e d in (43) b e k o m m t m a n h i e r n a c h
(44) f [ d + 8 c o s 2 ( t +
a)]sin2tdt
- -r~
8 C O S 2 CC - - 9~
2 4
0
W i r b e k o m m e n h i e r a u s
(45) (~ - - - c o s 26 + . . - 8
2
134 A. Wiman.
u n d k e n n e n also in d e r E n t w i c k l u n g y o n d d a s A n f a n g s g l i e d . D i e s e s G l i e d hat, da w i r e > o v o r a u s g e s e t z t h a b e n , den 3 l a x i m a l w e r t -~ ffir a---=-o u n d den Mini-
2
m a l w e r t - - -~- ffir a ~ - . I n d e r T a t m u s s aueh, wie wir s o f o r t finden w e r d e n ,
2 2
w e n n d e i n e n E x t r e m a l w e r t b e k o m m t , d a s I n t e g r a l den M u l t i p l i k a t o r - - I h a b e n . 7. D i e G l e i c h u n g fiir die M u l t i p l i k a t o r e n x~, x~ ist b e k a n n t l i e h y o n d e r G e s t a l t 1
(46) x ~ - I x + I = o .
Sind die W u r z e l n h i e r k o n j u g i e r t i m a g i n ~ r , so h a t die D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g be- schr~tnkte L S s u n g e n . Sind a b e r die W u r z e l n reell u n d v e r s c h i e d e n , so k 5 n n e n die L S s u n g e n n i c h t b e s c h r ~ n k t sein. I-Iat m a n e n d l i c h eine D o p p e l w u r z e l - - I o d e r + I , so e x i s t i e r e n die b e i d e n d e n k b a r e n N S g l i c h k e i t e n , dass es e n t w e d e r n u r eine b e s c h r ~ n k t e L S s u n g gibt, o d e r d a s s s ~ m t l i c h e L S s u n g e n beschr~inkt sind. U m eine ( l b e r s i c h t fiber die h i e r m i t in Z u s a m m e n h a n g s t e h e n d e n F r a g e n zu b e k o m m e n , s c h e i n t es v o r t e i l h a f t zu sein tt in (38) y o n o bis r162 s t e t i g variie- r e n zu lassen. D i e M u l t i p l i k a t o r e n v a r i i e r e n d a n n a u c h stetig. W i r g e b e n den- selben die G e s t a l t
(47) x 1 , x~ - ~ e +-rzi.
D a w i r h i e r a u s s o f o r t v e r s t ~ n d l i c h e n G r i i n d e n r n i c h t (rood 2 z ) n e h m e n , so iindert sich r s t e t i g m i t # , u n d m a n b e k o m m t nie z w e i m a l d e n s e l b e n r - W e r t . ~ Ffir tt--* o w i r d d a s Verhiiltniss des A b s t a n d e s zwischen zwei N u l l s t e l l e n eines I n t e g r a l e s zu z u n b e g r e n z t gross. I n e i n e m s o l c h e n I n t e r v a l l e k e h r e n also die W e r t e y o n @(t) i m m e r 5 f t e r wieder, t t i e r i n l i e g t ein U m s t a n d , a u s w e l c h e m m a n schliessen k a n n , dass fiir re--* o d e r n i c h t v a r i a b l e Teil y o n (38) d e n h a u p t - s~chlichen Einfluss a u f die M u l t i p l i k a t o r e n ausiibt. Ffir t t - - * o h a t m a n also a u c h r - ~ o. Bei d e r w e i t e r e n V e r ~ n d e r u n g ist r i m m e r i m I n t e r v a l l e z w i s c h e n zwei a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n g a n z e n Z a h l e n s t e t i g w a c h s e n d u n d enth;,tlt k e i n e n i m a g i n ~ r e n Teil. E i n d e r a r t i g e r Tell k a n n n~imlich n u r zu e i n e m g a n z z a h l i g e n reellen Teil y o n r h i n z u k o m m e n u n d g i b t d a n n einen r e e l l e n B e i t r a g z u m E x p o - 1 Wir verweisen hier auf FORSYTtI, )> Theory o f d i f f e r e n t i a l equations,,, Part III: >>Ordinary liuear equations,, (I9o2), p. 437.
Doch gilt dies, wie wir sogleich sehen werden, nur, wenn r durchaus reell ist.
Uber eine Stabilitiitsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 135 n e n t e n in (47), d e r m i t N u l l a n f a n g t u n d zu e i n e m g r 5 s s t e n B e t r a g e w~ichst u n d d a n n wieder zu N u l l h e r u n t e r s i n k t . Das #-I~tervall, welches in solcher Weise zu einem festbleibenden ganzzahligen Tell yon r gehb'rt, kann man als ein Instabilitdts- intervall bezeiehnen. E s l~isst sich a b e r n o c h d e n k e n , dass r bei e i n e m ganz- z a h l i g e n W e f t k e i n e n A u f e n t h a l t m a c h t , s o n d e r n u n m i t t e l b a r w e i t e r wiichst. Zu e i n e r s o l c h e n g a n z e n Z a h l g e h S r t k e i n Instabiliti~tsintervall. K e n n t m a n n u n den A u s d r u c k y o n 00(t) in e i n f a c h p e r i o d i s c h e n F u n k t i o n e n , so i s t also die F r a g e , wie m a n die g a n z e n Z a h l e n b e s t i m m e n k a n n , zu d e n e n I n s t a b i l i t i ~ t s i n t e r v a l l e gehSren.
D i e Z a h l r (bzw. der reelle Tell y o n r , w e n n dieser eine g a u z e Z a h l ist) s t e h t in Z u s a m m e n h a n g m i t der d u r c h s c h n i t t l i c h e n A n z a h l d e r N u l l s t e l l e n eines I n t e g r a l s , i n d e m , w e n n v die A n z a h l d e r N u l l s t e l l e n a u f einer S t r e c k e nJv b e - zeichnet, m a n fiir n--* ~ - - * r erh~lt. y I n einem Instabilitdtsiulervalle w i r d also die durchschnittliche A n z a h l der Nullstellen ungedndert. Es m u s s .]a auch, a u f G r u n d der a l t e r n i e r e n d e n L a g e d e r N u l l s t e l l e n zweier I n t e g r a l e , fiir diese d u r c h - s c h n i t t l i c h e A n z a h l yon e n t s c h e i d e n d e r B e d e u t u n g sein, w e n n fiir ein b e s o n d e r e s I n t e g r a l zwei Nullstellen, zwischen d e n e n eine gewisse A n z a h l r - - I a n d e r e r N u l l s t e l l e n liegen kSnnen, d e n A b s t a n d ~ von e i n a n d e r h a b e n . N u n g i b t es h i e r zwei d e n k b a r e M S g l i c h k e i t e n , i n d e m e n t w e d e r gleichzeitig fiir s~tmtliche I n t e g r a l e zwei N u l l s t e l l e n m i t d e m g e g e n s e i t i g e n A b s t a n d z e x i s t i e r e n k S n n e n o d e r nicht. I m z w e i t e n Falle h a t m a n ein zusammenh~Lngendes t t - I n t e r v a l l , fiir welches es I n t e g r M e m i t d e m A b s t a n d z zwischen zwei N u l l s t e l l e n gibt, u n d e b e n dieses i s t ein I n s t a b i l i t i i t s i n t e r v a l l .
D a s s n u n betreffs d e r G y l d 6 n s c h e n G l e i c h u n g zu r - ~ I ein Instabiliti~ts- i n t e r v u l l g e h 5 r t , sieht m a n a u c h d a r a u s , d a s s in (45) 6 von a a b h i i n g i g ist. D i e e x t r e m e n W e r t e y o n ~ e r h i t l t m a n fiir cos 2 a - - - - I u n d cos 2a ~ I . Es l~isst sich h i e r a u s schliessen, dass m a n b e i m A n f a n g des I n s t a b i l i t ~ t s i n t e r v a l l e s a ~ -
2
u n d b e i m E n d e desselben a ~ o h a t . D i e s e r U m s t a n d h ~ n g t d a m i t z u s a m m e n , dass, wie i i b r i g e n s eine leichte ~ b e r l e g u n g zeigt, a u f d e n A b s t a n d z w i s c h e n zwei a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n N u l l s t e l l e n eine : 4 n d e r u n g y o n q)(t) in d e r N ~ h e e i n e r E x t r e m a l s t e l l e e i n e n g r 5 s s e r e n Einfluss als in der N a h e einer N u l l s t e l l e iibt.
Es l i e g t j e t z t n a h e zu f r a g e n , ob fiir die G y l d 6 n s c h e G l e i c h u n g a u c h fiir a n d e r e g a n z e Z a h l e n als r ~ I I n s t a b i l i t i ~ t s i n t e r v a l l e existieren. W i r b e t r a c h t e n fiir r > I die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
136 A. Wiman.
(48) ~ " + [r * + 6 + ~ c o s 2 (t + .)] ~ = o .
Es gilt h i e r fiir kleine ~-Werte 6 so zu b e s t i m m e n , dass ein I n t e g r a l existiert, welches t ~ o, z als Nullstellen u n d hierzu n o c h r ~ I zwischenliegende Null- stellen besitzt. Als erste A n n ~ h e r u n g fiir ein solches I n t e g r a l setzen wir x = s i n r t . I n a n a l o g e r W e i s e wie in der v o r h e r g e h e n d e n N u m m e r zu (44) ge- l a n g e n wir j e t z t zu
(441)
/[6
+ ~ e o s ~ (t +~)]
s i n ~ r t d t - - 6 _ z .J 2
0
M a n e r s c h l i e s s t hieraus, dass - --* o fiir e --* o. 6 S u c h e n wir ein I n t e g r a l , das hier dieselbe Rolle spielt wie (39) fiir r : I, so e r h a l t e n wir
(391)
f
s i n 2 r t s i n 2 ( t + a) = o.o
Das V e r s c h w i n d e n dieses I n t e g r a l e s l i e f e r t n a t i i r l i c h k e i n e n vollst~indigen Beweis dafiir, dass die L S s u n g e n der G y l d ~ n s c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir ganze Z a h l e n r > I beschr~inkt sind. W i r w e r d e n in d e r T a t finden, dass a u c h zu diesen Z a h l e n I n s t a b i l i t ~ t s i n t e r v a l l e gehSren, w e n n a u c h von n i e d r i g e r e r GrSssenord- n u n g als fiir r - ~ i .
8. W i r b e t r a c h t e n die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (49) x " + (r ~ + 6 + ~ c o s 2 t ) x ~ - o ,
in welcher r eine g a n z e Zahl bedeutet. U n t e r den beiden iibrigen K o n s t a n t e n denken wir uns n u r e als gegeben. D a g e g e n soll 6 n u r die F o r d e r u n g erfiillen, dass es eine L S s u n g gibt, welche zwei N u l l s t e l l e n m i t d e m A b s t a n d z n e b s t r - - I d a z w i s c h e n l i e g e n d e n besitzt. Von v o r n h e r e i n sind h i e r zwei M S g l i c h k e i t e n denkbar. W i i r d e es d e r Fall sein, dass s~mtliche I n t e g r a l e yon (49) gleichzeitig die obige E i g e n s c h a f t erhielten, so w~ire m i t d e r f r a g l i c h e n g a n z e n Zahl r k e i n e I n s t a b i l i t ~ t v e r b u n d e n . Bei der a n d e r e n M 5 g l i c h k e i t e x i s t i e r t es ffir 6 ein I n t e r - vall, in welchem I n t e g r a l e m i t der b e s p r o c h e n e n E i g e n s c h a f t existieren, u n d eben dieses I n t e r v a l l ist als ein I n s t a b i l i t ~ t s i n t e r v a l l zu bezeichnen. An den End- p u n k t e n dieses I n t e r v a l l e s h a t die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g je eine L 5 s u n g , w e l c h e
Uber eine Stabilit~tsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 137 d u r c h e i n f a c h p e r i o d i s c h e F u n k t i o n e n a u s g e d r f i c k t wird, wobei als P e r i o d e z bzw.
2 z a u f t r i t t , je n~chdem r ger~de o d e r u n g e r ~ d e ist. ~ u n w e r d e n wir sogleich eine M e t h o d e entwickeln, v e r m i t t e l s t w e l c h e r sich zwei L S s u n g e n m i t d e r letz- t e r e n E i g e n s c h a f t b e s t i m m e n lassen. E i n e von diesen L S s u n g e n w i r d d u r c h 1auger S i n u s f u n k t i o n e n u n d die a n d e r e d u r c h l a u t e r C o s i n u s f u n k t i o n e n ausge- driickt. Es wird abet 6 fiir dieselben verschieden ausfallen, and in der D~ff'erenz zwischen diesen 6-Werten haben wir einen Maass fiir die fnstabilitdt.
Diese L S s u n g e n e r h a l t e n wir in der G e s t a l t yon E n t w i c k l u n g e n n a c h e ver- m i t t e l s t der M e t h o d e der sukzessiven A p p r o x i m a t i o n e n . Zu d e m E n d e setzen wir
(5o) x = x0 + x~ + x~ + ... + x,~ + ...,
( ~ I ) (~ = ( ~ 1 -~ ~] "~ " ' " -]- ~n " ~ - " ' ' .
D a b e i soll das Glied x/ bzw. 6/ den F a k t o r ~/ e n t h a l t e n . Ffir die B e s t i m m u n g der einzelnen G l i e d e r y o n (5o) b i e t e t sich ein r e k u r z i v e s V e r f a h r e n dar. Es soll d e m e n t s p r e c h e n d x~ der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g
(52) x~ + r~x, + , c o s 2 t . X n - - 1 "~- (~lXn--1 -~- (~.2Xn--2 -~- " ' ' "~- ~ X 0 = O geniigen. Als A n f a n g s g l i e d e r setzen wir
(53) x0 ---- sin r t ; Xo ~ cos f t .
W i r u n t e r s c h e i d e n also die zweite L S s u n g von der e r s t e n d u r c h die Bezeich- n u n g e n ~c/, ~i.
I n (52) f o r m e n wir stets P r o d u k t e in e i n f a c h e G l i e d e r u m v e r m i t t e l s t der R e d u k t i o n e n
(54)
sin n t cos 2 t - ~ I [sin (n + 2) t + sin (n -- 2) t];
2
cos n t cos 2 t = I [cos (n + 2) t + cos (n - - 2) t].
2
Soll n u n (52) eine e i n f a c h p e r i o d i s c h e F u n k t i o n Ms I n t e g r a l besitzen, so d a r f o f f e n b a r das y o n x~ u n d x~ u n a b h ~ n g e A g g r e g a t k e i n Glied in s i n r t bzw. c o s r t e n t h a l t e n . Die h i e r i n liegende F o r d e r u n g l~sst sich a b e r i m m e r b e f r i e d i g e n , d a wir fiber ein u n b e s t i m m t e s Glied 6nsin r t bzw. ~ c o s r t verfiigen, u n d w i t h a b e n hier das Gesetz, n a c h welchem diese Gr5ssen 6~, ~ b e s t i m m t werden. E i n e oberfli~chliche B e t r a c h t u n g k 5 n n t e n u n m i t Rficksicht a u f die U m f o r m u n g e n (54)
1 8 - - 3 5 1 5 0 . A c t a mathematica. 66. I m p r l m 6 lo 16 octobre 1935.
138 A. Wiman.
l e i c h t zur V e r m u t u n g fiihren, dass m a n aus (52) die R e l a t i o n fiir s e r h a l t e n wtirde, i n d e m m a n die S i n u s f u n k t i o n e n m i t b e i b e h u l t e n e n K o e f f i z i e n t e n d u r c h C o s i n u s f u n k t i o n e n ersetzt. Eine n a h e l i e g e n d e F o l g e r u n g wgre dann, dass m a n i m m e r an = ~, erhielte, so dass keine Instabilit;,ttsintervalle e x i s t i e r e n wiirden.
M a n wtirde a b e r d~bei n i c h t in der g e b i i h r e n d e n W e i s e b e o b a c h t e t h a b e n , dass bei den U m f o r m u n g e n zuletzt auch F u n k t i o n e n c o s ( - - r t ) , sin ( - - r t ) h e r a u s k o m - men, welche d u r c h c o s r t , - s i n r t zu e r s e t z e n sind. D o c h k a n n dies erst n a c h r S e h r i t t e n e i n t r e t e n , so dass m a n fiir i < r stets a ~ = ~ hat. Die Differenz a - ~ e n t h g l t d e m n a c h stets den F a k t o r d . D a m a n sich wohl in e r s t e r I n s t a n z fiir die Fglle interessiert, in d e n e n e klein ist, u n d tiberdies die N e n n e r in d e n f r a g l i c h e n D i f f e r e n z e n sehr schnell m i t r wachsen, so d a r f m a n vielleicht sagen, dass die GrSssenordnungen der Instabilitdtsbereiche mit wachsendem r abnehmen.
Fiir die B e s t i m m u n g von x 1 bzw. xl h u t m a n
(55)
x'[ + r2x~ + ~
2
;.'~' + r ~ t + e
2
[sin (1" + 2) t + sin ( r - - 2) t] + a 1 sin r t = o;
[eos (," + 2) t + oos (,'-- 2) t] § ~, e o s , ' t = o .
I s t r ~ I , s o
schon friiher m a n d a g e g e n
e r g i b t sieh hieraus a t = ~1 = o oder dasselbe R e s u l t a t , das wir d u r c h V e r m i t t l u n g yon (441) g e f u n d e n haben. F i i r l . . . . I e r h g l t
(56) a, = -*-. ax = - -*- a, - ~ = ~.
2 ~ 2 '
Dieses E r g e b n i s s s t e h t in i 3 b e r e i n s t i m m u n g m i t (45).
Fiir r > I wollen wir die R e e h n u n g e n n o e h weiter verfolgen. Bei d e m ngchs~en S e h r i t t n i m m t n u n r = 2 eine A u s n a h m e s t e l l u n g . Es sei also zuniiehst r > 2. W i r e r h a l t e n aus (55)
(57)
X l
e [ s i n ( r + 2 ) t s i n ( r - - 2 ) t ] .
= ~ [ ( ; 7 ~)~ ; 7 # 2 i :~ ~ ( 1 : : ? ~ J '
_ , [~o_~(,-? 2it ~os!r-At ],
2 t(i- + 2) 2 - r 2 ,.2 _ ( r - 2) 2]
Es w~.re h i e r e r l a u b t ein Glied in sin r t bzw. cos r t hinzuzufiigen. Dies wiirde aber n u r eine • n d e r u n g in dem k o n s t a n t e n F a k t o r des b e t r e f f e n d e n I n t e g r a l s x bzw. x b e d e u t e n . Beim n g c h s t e n S c h r i t t e r g i b t sich
Uber eine Stabilitgtsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 139 ,, 2 e [ s i n (r + 4) t
X 2 @ ,~2Xg -F 2 I_ 4 ( / " ' ~ I) 4 ( F - - I)
(58)
,, 2' [cos ( r + 4)t cos (r--4)t
sin ( r - - 4 ) t + 4 ( r + I) 4 ( r - - I)] "4- d~ s i n r t = o c o s r t e o s r t ]
4 ( r - - I) "4"4"4(1"'4" I) 4 ~ 7 - 2 i j 1 + d . ~ c o s r t - - o.
M a n finder hieraus ffir r > 2
Fiir r = 2 b e k o m m t m a n ans (57)
(60) x i = - - sin 4 t ; aq 8
24
e ( c o s 4 t I ) "
M a n erhiil~ weiter fiir r = 2
(6I)
z ; + 4x~ .4- ~ ( s i n 6 t .4- sin 2t) .4- d2 sin 2t;
_ , ,
)
x~. + 422 + 8- - - - + 6 c o s 2 t + d.~coszt.
Es is~ also
(62)
~ = ~ = - - -4 8 '
22 ~2 22
(1
" ~ 2).W i r k S u n e n a u c h leicht in e n t s p r e c h e n d e r W e i s e wie fiir r = I, 2 fiir r > 2 alas A n f a n g s g l i e d d~--6~ in d - 6 b e r e c h n e n . I s t r gerade, so enthgl{ 6,. ein Gtied, das n i c h t in 6,. v o r k o m m t . W e n n d a g e g e n r u n g e r a d e ist, t r e t e n in dr a n d 6r zwei G l i e d e r m i t e n t g e g e n g e s e t z t e m Zeichen auf. Es e r g i b t sich
(63)
dr - - ar =
2 r
2r--l(r2 __ i)~(r'~ __ 9 ) ' 2 [p2 __ (1"-- 2)2] ~ is r
(~r-- ~r = - - zr_b.2(r~ 4)2(r~ - ]6)2... [ ( r ~ (r-- 2)~)] 2
(r u n g e r a d e ) ; (r g e r a d e ) .
I n s b e s o n d e r e erh~ilt m a n
62 ~3 84 ~5
& - - ~ = ~ , - ~ , _ ~ , ,
I8432 2359296
zSo ( r = I, z, 3 , 4 , 5).
140 A. Wiman.
W e n n ~ g e n i i g e n d klein ist, schliessen sich o f f e n b a r die N u l l s t e l l e n y o n x u n d ~ u n m i t t e l b a r den N u l l s t e l l e n yon s i n r t u n d e o s r t an. D a die I n t e g r a l e s t e t i g y o n ~ abh~ngen, so k a n n in der h i e r i n l i e g e n d e n E i g e n s e h a f t , dass die d u r c h s c h n i t t l i c h e A n z a h l der N u l l s t e l l e n a u f e i n e r S t r e e k e z r i s t , keine An- d e r u n g e i n t r e t e n . Zwei reelle N u l l s t e l l e n k S n n e n sich ja n i c h t in eine d o p p e l t e v e r e i n i g e n , u m n a c h h e r k o n j u g i e r t imagin~ir zu w e r d e n ; aus d e m s e l b e n G r u n d e eine zweite Nullstelle yon x a u c h n i c h t in t ~ b o d e r t - ~ z ilbergehen, u n d filr k S n n e n letztere b e i d e n P u n k t e nie N u l l s t e l l e n werden, d a x eine p a a r e F u n k - t i o n ist, u n d es sich also u m d o p p e l t e N u l l s t e l l e n h a n d e l n wiirde.
Die A n g a b e des g e n a u e n K o n v e r g e n z b e r e i c h e s der E n t w i c k l u n g e n y o n x u n d ~ n a c h ~ scheint m i t S c h w i e r i g k e i t e n v e r b u n d e n zu sein. I n s b e s o n d e r e mils- sen wir die F r a g e u n e n t s c h i e d e n lassen, ob m a n i m m e r K o n v e r g e n z b e k o m m t , w e n n I n t e g r a l e yon den e r w i l n s c h t e n E i g e n s c h a f t e n existieren. Bei j e d e r n e u e n I n t e g r a t i o n t r e t e n , wie das Beispiel (57) z e i g t , in den N e n n e r n F a k t o r e n yon der G e s t a l t 2 [ ( r + 2 v ) ~ - - r e] o d e r 2 [;~2 - - (r - - 2 v) 2] hinzu, die ~ 8 ( r - - I ) s i n d ; doeh sind filr r = I die F a k t o r e n i m m e r yon der ersten G e s t a l t u n d also ~ 8 ( r + I ) = I6.
H i e r z u k o m m t , dass m a n beim U b e r g a n g y o n Xn--1 ZU X,~ eine grSssere A n z a h l y o n G l i e d e r n zu e r w a r t e n hat. E i n e leichte 0 b e r l e g u n g zeigt jedoch, dass m a n hier a u f d e r sicheren Seite steht, w e n n m a n bei j e d e m n e u e n S c h r i t t eine vier- m a l so grosse A n z a h l yon G l i e d e r n a n n i m m t . Diese G e s i c h t s p u n k t e g e n i l g e n schon, u m einen e r s t e n A u f s c h l u s s fiber den K o n v e r g e n z b e r e i c h zu geben. Die A r g u m e n t e der Sinus- u n d C o s i n u s f u n k t i o n e n in den L S s u n g e n sind y o n der G e s t a l t (r • 2v) t, u n d die ~ussersten A r g u m e n t e sind o f f e n b a r (r + 2n) t. D a dabei, wie l e i c h t e i n z u s e h e n ist, n u r die A r g u m e n t e ( r + 2 n ) t , ( r + z n - - 4 ) t ,
9 . . ( r - - 2 n + 4 ) t, ( r - - z n ) t v o r k o m m e n k5nnen, wobei r - - 2 v , falls < o , d u r c h 2 v - - r zu ersetzen ist, so v e r s t e h t man, dass, w e n n s~mtliche G l i e d e r m i t dem- selben A r g u m e n t e in ein einziges Glied z u s a m m e n g e f i l h r t werden, m a n h S c h s t e n s n + I G l i e d e r in x,~ u n d ~ erh~lt. K e n n t m a n die dabei r e s u l t i e r e n d e n K o e f - fizienten, so finder m a n u n m i t t e l b a r e i n e n A u s d r u c k filr den K o n v e r g e n z b e r e i e h der E n t w i c k l u n g e n . L e i d e r sind wir n i e h t im S t a n d e e i n e n l e i c h t ilberschau- lichen a l l g e m e i n e n A u s d r u c k filr diese K o e f f i z i e n t e n a n z u g e b e n .
9. Es ist ziemlich e i n l e u e h t e n d , dass die o b i g e n M e t h o d e n a u c h a u f e i n e n a l l g e m e i n e r e n Fall, n~mlich die t I i l l s c h e G l e i c h u n g
h
V = I
Uber eine Stabilitiitsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 141 A n w e n d u n g finden, wobei wir a n n e h m e n , dass kein g e m e i n s a m e r g a n z z a h l i g e r T e l l e r > I fiir die h g a n z e n Z a h l e n k~ existiert. Zu j e d e r g a n z e n Zahl r ge- h S r e n a u c h hier zwei I n t e g r a l e x, x in e i n f a c h p e r i o d i s c h e n F u n k t i o n e n , u n d in d e n z u g e h 5 r i g e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n lgsst sich y o n v o r n h e r e i n @ ( t ) n i c h t e x a k t angeben, sondern, w e n n m a n
h
(65) q)(t) = r ~ + d + ~ , ~ cos 2k~t
1
sehreibt, so erhi~lt m a n in d e m s e l b e n Maasse, wie die E n t w i e k l u n g e n fiir die I n t e g r a l e f o r t s c h r e i t e n , eine B e s t i m m u n g von d in d e n GrSssen e~ . . . . ek. F i i r die beiden I n t e g r a l e x u n d N erhgolt d a n n d v e r s c h i e d e n e B e s t i m m u n g e n , u n d w e n n d zwischen diesen liegt, so b e k o m m t m a n instabile L S s u n g e n . W i r ver- suchen a u e h b i e r fiir x u n d d m i t den E n t w i c k l u n g e n (5o) u n d (5I). Fiir x~ er- h a l t e n wir, in Analogie m i t (52),
(66)
h
x;; + r~xn + ~ e . e o s 2 k . t . x . - i + d~xn-~ + d~Xn--~ + "'" + d,~Xo ~ O,
1
wobei, wenn wir x0 = sin r t , x0 = c o s r t a n n e h m e n , d~ (bzw. C~n) d u r c h die For- d e r u n g bestdmmt wird, dass die G l i e d e r in s i n r t (bzwl c o s r t ) e i n a n d e r a u f h e b e n sollen. H i e r a b e r w e r d e n die GrSssen d~ u n d d,~ h o m o g e n e F u n k t i o n e n ~-ter O r d n u n g y o n el, s2, . . . eh. W i i n s c h e n wir n u n zu wissen, y o n w e l c h e r O r d n u n g das zur g a n z e n Zahl r g e h S r e n d e Instabilitis k l e i n ist, so h a t m a n n u r die erste n i c h t v e r s c h w i n d e n d e Differenz g~--d~ zu b e s t i m m e n . Vergegenwi~rtigt m a n sieh die A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n der v o r i g e n N u m m e r , so ersieht m a n dass dies zum ersten mal bei der n i e d r i g s t e n A n z a h l y o n G l i e d e r n eintrifft, fiir wel- che eine R e l a t i o n
b e s t e h t , so dass m a n
h
! m ~ k ~ = r 1
n = m l + m s + ' " + m ~
hat. Instabilitis yon
r - - - ~ 1 , ]}~ . . . . ~ h . F[ir I n t e r v a l l e k~ + k~,.
der ersten O r d n u n g gibt es also n u r fiir yon der zweiten O r d n u n g h a t m a n r = 2k~,
142 A. Wiman.
Als Beispiel nehmen wir den Fall h-= 2, k 1 = 2, k~ ~ 5. Fiir die Insta- bilitiitsintervalle der niedrigsten drei Ordnungen bekommen wir:
n -~- I , r-~--- 2 , 5 ;
n = 2 , r ~ 3 , 4 , 7 , Io;
Tt --- 3 , r - - - I , 6, 8, 9, I 2 , I 5.
Wie fiir die Gyld6nsche Gleichung erkennt man auch hier die Instabili- t~tsintervMle erster Ordnung bereits dadurch, dass fiir dieselben d~s Integral
f
0
+ a) s i n ~ r t d t
nieht identisch verschwindet, wo q)(t) in (65) gegeben wird.
I O . W i r wollen in dieser Nummer nachweisen, wie man ffir die Gyld6nsche
Gleichung die Reihenentwicklungen der LSsungen nuch e in den Instabilit~ts- intervallen herleiten kann. Die beiden Integrale mit Multiplikutoren lassen sich in der Gestalt e#f(t), e-Ttfl(t ) schreiben, wo f ( t ) , f l ( t ) gew5hnliche einfachperio- dische Funktionen bedeuten. Da @(t) eine puare Funktion ist, so h a t man fiber- dies f ~ ( t ) = f ( - - t ) . D~ wir die Entwicklung fiir f ( t ) zu kennen wfinschen, so substituieren wir in (49), wo wir 6 durch 6' ersetzen,
X ~ e "It y .
Es ergibt sich hieraus
x " -~- e ~t [Y" + 27y' + 7~Y] 9
Es sol[ mithin y die Differentialgleichung
(67) y" + 27y' + (r 2 + 6' + 7 ~ + e c o s 2 t ) y ~ - o befriedigen.
e existieren, (68)
(69) (7 o)
Wir denken uns, dass ffir y, d' und 7 Reihenentwicklungen nuch
Y - = Y o + Y l + ' " § + " ' ;
t t t
6 ' = ~ §
7 = Y 1 + 7 2 + + 7 n + .
U b e r eine Stabilitiitsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen.
F i i r 7 ~ e r g i b t sich a u s (7 o) die E n t w i c k l u n g
(7I) 7 '~ = 7~ + 27~y2 + (7~ + 27ay.~) + . . . . F2 + F3 -~ .. . . + F n + " " .
143
D i e G l i e d e r Yo, Yl . . . . y n . . . . b e s t i m m e n wir j e t z t v e r m i t t e l s e i n e s s u k z e s s i v e n R e k u r s i o n s v e r f a h r e n s , u n d z w a r e r h a l t e n w i r fiir y n
(72)
yT, -J- 2 " r yn + e c o s z t , y,~-i + 2 7 , y ~ - ~ + "'" + t 27nY'o + d'iffn--1 2-+ "'" + 6~,Yo + I ~ y ~ - ~ + . . . + 15,yo ~ - o .
I-Iier s i n d Y0, Y l , . . . yn-1 als a u s d e n f r i i h e r e n R e l a t i o n e n s c h o n b e s t i m m t zu b e t r a c h t e n . D a g e g e n k e n n e n w i r n o c h n i c h t die K o n s t a n t e n 6~, u n d 7n. Die- s e l b e n l a s s e n sich a b e r d a d u r c h e r m i t t e l n , d a s s in (72) die y o n y;~ u n d y~ u n a b - h i i n g i g e n G l i e d e r s i n r t u n d c o s r t n i e h t e n t h a l t e n diirfen. N e h m e n w i r als A u s g a n g s p u n k t
(73)
Y o - - c o s a s i n r t - - s i n a c o s r t , so e r g i b t sich h i e r a u s(74) y'o = r [cos a cos r t + sin a sin r t ] .
F i i r n = I, 2, . . . F - - I h ~ b e n w i r n a c h d e r 8. N u m m e r dn = 6 , . E s l g s s t sich h i e r a u s u n m i t t e l b a r s c h l i e s s e n , d a s s
(75) d ' n = a n = ~n; 7 , , = 0 ( n = I, 2 , . . . 1 " - - I).
W e n n w i r fiir n = = r die K o e f f i z i e n t e n fiir s i n r t u n d c o s r t in (72) g l e i c h N u l l setzen, so b e k o m m e n w i r die B e d i n g u n g e n
d'r COS v~ + 2 r y r sin a = 6~ cos a ; 6~ sin a - - 2 rTr COS a - - ~r sin a . H i e r a u s e r g i b t sich
(75) dr ~ {~r COS 2 CC -[- Jr sin ~ a ; 7~ = (dr - - Jr) sin a COS
W i e m a n s i e h t , g i l t fiir d'r die B e s e h r g n k u n g z w i s e h e n dr u n d Jr. E s m u s s a u c h n a c h d e n v o r a n g e h e n d e n E n t w i c k l u n g e n d' z w i s c h e n d u n d 6 l i e g e n , u n d e s i s t e i n e A u f g a b e dies d u r c h die E n t w i c k l u n g e n fiir die f r a g l i c h e n G r S s s e n zu be- sti~tigen. D i e B e s t i m m u n g y o n 6~ a u s d~ u n d 6~ e r f o l g t in d e r s e l b e n W e i s e wie
144 A. Wiman.
in (76), so lunge m a n n < 2 r hat. Ffir n-->_ 2 r t r e t e n a b e r die G l i e d e r in d e r E n t w i c k l u n g (7 I) y o n 7 ~ s t S r e n d ein. Es lgsst sich auch ohne S c h w i e r i g k e i t nachweisen, dass s~imtliche G l i e d e r in der E n t w i c k l u n g v o n 7 d e n F a k t o r s i n a cos a e n t h a l t e n , wie wir dies fiir das A n f a n g s g l i e d in (76) g e s e h e n h a b e n . Dasselbe giIt also a u c h fiir 7.
W i r d n u n Yo d u r c h (73) gegeben, so e r h ~ l t m a n y in der G e s t a l t (77) y = cos a F ( t ) --, sin a F ( t ) ,
wobei in F ( t ) n u r S i n u s f u n k t i o n e n u n d in F ( t ) C o s i n u s f u n k t i o n e n a u f t r e t e n . I n den e r s t e n G l i e d e r n bis y2p-~ s t i m m e n F ( t ) u n d F ( t ) m i t den E n t w i c k l u n g e n yon x bzw. s in der 8. • u m m e r iiberein. Bei den f o l g e n d e n G l i e d e r n t r e t e n a b e r ~ n d e r u n g e n ein, i n d e m F ( t ) u n d F ( t ) von sin a u n d e o s a a b h g n g i g w e r d e n ; doch in der v e r e i n f a c h t e n F o r m , dass m a n n u r eine A b h g n g i g k e i t yon sin~a u n d c o s t a erhglt. I n der e n t s p r e c h e n d e n W e i s e erweist sich 7, w e n n v o m F a k t o r sin a c o s a a b g e s e h e n wird, als yon sin~a u n d cos~a abhi~ngig, u n d das- selbe gilt f-fir 6'. Es wird m i t h i n 6' n i c h t g e g n d e r t , w e n n als A n f a n g s g l i e d von (68)
(731) Y0 = cos a sin r t + sin a cos r t
g e n o m m e n w i r d ; d a g e g e n wechselt 7 das Zeichen. Es ist j e t z t e i n l e u c h t e n d , dass wir die b e i d e n L S s u n g e n yon (49) m i t M u l t i p l i k a t o r e n in der G e s t a l t
(78)
e# [cos a F (t) - - sin a _~ (t)] ; e - # [cos a !~'(t) + s i n a F ( t ) ]g e b e n kSnnen. Diese b e i d e n I n t e g r a l e f a l l e n a b e r z u s a m m e n fiir a = o u n d a = - . W i r h a b e n d a n n die Fglle m i t e i n f a c h p e r i o d i s c h e n L S s u n g e n der 8. N u m -
2
mer, u n d es g e h e n F(t) u n d /~(t) in die d o r t b e t r a c h t e t e n I n t e g r a l e x u n d fiber. I n der bei solchen F r a g e s t e l l u n g e n iiblichen W e i s e k S n n e n wir a b e r in diesen Fgllen d u r c h G r e n z i i b e r g a n g n o c h ein zweites I n t e g r a l h e r l e i t e n . 1 W i r wollen dies fiir a ~ o n g h e r ausffihren. Es sei
(79) lira 7
~ o s i n a 70.
1 M a n s e h e a u c h FORSYTH, l. C., p. 4 I 5.
Uber eine Stabilit~tsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. 145 W i r setzen
(80) X(1) _ _ I
[e -Tt
[cos a F(t) + sin a F(t)] - -ert
[cos a F(t) - - sin a ~(/)]].2 s i n a
O f f e n b a r h a t X (1) die B e d e u t u n g eines p a r t i k u l ~ r e n I n t e g r a l s , das fiir a--~ o in
(8 x(') = - r0 t F (t)
iibergeht. Es ist h i e r
F(t)
die bereits b e k a n n t e L S s u n g x . D a g e g e n ist F ( t ) n i c h t m i t d e m I n t e g r a l ~ der 8. N u m m e r zu verwechseln, da * ~ ( t ) i n dieses I n t e g r a l fiir a = - ~rg u n d n i c h t fiir a = o iibergeht.2
Es diirfte o h n e weiteres verstiindlich sein, dass die obige M e t h o d e auf eine a l l g e m e i n e Klasse yon D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n A n w e n d u n g finder. Zu dieser Klasse g e h S r t die in der v o r h e r g e h e n d e n N u m m e r b e s p r o c h e n e Hillsche Glei- c h u n g sowie a u c h die V e r a l l g e m e i n e r u n g h i e r v o n , welche m a n erhiflt, w e n n in (64) cosk~t d u t c h
cos(k,t--fl,)
ersetzt wird. D o c h begniigen wir uns, w e n i g s t e n s bei dieser G e l e g e n h e i t , m i t den obigen A n d e u t u n g e n .W i e ich spi~ter b e m e r k t habe, k a n n m a n in der obigen W e i s e s o g a r I n t e - grate fiir die an den I n s t a b i l i t ~ t s b e r e i e h e n a n g r e n z e n d e n Teilen der Stabiliti*ts- bereiche erhalten. M a n b r a u c h t n u t in (73) cos a u n d sin a d u r e h die h y p e r b o - lischen F u n k t i o n e n cosh a u n d i sinh ct zu ersetzen. D a b e i ist es die d u r c h :Null g e h e n d e F u n k t i o n cos a o d e r sin a, die n a c h e r in i sinh a fibergeht.
1 9 - - 3 5 1 5 0 , A c t a mathematica. 66. I m p r i m 6 le 16 o c t o b r e 1935.
