Chapitre 2 Anneaux et Corps-Algèbre6

(1)

(2)

D´efinition

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau ou A est un anneau si les propriétés suivantes sont vérifiées:

1 _{(A, +) est un groupe ab´}_elien.

2 La multiplication de A est associative.

(3)

D´efinition

(4)

D´efinition

(5)

D´efinition

(6)

D´efinition

(7)

D´efinition

(8)

Exemple

1 (R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×) sont des anneaux.

2 (R[X ], +, ×) est un anneau, appel´e anneau de polynˆomes. 3 _(RR_{, +, ×) est un anneau.}

4 _Z[

√

(9)

Exemple

4 _Z[

√

(10)

Exemple

2 (R[X ], +, ×) est un anneau, appel´e anneau de polynˆomes.

3 _(RR_{, +, ×) est un anneau.}

4 _Z[

√

(11)

Exemple

2 (R[X ], +, ×) est un anneau, appel´e anneau de polynˆomes.

3 _(RR_{, +, ×) est un anneau.}

4 _Z[

√

(12)

Exemple

2 (R[X ], +, ×) est un anneau, appel´e anneau de polynˆomes. 3 _(RR_{, +, ×)}_{est un anneau.}

4 _Z[

√

(13)

Exemple

4 _Z[

√

(14)

Exemple

4 _Z[

√

(15)

Exemple

4 _Z[

√

(16)

D´efinition

On note par A∗l’ensemble A∗ = A − {0A}.

Si A = {0A} on dit A est nul.

Si la multiplication de A est commutative on dit que (A, +, ·) est un anneau ab´elien ou commutative.

Si A admet un ´el´ement neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.

Si A est un anneau unitaire alors l’élément neutre pour la multiplication de A est appelé l’unité de A et noté 1A ou 1.

(17)

D´efinition

(18)

D´efinition

(19)

D´efinition

(20)

D´efinition

(21)

D´efinition

On dit que A est int`egre si :

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

1 _Zest int`egre.

2 _{Z/6Z n’est pas int`}_egre.

3 _{Z/nZ × Z/nZ n’est pas int`}_egre.

4 (P (E ) , ∆, ∩) n’est pas in`egre si |E | ≥ 2. 5 (RR, +, ×) n’est pas int`egre.

(22)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

1 _Zest int`egre.

(23)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

1 _{Z est int`}egre.

(24)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

2 _Z/6Z _{n’est pas int`}_egre.

(25)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

(26)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

(27)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

4 (P (E ) , ∆, ∩) n’est pas in`egre si |E | ≥ 2.

(28)

D´efinition

∀a, b ∈ A : ab = 0_A =⇒ [a = 0A ou b = 0A]

Exemple

(29)

D´efinition

1 Si A est un anneau unitaire alors les ´el´ements inversibles de A sont

appel´es les unit´es de A .

2 Si A est un anneau unitaire alors l’ensemble des unit´es de A est not´e

U (A).

3 _{Si A est un anneau unitaire et si U (A) = A}∗ _{on dit que A est un}

(30)

D´efinition

U (A).

(31)

D´efinition

U (A).

(32)

Exemple

1 _{Z est un anneau ab´}elien unitaire et U (Z) = {−1, 1} 6= Z∗˙Donc Z

n’est pas un corps .

2 _{Q , R et Csont des corps ab´}eliens .

3 Si E est un ensemble quelconque alors (P (E ) , ∆, ∩) est un anneau

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

4 _{(R[X ], +, ×) n’est pas un corps.}

Proposition

Si A est un corps alors A est intègre. La réciproque n’est pas toujours vérifiée.

(33)

Exemple

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(34)

Exemple

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(35)

Exemple

2 _Q, R et Csont des corps ab´eliens .

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(36)

Exemple

2 _{Q , R} et Csont des corps ab´eliens .

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(37)

Exemple

2 _{Q , R et C}sont des corps ab´eliens .

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(38)

Exemple

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(39)

Exemple

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

4 _{(R[X ], +, ×)} _{n’est pas un corps.}

Proposition

(40)

Exemple

ab´elien unitaire.

1P(E )= E et U (P (E )) = {E }.

Proposition

(41)

D´efinition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un

sous-anneau de A ou A est une extention de B si les propriétés suivantes sont vérifiées:

1 _{B est stable pour l’addition de A.} 2 B est stable pour la multiplication de A.

(42)

D´efinition

1 _{B est stable pour l’addition de A.}

2 B est stable pour la multiplication de A.

(43)

D´efinition

(44)

D´efinition

(45)

Th´eor`eme

Soient A un anneau et B une partie de A. B est un sous anneau de A si et seulement si on a les deux propri´et´es suivates :

1 B est sous groupe de (A, +).

(46)

Th´eor`eme

(47)

Th´eor`eme

(48)

Exemple 1 _Zest un sous-anneau de Q. 2 _Z[ √ 2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i √ 2] est un sous-anneau de C.

4 _{Les sous anneaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que}

(49)

Exemple 1 _{Z est un sous-anneau de Q.} 2 _Z[ √ 2] est un sous-anneau de R. 3 _Z[i √ 2] est un sous-anneau de C.

(50)

(51)

(52)

(53)

Exemple

1 _{Soit A un anneau. A et {0}_A} sont des sous anneaux de A appel´es les

sous anneaux triviaux de A

2 {0_A} est appel´e le sous anneau nul de A

3 Si B et C sont des sous anneaux de A alors B ∩ C est aussi un sous

anneau de A .

(54)

Exemple

anneau de A .

(55)

Exemple

anneau de A .

(56)

Exemple

anneau de A .

(57)

Remarque

Si A est unitaire et si B est un sous anneau unitaire de A alors en g´en´eral on a : 1B 6= 1A.

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

Si A est unitaire intègre alors tous les sous anneaux unitaires non nuls de A ont le même élément unité que celui de A.

(58)

Remarque

Exemple

Remarque

(59)

Remarque

Exemple

Remarque

(60)

Remarque

Exemple

Remarque

(61)

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A =(1, 1) 6= 1B = (1, 0).

Remarque

(62)

Remarque

Exemple

Soit A = Z × Z. A est un anneau unitaire et B = Z × {0}est un sous-anneau unitaire de A et on a : 1A = (1, 1) 6=1B = (1, 0).

Remarque

(63)

Remarque

Exemple

Remarque

(64)

Remarque

Exemple

Remarque

(65)

D´efinition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-corps de A si B est un sous-anneau de A et si (B, +, ·) est un corps.

Exemple

1 _{Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.}

(66)

D´efinition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-corps de A si B est un sous-anneau de A et si (B, +, ·) est un corps.

Exemple

1 _{Q est un sous-corps de R qui est un sous-corps de C.} 2 {a + ib/a, b ∈ Q} est un sous-corps de C.

(67)

D´efinition

Soient B un autre anneau f une application de A vers B .

1 _{Si f est homomorphisme de (A, +) vers (B, +) et si f est un}

homomorphisme de (A, ·) vers (B, ·) on dit que f est homomorphisme d’anneaux de A vers B.

2 Si A et B sont unitaires et si f (1_A) = 1_B on dit que f est un

homomorphisme d’anneaux unitaire de A vers B.

(68)

D´efinition

(69)

D´efinition

(70)

Exemple

1 La conjugaison de C vers C est un automorphisme d’anneaux.

2 _{Soit A un anneau. L’application Z} //_{A, k} //_k1

A est un

(71)

Exemple

1 La conjugaison de C vers C est un automorphisme d’anneaux. 2 _{Soit A un anneau. L’application Z} //_{A, k} //_k1

A est un

(72)

D´efinition

Image et Image directe Soit A0 un autre anneau et f est un homomorphisme d’anneaux de A vers A0.

Si B est un sous anneau de A alors f (B) est un sous anneau de A0. Si B0 est un sous anneau de A0 alors f −1(B0) est un sous anneau de A.

(73)

D´efinition

(74)

D´efinition

(75)

D´efinition

(76)

D´efinition

Soient A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un id´eal de A, si I est un sous groupe de (A, +) et si on a : ∀a ∈ A et ∀x ∈ I : ax , xa ∈ I .

(77)

1 Les id´eaux de Z sont les parties de Z de la forme nZ telle que n ∈ N 2 {0_A} et A sont des id´_{eaux de A appel´}_{es les id´}_{eaux triviaux de A} 3 {0_A} est appel´e l’id´_{eal nul de A.}

4 Si A est unitaire et si I est un id´eal de A alors I = A si seulement si

1 ∈ I .

5 Si A est un corps, les seuls idéaux de A sont {0_A} et A. 6 Les idéaux de A sont tous des sous-anneaux de A. 7 Les seuls idéaux de Q sont {0} et Q

8 _{Z est un sous-anneaux de Q qui n’est pas un id´}_{eal de Q.}

9 _{Si I et J sont des id´}_{eaux de A alors I ∩ J et I + J sont des id´}_{eaux de}

A.

10 _{Toute intersection d’id´}_{eaux de A est un id´}_{eal de A.} 11 _{Soit a un ´}_el´_{ement quelconque de A. Si A est ab´}_{elien alors}

aA = Aa = {ax tq : x ∈ A} est un id´eal de A.

12 _{Si A est unitaire ab´}_{elien alors l’id´}_{eal aA = Aa contient a et c’est le}

(78)

D´efinition

Soient A un anneau, I un id´eal de A et π la surjection canonique du groupe additif vers le groupe additif AI .

1 Il exite une loi de composition interne et une seule dans l’ensemble

AI not´e multiplicativement tel que π soit un homomorphisme de (A, .) vers (AI , .).

2 ∀x, y ∈ A : xy = xy .

3 (AI , +, .) est un anneau appel´e l’anneau quotient AI , et π est un

(79)

Proposition

Soient A un anneau et I un id´eal de A.

1 _{Si A est abelien alors AI est abelien.}

2 _{Si A est unitaire alors AI est unitaire dont l’unit´e est p (1}_A_{) = 1}_A_.

Exemple

(80)

Proposition

Soit A un anneau, I un id´eal de A et π la surjection canonique de A vers AI .

1 Si J est un idéal de A alors (J + I ) I = π (J) est un idéal de AI . 2 si I ⊂ J alors JI est un idé al de AI .

3 _{Soient J et K deux id ´}_{eaux de A contenants I . Si JI = K I alors}

(81)

D´efinition

Soit A un anneau commutatif unitaire int`egre.

1 On dit qu’un idéal I de A est principal s’il existe un élément a ∈ A tel

que I = aA.

2 Si les id´eaux de A sont tous principaux, on dit que l’anneau A est

pricipal.

Exemple

1 _{Les corps sont des anneaux principaux.} 2 _{Z est un anneau principal.}

(82)

D´efinition

Soient A un anneau et I un id´eal de A. On dit que :

I est un id´eal premier de A, si on a : ∀x , y ∈ A : xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I .

I est un id´eal maximal de A, si: I 6= A.

(83)

Exemple

Soit A un anneau.

A est un idéal premier de A lui même, mais A n’est pas un idéal maximal de A.

{0A} est un id´eal premier de A si et seulement si A est un anneau

int`egre.

Si A est un corps alors {0A} est un id´eal maximal de A.

Si A est commutatif unitaire alors {0A} est un id´eal maximal de A si

(84)

Exemple

Les id´eaux premiers de Z sont {0}, Z et les id´eaux de la forme pZ tels p soit un nombre premier.

Les id´eaux maximaux de Z sont les id´eaux pZ tels p soit un nombre premier.

Soit B un autre anneau et f est un homomorphisme d’anneaux de A vers B.

(85)

Th´eor`eme

Soient A un anneau et I un idéal de A. Pour que I soit un idéal premier de A il faut et il suffit que AI soit intègre.

Exemple

1 Si p est un entier naturel alors ZpZ est un int`egre si seulement si

p = 0 ou p = 1 ou p est un nombre premier.

2 _{Z0Z = Z {0}, ZZ, Z2Z, Z3Z, Z5Z et Z7Z sont}

des anneaux int`egres.

3 _{Z4Z , Z6Z, Z8Z, Z9Z, Z10Z et Z12Z ne sont pas}

(86)

Th´eor`eme

Soient A un anneau et I un id´eal de A. Si AI est un corps alors I est un id´eal maximal de A.

Th´eor`eme

Soient A un anneau commutatif unitaire et I un id´eal de A. I est un id´eal maximal de A si et seulement si AI est un corps.

(87)

Exemple

1 Si p est un entier naturel alors ZpZ est un corps si et seulement si

p est un nombre premier.

2 _{Z2Z, Z3Z, Z5Z et Z7Z sont des corps.}

3 _{Z0Z = Z {0}, ZZ, Z4Z, Z6Z, Z8Z, Z9Z et}

(88)

Corollaire

Si A est un anneau commutatif unitaire alors tous les id´eaux maximaux de A sont des id´eaux premiers de A.

(89)

D´efinition

Soit A un anneau commutatif unitaire int`egre.

On dit que A est un anneau euclidien s’il existe une application f de A? vers N telle que pour tout élément a de A et pour tout élément non nul b de A? il existe deux éléments q et r tels que :

a = bq + r

r = 0 ou (r 6= 0 et f (r ) ≺ f (b)) .

Exemple

(90)

Th´eor`eme

Les anneaux euclidiens sont principaux.

Exemple

Contre-exemple Z[1 + i √

19

(91)

D´efinition

Soient A un anneau et a ∈ A.

1 si le sous-groupe hai de A est d’ordre fini p on dit que a est de

carct´eristique p et on note : cara (a) = p

2 si le sous-groupe hai de A est d’ordre ifini on dit que a est de

carct´eristique 0 et on note : cara (a) = 0. Exemple

1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1

2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) = 0

(92)

D´efinition

carct´eristique 0 et on note : cara (a) = 0.

Exemple

2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) = 0

(93)

D´efinition

Exemple

2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) = 0

(94)

D´efinition

Exemple

1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) = 0

(95)

D´efinition

Exemple

1 Soit A un anneau alors cara (0) = 1 2 ∀a ∈ Z∗ : cara (a) = 0

(96)

Proposition

Soit a ∈ A : les propriétés suivantes sont équivalentes :

1 _{cara (a) = 0} 2 ∀k ∈ Z∗ _{: ka 6= 0} 3 ∀k ∈ N∗ : ka 6= 0

(97)

Proposition

1 _{cara (a) 6= 0}

2 ∃k ∈ N∗ _{tq : ka = 0} 3 ∃k ∈ Z∗ tq : ka = 0

Proposition

Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :

1 cara (a) est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗ tq : ka = 0 .

(98)

Proposition

1 _{cara (a) 6= 0}

2 ∃k ∈ N∗ _{tq : ka = 0} 3 ∃k ∈ Z∗ tq : ka = 0

Proposition

Soit a ∈ A. Si cara (a) 6= 0 alors :

1 cara (a) est le plus petit entier naturel non nul k ∈ N∗ tq : ka = 0 . 2 ∀k ∈ Z : ka = 0 ⇐⇒ cara (a)| k.

(99)

Th´eor`eme

Si A est anneau intègre non nul alors tous les éléments non nuls de A ont la même caractéristique qui est soit 0 soit un nombre premier.

Exemple

1 _{cara (Z) = cara (Q) = cara (R) = cara (C) = 0.} 2 _{Si p est un nombre premier alors : cara (ZpZ) = p.}

Remarque

Si A est anneau int`egre non nul de caract´eristique p et si k est un multiple de p alors : ∀x ∈ A : kx = 0.

(100)

Th´eor`eme

Soient A un anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ A deux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors: (a + b)p= ap+ bp.

Corollaire

Soient A un anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et a, b ∈ A deux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors : ∀n ∈ N :

(101)

Corollaire

Si A est un anneau commutatif int`egre non nul de caract´eristique p 6= 0 alors pour tout entier naturel n ∈ N l’application suivante :

fn: A //A, a //fn(a) = ap n

est un homomorphisme d’anneaux de A vers A qui est unitaire si A est unitaires.

(102)

Proposition

Soient A un anneau commutatif unitaire int`egre non nul de caract´eristique 0.

∀n ∈ Z?_{: n1} A 6= 0.

Pour tout entier relatif n, on confond n1A avec n. C’est `a dire n

devient un ´el´ement de A.