MT 25 - Printemps 2009
Examen du 26 juin 2009
EXERCICE 1 Soit f(x, y) =x3+y3+ 3xy.
a. Calculer la d´eriv´ee de f en (1,1) dans la direction du vecteur −→ i +−→
j . b. Rechercher les extr´emums de f.
EXERCICE 2 Dans un rep`ere orthornorm´e du plan R2, on consid`ere la conique d’´equation 16x2+ 9y2−24xy+ 35x−20y= 0.
a. Pr´eciser la nature de cette conique.
b. Trouver un rep`ere orthonorm´e dans lequel l’´equation de la conique est r´eduite.
c. Repr´esenter la conique dans le rep`ere initial.
EXERCICE 3 Calculer l’int´egrale double R
D
px21 +x22 dx1dx2 lorsque a. D={(x1, x2)∈D; x21+x22 ≤R2}
b. D={(x1, x2)∈D;x21 +x22 ≤1 et x21+x22 ≥2x2} EXERCICE 4
a. Trouver la masse du volume d´ecoup´e dans un cˆone, d’angle au sommet 60◦, par une sph`ere de rayon 2 et dont le centre est situ´e au sommet du cˆone.
b. Calculer son centre de gravit´e.
EXERCICE 5 Soit le produit scalaire (f, g) =
Z 1
0
f(t)g(t) dt 1
d´efini sur l’espace des fonctions continues C(0,1). Consid´erons la famille (fn)n∈N∗ de C(0,1) d´efinie par
fn(t) = cos(2πnt) pour t∈(0,1).
a. Montrer que deux fonctions fn et fm avec n6=m sont orthogonales.
b. Montrer que gn=√
2fn est norm´ee, en d´eduire que la famille (gn)n∈N∗ est orthonorm´ee.
c. Montrer que les trois fonctionsh1(t) = 1, h2(t) = cos(πt) eth3(t) = sin(πt) sont ind´ependantes.
d. Construire une base orthornorm´ee B= (k1, k2, k3) du sous espace vectoriel E engendr´e par (h1, h2, h3).
e. Calculer la projection de la fonction f1 sur le sous espace E.
f. En d´eduire l’expression de la distance de f1 au sous espace E. On fournira une expression d´etaill´ee, mais on n’effectuera pas les calculs qui s’av`erent un peu longs.
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EXERCICE 1 Soit f(x, y) =x3+y3+ 3xy.
∂
∂x(x3+y3+ 3xy)
∂
∂y(x3+y3+ 3xy) = 3y+ 3x2 3x+ 3y2 Solutions: (0,0) et (−1,−1)
∂
∂x ∂
∂x(x3+y3+ 3xy) ∂x∂ ∂y∂(x3+y3+ 3xy)
∂
∂x ∂
∂y(x3+y3+ 3xy) ∂y∂ ∂y∂(x3+y3+ 3xy) = 6x 3 3 6y
−6 3
3 −6 , eigenvalues: {−9,−3} c’est un minimum 0 3
3 0 , eigenvalues: {−3,3}: pas un minimum EXERCICE 5 Soit le produit scalaire
(f, g) = Z 1
0
f(t)g(t) dt
d´efini sur l’espace des fonctions continues C(0,1). Consid´erons la famille (fn)n∈N∗ de C(0,1) d´efinie par
fn(t) = cos(2πnt) pour t∈(0,1).
a. Montrer que deux fonctions fn et fm avec n6=m sont orthogonales.
b. Montrer que gn=√
2fn est norm´ee, en d´eduire que la famille (gn)n∈N∗ est orthonorm´ee.
c. Montrer que les trois fonctionsh1(t) = 1, h2(t) = sin(πt) eth3(t) = cos(πt) sont ind´ependantes.
d. Construire une base orthornorm´ee B= (k1, k2, k3) du sous espace vectoriel E engendr´e par (h1, h2, h3).
k1 =h1 = 1
k2 = ||hh22−(h−(h22,k,k11)k)k11|| = ||cos(πt)cos(πt)|| =√
2 cos(πt) k3 = hh3−(h3,k1)k1−(h3,k2)k2
3−(h3,k1)k1−(h3,k2)k2 = sin(πt)−1 2π 2−π42
f1 = cos(2πt) Projection de f1:
P f1(t) = (f1, k1)k1+ (f1, k2)k2+ (f1, k3)k3 =− 2
3π(12−π42)
sin(πt)−π2
1
2−π42 =−83π2π(πsin2−8)πt−22
Distance:
||f1−P f1||=
(cos(2πt) + 83π2π(πsinπt−22−8)2 )2 R1
0(cos(2πt) + 83π2π(πsinπt−22−8)2 )2dt
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