Le logarithme népérien 1. Les notions principales
a) Définition
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R ; lim→ = 0, lim
→ = +∞. Ainsi, si > 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que = . On note = ln On a donc :
Il est équivalent de dire ln = et = ( > 0) Pour tout réel : ln( ) =
Pour tout > 0 ∶ =
En particulier ln(1) = 0, ln( ) = 1 b) Propriétés analytiques
La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[
Sa dérivée est
La courbe de la fonction logarithme s’obtient à l’aide de celle de l’exponentielle en échangeant les rôles de et
Limites : lim
→ ln = −∞ et lim
→ ln = +∞
L’axe des ordonnées est donc asymptote à la courbe de la fonction logarithme.
Dérivée de composée : si est une fonction dérivable et positive, la dérivée de ln( ) est
Croissances comparées : lim→ × ln = 0 et lim
→ = +∞
c) Propriétés algébriques
Pour tous réels , > 0, pour tout entier : ln( × ) = ln( ) + ln ( )
ln = −ln ( ) ln ln( ) − ln ( ) ln( ) = × ln ( ) ln = − × ln ( ) ln √ = ln ( )
2. Démonstrations
a) Dérivée de
On a pour tout > 0 : =
Dérivons cette égalité (on rappelle que la dérivée de est ′ ) On a donc ln = 1
Donc ln′ = =
Remarque : ici on a supposé que la fonction logarithme était dérivable, ce qui fait que cette démonstration n’est pas parfaite.
La fonction logarithme est dérivable car sa courbe est symétrique de celle d’exponentielle, donc admet des tangentes.
b) Limites de
On part encore de l’identité = et on fait tendre vers 0.
Notons = lim
→ ln . Par limite de composée, lim
→ = lim
→ = 0, donc = 0 On ferait de même en faisant tendre vers +∞
c) Croissances comparées On recherche lim
→ . On pose = , et tend vers +∞
lim→
( )
= lim
→ = 0 par théorème, donc lim
→ = 0
De même, la limite en 0 de × ln nous ramène à lim
→ ×
d) ( × )
On calcule son exponentielle
( × ) = × = ( )× ( ) = ( ) ( ), ce qui prouve bien que ln( × ) = ln( ) + ln ( )
e) Conséquences de ( × )
Pour ln , on écrit × = donc ln( ) + ln = ln ( ) donc ln = ln( ) − ln ( )
Pour ln ( ) on fait une récurrence
Pour = 1, = et ln( ) = 1 × ln ( ) est donc vrai Soit tel que ln( ) = × ln ( )
ln( ) = ln( × ) = ln( ) + ln( ) = ln( ) + × ln( )
= (1 + ) × ln ( )
3. Compléments
