FICHE DE REVISION Les suites



FICHE DE REVISION Les suites

Principe de récurrence

∎ pour n=0 on a U0=… d’où proposition vraie

∎ Supposons que la proposition est vraie pour n∈ IN est montrons qu’elle est vraie pour (n+1) Démonstration : partir en général de la supposition ………….

∎ CONCLUSION : On a montrer par récurrence que (∀ n∈ IN) la proposition est vraie .

Monotonie d’une suite (Un) croissante U_n1U_n0 _Ou ^{n1 1}





n

U quand U

U (Un) décroissante U_n1U_n0 _Ou ^{n1 1}





n

U quand U

U

Suite Arithmétique Définition (Un) est arithmétique de raison r

    n IN  U

 U

 r

 ₀ Un U nr

Premier terme U1 : U_n^U1^{ }









La somme des termes de la suite

 

        

   

  

1

1

2

p p n

p n

S U U U

n p U U

Exemple :





         1

1 2 2

S n n n

Suite Géométrique Définition (Un) est Géométrique de raison q

    n IN  U

 qU

Un en fonction de n Premier terme U0 :





U

U q

Premier terme U1 : U_n U₁ q^n1 Premier terme Up : U_nU_pq^{n p } La somme des termes de la suite 

 

       

  

   

1

1 1

1

p p n

n p p

S U U U

U q

q

Exemple :

 

        



1

2 1

1

n

n a

S a a a

a

Limite d’une suite Convergence ∎ Toute suite et majorée est convergente.

∎ Toute suite et minorée est convergente.

Limite de (q ⁿ )

1 lim ⁿ 

q n q   1 1 lim ⁿ0

q n q

Critère de convergence

Si ^l _ ^l



   

  

 



0 lim

lim 0

n n

n n n

n

U a

a U Si _



 

   

  

 lim

lim

n n

n n n

n

U a a U



 

₁



n n

U f U

 

   

I

I l I

I I





 

 

  

  





0 1

lim '

n n

n n

n

U

U f U

f est continue sur Alors U solution de l équation f x x sur f

U est convergente

Pour la monotonie

∎ On peut utiliser la position relative de la courbe de f et la droite (∆) : y = x

∎ Par récurrence

Ex :

   

 

I



   

   ₁ 

0

: 0 0

’ _{n n n n}

d o

x f x x

ù f U U U U

Pour montrer que :

a U 

 b





 

Ex :

a U 

 b

     

f a f U f b

  a U

 b