FICHE DE REVISION Les probabilités

(1)



FICHE DE REVISION Les probabilités

Dénombrement Permutation de n éléments : ⁿ^!^^{n n}



^¹



ⁿ^{   }²



^{2 1}

Arrangement de p éléments parmi n éléments : ^Aⁿ^p^^{n n}



^¹

 

^{n p}^{  }¹

  

^{n p}^ⁿ^! ^! A_nⁿ n! Combinaison de p éléments parmi n éléments :

 

 



!

! ! !

p

p n

n

A n

C p p n p

C¹_nn et C_nⁿ1 Nombre de possibilités

Cardinale (Card )

_C_n^p A_n^p

n

^p

Les probabilités

Ω (l’univers d’une expérience aléatoire)

( A et B événements équiprobables)

( A l’événement contraire )

- Propriétés : ∎ ^{p A}



^{ }^B

     

^{p A} ^^{p B} ^^{p A}^^B



^∎^p

 

^{ }¹^∎^p

 

^{ }⁰^∎^{p A}

 

^{ }¹ ^{p A}

 

- Egalité de probabilité : ^{p A}

 

^ ^CardA_

Card

- Probabilité conditionnelle :

   

 

^

B 

p A B p A p B Indépendance de deux

événements A et B

Deux événements A et B sont indépendantes ssi ^{p A}



^^B

    

^^{p A p B}^.

Variable Aléatoire X ^{p X}



^k est la probabilité de l’événement « X prend la valeur k »



Loi de probabilité xi x1 x2 ………….. xn

p(X=xi) p1 p2 ………….. pn

Espérance mathématiques : E X

 

^{    }x1 p1 x2 p2 ...^{ }x_n p_n

La variance V(X) : V X

 

^{ }p1



x1^E X

  

²^{ }p2



x2^E X

^{ } 

²^...^{ }p_n



x_n^E X

^{ } 

ⁿ^E X

 

² ^



E X

^{ } 

²

Ecart type : ^

 

^X ^ ^{V X}

 

(2)



Loi binomiale A est un événement de probabilité p dans une expérience aléatoire, On répète l’expérience n fois ,la probabilité d’obtenir k fois l’événement A est : C p An^k ^k

  

¹^p A

  

^{n k}^

Soit X la variable aléatoire qui associe le résultat de la répétition de l’expérience au nombre de réalisations de l’événement A ; X est appelé loi binomiale : loi binomiale de X est p X



^k



^C p An^k ^k

  

¹^p A

  

^{n k}^

Espérance mathématiques : E X

 

^n p A.

 

. La variance V(X) : ^{V X}

 

^^{n p A}^.

 

^{. 1}



^^{p A}

  