fiche d'exercices -probabilités conditionnelles

(1)

TP MATHEMATIQUES PROBAILITES BTS-2-GO 2008-2009 Exercice 1

Dans une usine , on produit chaque jour mille pièce du même modèle .Chacune de ces pièces est susceptible De présenter un défaut A , un défaut B ou simultanément les deux défaut A et B.

On admet que :

 8% des pièces présentent le défaut A ;

 parmi les pièces atteintes du défaut A, 15%ont le défaut B ;

 parmi les pièces non atteintes du défaut A, 5%ont le défaut B .

1°. Déterminer , parmi la production d’un jour donné , le nombre de pièces : a) présentant simultanément le défaut A et le défaut B ;

b) présentant le défaut B sans présenter le défaut A ; c) présentant le défaut B et peut-être le défaut A ; d) Ne présentant ni le défaut A, ni le défaut B.

e) Représenter les données précédentes dans un tableau 2°. Calculer la probabilité de : ^{p AB}

 

^;^{p A B}

^{ }

^;^{p A B}

 

^;p AB 

 

  ;^{p B A}

 

^;^{p B A}

^{ }

^;p B A 

 

  ;^{p B A}

 

3°. Construire les arbres correspondants réalisant la situation ^{p A}



^^B



A

B

B B B

 p A B^ =...





=...

p A B





B

A

A A A

 p A B^ =...





=...

p A B





Exercice 2

Une entreprise fabrique en grande quantité un certain type des composant .La probabilité qu’un composant soit conforme est ^0,9

1° On note C l’événement : « le composant est conforme » , et _Cl’événement contraire de C Calculer la probabilité de _C

2° On contrôle chaque composant . On constate que, lorsqu’un composant est conforme, il est toujours accepté à l’issue du contrôle ; quand un composant n’est pas conforme, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de 1

11. On noteAl’événement : « le composant est accepté à l’issue du contrôle » a) Montrer que les probabilités des événements A C et _{A C}_ sont respectivement 9

10et 1 110. b) En remarquant que ^A^



^{A C}^



^



^{A C}^



, et que les événements A C et _{A C}_ sont

incompatibles, déterminer la probabilité de A.

c) Calculer la probabilité de Csachant que A est réalisé . Exercice 3

Un magasin de distribution vend deux types de téléphones portables :

Des téléphones standards

Des téléphones miniatures

Il propose aussi deux types d’abonnements mensuels :

L’abonnement 1heure

L’abonnement 2h 30.

Le service marketing effectue une enquête sur un échantillon de 2000 clients ayant acheté dans ce magasin , pendant l’année en cours , un téléphone et un seul de l’un des types vendus et ayant opté pour un seul des abonnements proposés . sur les 2000 clients interrogés , 1200 ont acheté le modèle standard . sur ces 2000 clients , 960 ont choisi « l’abonnement 1 heure » un client est pris au hasard dans l’échantillon

tous les clients ont la même probabilité d’être choisis.

On note les événements :

S : « le client a acheté le modèle standard » ;

(2)

M : « le client a choisi le modèle miniature » ;

 A₁ : « le clients a choisi l’abonnement 1 heure » ;

 A₂ : « le clients a choisi l’abonnement 2 h 30 ».

On note ^{p E}^{( )}la probabilité d’un événement E. 1° Déterminer ^{p S}^{( )}, ^{p M}^{( )}et ^{p A}^{( )}₁

2° a) parmi les clients qui ont choisi le modèle standard , 32%ont pris l’abonnement A₁. Traduire cette donnée en terme de probabilité .

b) En déduire la probabilité d’avoir acquis le modèle le modèle standard et d’avoir opté pour l’abonnement ^A₁.

Exercice 4

Un fabricant de composants électronique d’un certain modèle possède trois machines A,BetCqui fournissent respectivement 10%, 40%et 50% de la production totale de son usine .

une étude a montré que ^3,5%des composants produits par la machine A, ^1,5%des composants produits par la machineB,^{2, 2%}des composants produits par la machineCsont défectueux .

1° La production d’une journée est de 10000unités .

Décrire à l’aide d’un tableau la situation journalière de la production Transformer le tableau en un arbre

2° Après fabrication, les composants sont versés dans un bac commun aux trois machines . On prélève au hasard un composant dans le bac qui contient la production d’un jour donné .Tous les composants ont la même probabilité d’être choisis .

a) Montrer que la probabilité que ce composant provienne de la machine C et soit défectueux est 0,011. b) Calculer la probabilité que ce composant soit défectueux

c) Calculer la probabilité que ce composant provienne de la machine C, sachant qu’il est défectueux.

Exercice 5

Un magasin stocke un certain produit dans des boîtes.

Ces boîtes sont de 2 couleurs: rouges dans la proportion 25%, bleue dans la proportion 75%. Elles sont protégées par des cartons identiques entre eux. Chaque carton ne contient qu'une seule boîte. Certains cartons portent, en dessous et à l'extérieur, la marque M, les autres ne portent aucune marque.

On précise d'autre part que

- parmi les cartons contenant une boîte rouge, 45% portent la fameuse marque M - parmi les cartons contenant une boîte bleue, 60% portent la marque M.

On prend au hasard un carton dans le magasin.

1° On ouvre le carton tiré. On remarque qu'il contient une boîte rouge. Quelle est la probabilité p1 que le carton porte la marque M? .

2° Si la boîte contenue dans le carton était bleue, quelle serait la probabilité p2 que le carton porte la marque M?

3° Quel est le pourcentage de cartons qui portent la marque M?

En déduire la probabilité p3 qu'un carton tiré porte la marque M.

4° On n'ouvre pas le carton tiré. On remarque toutefois qu'il porte la marque M. Quelle est la probabilité p4

que ce carton marqué M contienne une boîte rouge?

Exercice 6

Une urne contient des jetons de deux couleurs: Rouge et Noire, portant chacun un numéro.

On tire au hasard un jeton dans cette urne.

La probabilité pour que le jeton soit rouge est 1/3 .

La probabilité pour que le jeton porte un numéro pair est 4/9 .

La probabilité pour que le jeton soit rouge et porte un numéro pair est 1/9 . 1° Quelle est la probabilité que le jeton soit noir?

2° Quelle est la probabilité pour que le jeton porte un numéro impair?

3° Quelle est la probabilité pour que le jeton soit noir et porte un numéro impair?

4° Les événements " être noir" et "porter un numéro impair" sont-ils indépendants?

5° Si on sait que le jeton tiré est noir, alors quelle est la probabilité pour que ce jeton porte un numéro impair?

(3)

Exercice 7

Une usine produit, grâce à des machines, A, B et C qui produisent le même type de pièce. Elles produisent respectivement 20%, 30% et 50% de la production totale. Par ailleurs, on constate que le pourcentage de pièces défectueuses est 5% pour A, 3% pour B et 2% pour C.

Lors d’un tirage d’une pièce dans la production totale on notera les événements : A : « La pièce provient de la machine A », B : « La pièce provient de la machine B », C : « La pièce provient de la machine C », D : « La pièce tirée est défectueuse ».

1°.Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités.

2. On prélève au hasard une pièce dans la production totale. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.

3. On considère une pièce défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine C.

4. À la sortie de la machine A, on prélève un échantillon de 10 pièces. Calculer la probabilité qu’il y ait au maximum une seule pièce défectueuse.

Partie B

Une machine M fabrique un objet assemblant une pièce provenant de A , une pièce provenant de B et une Pièce provenant de C .Elle prend au hasard des pièces dans trois stocks comprenant un grand nombre de pièces .Les différentes pièces sont tirés au hasard et indépendamment les unes des autres

1°. On suppose qu’un objet fabriqué par M a la probabilité : 0,048 d’avoir seulement le défaut a ;

0,028 d’avoir seulement le défaut b ; 0,018 d’avoir seulement le défaut c .

On désigne par X la variable aléatoire qui à tout échantillon des 10 objets pris au hasard et avec remise, à la sortie de la machine M, associe le nombre d’objets de cet échantillon présentant seulement le défaut a . quelle est la loi suivie par X ? préciser les paramètre

2°. Calculer à10^³près la probabilité que dans un tel échantillon , deux objets exactement présentent le seul défaut a

3°. La machine M convenablement réglée rejette toutes les pièces présentant le défaut a ou le défaut b.

Seuls continuent à sortir ceux ne présentant que le défaut c . La probabilité qu’un objet présente alors le seul défaut c est 0,018.

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 objets pris au hasard à la sortie machine M , associe le nombre d’objets présentant le défaut c .

La production étant importante, tout échantillon de 1000 objets est assimilé à un échantillon prélevé avec remise .

a) Quelle est la loi suivie par Y ?

b) On approche la loi de Y par la loi normale . Quelle sont les paramètres de cette loi normale ? c) On désigne par Z une variable aléatoire qui suit cette loi .Déterminer la probabilité que la machine

M fabrique au plus 20 objets présentant le défaut c . ( pour cela , on calculera^{p Z}⁽ ^^20,5) )

(4)

Exercice 1

a) Il y a ^8%des pièces qui présentent le défaut A, soit 80 pièces , ^15%des pièces présentant le défaut A, présentent le défaut B , soit ¹⁵ ^{800 120}

100  pièces

12 pièces présentent simultanément le défaut A et le défaut B.

b) Il y a 9200 pièces qui ne présentent pas le défaut A ^5% de ces pièces , c’est-à-dire ⁵ ^{9200 460} 100  présentent le défaut B .46 pièces présentent le défaut B sans présenter le défaut A.

c) 460 120 580  pièces présentent le défaut B et peut-être le défaut A

d) card A⁽ B⁾card A^{( )}card B^{( )}card A⁽ B) 800 580 120 1260    présentent le défaut A , le défaut B ou les deux défauts . 10000 1260 8740  ne présentent pas ni le défauts A, ni le défaut B

on peut aussi faire des soustractions dans le tableau pour trouver le résultat précédent .

A _A Total

B 120 460 580

B 680 8740 9420

Total 800 9200 10000

Exercice 2

On note C l’événement « un composant est conforme » et Cl’événement contraire . 1°. ^{p C}^{( ) 0,9}^ , p C( ) 0,1

2°. On note Al’événement « un composant est accepté » et _A l’événement contraire . On donne 1

C 11 p A  

  et ^{p AC}

 

^¹

a) ^{p A C}



^



^ ^{p C}

 

^^{p AC}

 

^^0,9^Soit^{p A C}

^

^

^

^₁₀⁹

^{p C}



^^A

  

^^{p C} ^_{p AC}^^ ^^^_{10 11 110}¹ ^ ¹ ^ ¹

  , soit ^{p C}



^^A



^₁₁₀¹

b) les événements ^{A C}^ et CAétant incompatibles : ^{P A}

 

^^{p A C}



^



^ ^{p C}



^^A



^_{10 110 11}⁹ ^ ¹ ^¹⁰

c)

  ^ _{ } ^

¹⁰10⁹ 100⁹⁹ 11 p A C p C A p A

   

Exercice 3

1°.

 

¹²⁰⁰ ^0,6

p S  2000

 

⁸⁰⁰ ^{0, 4}

p M 2000

 

₁ ⁹⁶⁰ ^0,48

p A 2000 2°. ^{p A S}

 

¹ ^^0,32p A

^

1S

^

 p S

^{ }

p A S

 

1 0,6 0,32 0,192 

A

B

B B B

p A B^ = 0,012





= 0,068

= 0,046

= 0,874 p A B

p A B





 0,08

0,92

0,15

0,85

0,05

0,95

B

A

A A A

 p A B^ =...





=...

p A B

p A B p A B





 0,058

0,942

6/29

23/29

34/471

437/471

S

M

A1

A1 A2 0,6 A2

0,4

0,32 0,68 0,72 0,28

(5)

S M Total

A1 384 576 960

A2 816 224 1040

Total 1200 800 2000

Exercice 4 1°.

A B C Total

D 35 60 110 205

D 965 3940 4890 9795

Total 1000 4000 5000 10000

2°. a. On note : A : « la pièce provient de la machine A » B : « la pièce provient de la machine B » C : « la pièce provient de la machine C » D : « la pièce est défectueuse »

On sait que

 

¹⁰⁰⁰ ^{= 0,1}

10000

p A 

 

⁴⁰⁰⁰ ^0,4

10000

p M  

 

₁ ⁵⁰⁰⁰ ^0,5

10000

p A  



^/



¹¹⁰ ^0,022

p D C 5000



^/



³⁵ ^0,035

p D A 1000 et



^/



⁶⁰ ^0,015

p D B  4000 b)p C



D



p C

 

p D C



/



0,5 0,022 0,011 

p A D







 p A

 

p D A



/



0,1 0,035 0,0035  p B



D



 p B

 

p D B



/



0,4 0,015 0,006 

Un composant défectueux est, soit défectueux et provient de A , soit défectueux et provient de B , soit défectueux et provient de C. Les événements



^C^^D



;



^A^^D



et



^B^^D



sont incompatible 2à2.

D’où P D

 

 p D



A



p D



B



 p D



C



0,0035 0,006 0,0011 0,0205  

c)

   

 

^0,0011

/ 0,5366

0,0205 p C D

p C D

p D

   

Exercice 5

Rouge Bleue

M 1125 4500 5625

1375 3000 4375

2500 7500 10000

1° 1

( ) 1125 0,45

R 2500

p  p M   et 2

( ) 4500 0,6

B 7500

p  p M  

2° 56,25 % des cartons qui portent la marque M et ₃ ^{( )} ⁵⁶²⁵ ^0,5625 10000

p  p M   . 3° 4

( ) 1125 0,2

M 5625

p  p R   . Exercice 6

1° ^{( ) 1} ^{( ) 1} ¹ ² p N  p R   3 3

2° ^{( ) 1} ^{( ) 1} ⁴ ⁵ 9 9 p I  p P   

3° ^{p R}^{( )}^^{p R}⁽ ^{ }^I⁾ ^{p R}⁽ ^^P⁾ donc ⁽ ⁾ ^{( )} ⁽ ⁾ ^{1 1} ² 3 9 9 p R I p R p RP   

R N

P 1

9

3 1 9 3 4

9

I 2

9

3 1 9 3 5

9 1

3 2 3

1

R

B

P

P I 1/3 I

2/3

1/3 2/3 1/2

1/2

(6)

4 °^{p I}^{( )}^^{p R}⁽ ^{ }^I⁾ ^{p N}⁽ ^^I⁾ donc ⁽ ⁾ ^{( )} ⁽ ⁾ ^{5 2} ^{3 1} 9 9 9 3 p N I p I  p R    I . ^{( )} ²

p N 3 , ^{( )} ⁵

p I 9et ⁽ ⁾ ¹

p N I 3, donc ^{p N}⁽ ^{ }^I⁾ ^{p N}^{( )}^^{p I}^{( )}et par conséquent les événement ne sont pas indépendants.

5° N^{( )} ⁽ _{( )} ⁾ ^{1/ 3}_{2 / 3 2}¹

p N I p I p N

   

Exercice 7

1° Les machines A, B et C assurent respectivement 20%, 30% et 50% de la production , donc : p(A) = 0,20 ; p(B) = 0,30 ; p(C) = 0,50

Le pourcentage de pièces défectueuses est 5% pour la machine A, 3% pour B et 2% pour C, donc : ( ) 0,05

p DA  p DB^{( ) 0,03} p DC^{( ) 0,02} 2°. On a évidemment : ^D^⁽^D^^A^{) (}^ ^D^^B⁾^⁽^D^^C⁾.

C’est-à-dire que si la pièce est défectueuse, elle provient de A, ou de B ou de C…

Donc, puisque ces 3 événements sont incompatibles : ^{p D}^{( )}^ ^{p D}



⁽ ^^A^{) (}^ ^D^^B^{) (}^ ^D^^C⁾



Donc ^{p D}^{( )}^ ^{p D}⁽ ^^A⁾^^{p D}⁽ ^^B⁾^^{p D}⁽ ^^C⁾. Or on sait que A^{( )} ⁽ _{( )} ⁾

p D A p D p A

  ,

donc : p D⁽ A⁾p DA^{( )}p A^{( )}_. De même, on a : p D⁽ B⁾ p DB^{( )}p B^{( )} etp D⁽ C⁾p DC^{( )}p C^{( )} Donc p D^{( )} p DA^{( )}p A^{( )} p DB^{( )}p B^{( )}p DC^{( )}p C^{( )} .

Soit : p D( ) 0,05 0,20 0,03 0,3 0,02 0,5 0,029       . Donc :^{p D}^{( ) 0,029}^ 3°. On a : D^{( )} ⁽ _{( )} ⁾

p D C p C p D

  Donc : ^{( )} ^{0,02 0,50} ^0,3448 0,029

p CD 

  Finalement : ^{p C}_D^{( ) 0,3448} 4°. Les 10 pièces proviennent de la machine A. Nous savons que dans ce cas, 5% des pièces sont défectueuses. Notons X la variable aléatoire qui compte le nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon. On cherche donc ^{p X}⁽ ^¹⁾, soit ^{p X}⁽ ^{ }¹⁾ ^{p X}⁽ ^⁰⁾^ ^{p X}⁽ ^¹⁾.

Les tirages de chacune des 10 pièces de l’échantillon sont indépendants les uns des autres Donc p(X = 0) = 0,95  0,95  0,95 …  0,95 (10 multiplications)

Car, à chaque fois, il y a 95% de chances que la pièce ne soit pas défectueuse.

Donc p(X = 0) = 0,95 ¹⁰» 0,5987.

Calculons maintenant la probabilité qu’il y a une seule pièce défectueuse dans l’échantillon.

On peut supposer que la première pièce est défectueuse et que les 9 suivantes sont bonnes.

Mais on peut aussi supposer que la pièce défectueuse se trouve en 2^ème position ou en 3^ème position … La probabilité que la première pièce soit défectueuse et les 9 autres soient bonnes est :

0,05  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95.

De même, la probabilité que seule la seconde pièce soit défectueuse est :

0,95  0,05  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95  0,95.

On le voit, le calcul est le même. Autrement dit, puisque la pièce défectueuse peut occuper 10 positions dans l’échantillon : p(X = 1) = 10  0,05  0,95⁹ » 0,3151.

Au total, on a donc : p X⁽  ¹⁾ p X⁽ ⁰⁾p X⁽ 1) 0,5987 0,3151 0,9138  

Les événements ⁽^X ^⁰⁾ et ⁽^X ^¹⁾étant incompatibles , la probabilité qu’un objet au plus présente le défaut a seul est :p X(  1) p X(  0) p X(  1) C10⁰



0,048

 

⁰ 0,952



¹⁰C10¹



0,048

 

¹ 0,952



⁹0,9138.

Il y a donc 91,38% de chances qu’il y ait au maximum 1 pièce défectueuse dans l’échantillon.

Partie B

1°. Le prélèvement de 10 pièces est assimilé à un prélèvement avec remise , les dix tirages successifs Sont donc considérés indépendants . Pour chaque pièce il y a deux possibilités : présenter le défaut a Avec la probabilité 0,048 ou ne pas présenter ce défaut a de probabilité 0,952, donc la variable aléatoire X qui, à chaque lot de 10 pièces , associe le nombre des pièces présentant le seul défaut a suit

la loi binomiale ^B^(10;0,048).

2°. La probabilité que deux objets exactement présentent le défaut a seul est :

(7)

p X( 2)C10²



0,048

 

² 0,952



⁸0,070à 10^³près.

3°. a les tirages sont assimilés à des tirages avec remise , on est donc en présence d’une succession de 1000 pièces indépendants . Pour chaque pièce il y a deux possibilités : présenter le défaut c seulement de probabilité 0,018 ?, soit ne pas présenter le défaut c seul de probabilité 0,982,

la variable aléatoire Y qui, à tout lot de 1000 pièces prélevées au hasard et avec remise , associe le nombre des pièces présentant le seul défaut c seul suit donc la loi binomiale B(1000;0,018).

b. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y par une loi normale

les paramètre sont m E Y ^{( )}np1000 0,018 18  et   ^{( )}Y  npq 18 0,982 4, 20  On note Zla variable aléatoire suivant la loi normale ^N



^{18;4, 2}



, alors la variable aléatoire ^T^ ^{Z m}_^ ^^Z_4,2^¹⁸suit la loi normale centrée réduite ^N

 

^0;1 .

c. ⁽ ²⁰⁾ ⁽ ^20,5) ¹⁸ ^{20,5 18} ^2,5



^0,595

 

^0,595



^0,724

4, 2 4, 2 4,2

p Z  p Z   pZ    p T   p T  

    

fiche d'exercices -probabilités conditionnelles

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

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

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

 

 







  





 









     

 

 

 

 





 

 

 

 

 

















 









 









 

















 













   

 







^{ }

^{ }

^

^

  ^ _{ } ^

^

^

^{ }