Travaux dirigés: Probabilités

(1)

Travaux dirigés:

Probabilités

Enseignante : G. SALAM 2

^ème

semestre, 1

^ère

année

2019-2020

Université Hassan II- FSJES- Mohammedia

02/04/2020 G. SALAM 1

(2)

02/04/2020 G. SALAM 2

Partie 1: analyse combinatoire

Dispositions Permutations

Arrangements: Arrangements sans répétitions Arrangements avec répétitions

Combinaisons: Combinaisons sans répétitions Combinaisons avec répétitions

Partie 2: Calcul de probabilité

Événement/ expérience aléatoire Probabilité

Probabilité conditionnelle/ exclusivité/ indépendance

Partie 3: Notion de variables aléatoires

Le théorème de Bayes

Partie 4: Les lois de probabilité: discrètes et continues

Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale

(3)

Partie 1: analyse combinatoire

Dispositions Permutations

Arrangements: Arrangements sans répétitions Arrangements avec répétitions

Combinaisons: Combinaisons sans répétitions Combinaisons avec répétitions

02/04/2020 G. SALAM 3

(4)

Partie 1: analyse combinatoire 1.Dispositions

Si: (a, b) # (b, a) disposition

ordonnée

Si: (a, b) = (b, a) disposition

non ordonnée

02/04/2020 G. SALAM 4

(5)

2. Permutations

Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire avec n éléments est :

**Pn= n! = n (n - 1) (n - 2) . . . 2 * 1**

Exemple: Le nombre de permutations que l’on peut faire avec trois éléments a, b, c ^est: P 3= 3! = 3 2 1 = 6

Ces 6 permutations sont : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b),et (c, b, a).

02/04/2020 G. SALAM 5

Partie 1: analyse combinatoire

(6)

3. Arrangements

Un arrangement de ‘p’ éléments choisis parmi ‘n’ éléments est une disposition ordonnée.

Arrangement sans répétition

Exemple: Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec

deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est :

Ces 6 arrangements sont : (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), et (c, b)

Arrangement avec répétition Le nombre d’arrangements avec répétitions est :

Exemple: Le nombre d’arrangements avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est :

Ces 9 arrangements sont :

(a, a), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, b), (b, c), (c, b) et (c, c).

02/04/2020 G. SALAM 6

Partie 1: analyse combinatoire

(7)

4. Combinaisons

Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition non ordonnée.

Combinaison sans répétition

Exemple: Le nombre de combinaisons sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments

a, b, c ^{est :}

Ces 3 combinaisons sont : (a, b), (a, c), et (b, c)

Combinaison avec répétition

Le nombre d’arrangements avec répétitions est :

Exemple: Le nombre de combinaisons avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois

éléments a, b, c est :

Ces 6 combinaisons sont : (a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), et (c, c)

02/04/2020 G. SALAM 7

Partie 1: analyse combinatoire

(8)

Exercices partie 1

02/04/2020 G. SALAM 8

(9)

02/04/2020 G. SALAM 9

Exercice 1:

1) Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4?

2) On lance successivement trois dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles ? {Exemple : (121) ,( 641) ,... }

3) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes et 3 chiffres, le premier est différent de zéro. A combien s'élève le nombre de plaques de ce type ? {Ex : CH124 , DE665,…}

4) Combien de mots différents peut-on former à l’aide des 7 lettres distinctes A, B, C, D, E, F, G ?

5) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un canapé?

6) Après les prolongations d'un match de football, donner le nombre de façons de choisir les 5 tireurs de penalties parmi les onze joueurs ?

(10)

02/04/2020 G. SALAM 10

1) Avec les chiffres 1, 2, 3 et 4, on peut composer: 4! = 4*3*2*1 = 24 nombres.

2) Il y a: 6*6*6 = 216 issues possibles.

3)

C

²⁶^{1 *}

C

²⁵^{1 *}

C

⁹¹^*^C¹⁰¹^*^C¹⁰¹

Correction exercice 1:

4) Il y a: 7! = 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1= 5040 mots différents.

(11)

02/04/2020 G. SALAM 11

5) Il y a: 5! = 5 *4*3 *2* 1= 120 possibilités pour asseoir 5 personnes sur un canapé.

6)

A

⁵₁₁⁼

(12)

02/04/2020 G. SALAM 12

Exercice 2:

Avec les chiffres 2, 3,5 , 6, 7, 9 :

1) combien peut-on avoir de nombres de 3 chiffres ? (avec et sans répétition).

2) combien sont inférieurs à 400 ? (avec et sans répétition).

3) combien sont pairs ? (avec et sans répétition) 4) combien sont impairs ? (avec et sans répétition)

5) combien sont multiples de 5 ? (avec et sans répétition)

(13)

02/04/2020 G. SALAM 13

Correction exercice 2:

Avec répétition Sans répétition

1) C⁶^{1 *}C⁶^{1 *} C⁶¹= 216 C⁶^{1 *} C5^{1 *} C4¹= 120

2) C¹^{1 *}C6^{1 *} C6¹= 36 72 C⁵^{1 *} C⁴^1*C¹¹= 20 40 Ou C¹^{1 *}C6^{1 *} C6¹= 36 C5^{1 *} C4^1* C¹¹= 20

3) C⁶^{1 *} C⁶^{1 *}C¹¹= 36 72 C5^{1 *} C4^{1 *} C1¹= 20 40 Ou C⁶^{1 *} C⁶^{1 *}C¹¹= 36 C⁵^{1 *} C4^{1 *} C1¹= 20

4) C6^{1 *} C6^{1 *}C1¹= 36 C5^{1 *} C4^1* C1¹= 20

Ou C6^{1 *} C6^1*C1¹= 36 144 C5^{1 *} C4^1* C1¹= 20 80 Ou C6^{1 *} C6^1*C1¹= 36 C⁵^{1 *} C4^1* C1¹= 20

Ou C6^{1 *} C6^1* C1¹= 36 C⁵^{1 *} C4^1* C1¹= 20 5) Les nombres qui se terminent par 5:

C6^{1 *} C6^{1 *}C1¹= 36 C⁵^{1 *} C4^1*C1¹= 20

(14)

02/04/2020 G. SALAM 14

Exercice 3:

1) On doit envoyer 7 lettres, mais on ne dispose que de 4 timbres. Combien y a-t-il de choix d'envoi possibles?

2) Combien de comités de 3 personnes peut-on former avec 8 personnes ?

3) Combien de comités de 3 hommes et 2 femmes peut-on

former avec 7 hommes et 5 femmes ?

(15)

02/04/2020 G. SALAM 15

Correction exercice 3:

(16)

Exercice 4:

02/04/2020 G. SALAM 16

(17)

02/04/2020 G. SALAM 17

(18)

Exercice 5:

Solution:

02/04/2020 G. SALAM 18

(19)

02/04/2020 G. SALAM 19

Exercice 6.

Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes ; il y a ce jour-là dans l’armoire 5 pantalons dont 2 noirs, 6 tee-shirt dont 4 noirs, 8 paires de chaussettes,

dont 5 paires noires.

1. Combien y-a-t-il de façons de s’habiller ?

2. Quelles sont les probabilités des événements suivants : a) il est tout en noir ;

b) une seule pièce est noire sur les trois.

(20)

02/04/2020 G. SALAM 20

Correction exercice 6:

1)

2) a)

2) b) Soit C2

^{1 *}

C2

^{1 *}

C3

¹

= 12

OU : _C4

_{1 *}

_C

₃_{1 *}

_C

₃₁

_{= 36} ₇₈ OU: C5

^{1 *}

C3

^{1 *}

C2

¹

= 30

Donc: 78/240 = 0,325

(21)

Partie 2:

Calcul de probabilité

1. Événement/ expérience aléatoire 2. Probabilité

3. Probabilité conditionnelle/ exclusivité/

indépendance

02/04/2020 G. SALAM 21

(22)

Partie 2: calcul de probabilité

1. Événement/ expérience aléatoire

Une expérience est dite aléatoire quand on ne peut pas prévoir exactement le résultat, car les facteurs ne sont pas maitrisés.

Un événement aléatoire peut se réaliser ou ne pas se réaliser au cours d’une expérience aléatoire.

Exemple: Le jet du Dé

02/04/2020 G. SALAM 22

(23)

2. Probabilité

Soit l’évènement A.

Avec :

Exemple:

20 boules blanches 15 boules noires 15 boules rouges 10 boules vertes

Une boule blanche

02/04/2020 G. SALAM 23

Partie 2: calcul de probabilité

(24)

3. Notion d’exclusivité :

Deux événements (A et B) sont dits exclusifs ou incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément (en même temps): soit A OU B.

02/04/2020 G. SALAM 24

Partie 2: calcul de probabilité

(25)

4. Probabilité conditionnelle:

La probabilité conditionnelle de réalisation de l’évènement

« A » sachant que l’évènement « B » est déjà réalisé:

Ou:

Donc:

02/04/2020 G. SALAM 25

Partie 2: calcul de probabilité

(26)

5. Indépendance:

Deux événements A et B sont indépendants, la probabilité de réalisation de l’événement «A» ne dépend pas de la réalisation de l’événement « B ».

02/04/2020 G. SALAM 26

Partie 2: calcul de probabilité

(27)

Exercices partie 2

02/04/2020 G. SALAM 27

(28)

Exercice 1:

02/04/2020 G. SALAM 28

20 boules blanches 15 boules noires 15 boules rouges 10 boules vertes

2 boules blanches

3 boules vertes

(29)

02/04/2020 G. SALAM 29

(30)

02/04/2020 G. SALAM 30

(31)

02/04/2020 G. SALAM 31

Exercice 2:

Six verres de couleurs différentes : vert, bleu, rouge, jaune, orange et gris, sont placés sur une étagère. Quelle est la probabilité pour que ces verres soient dans l’ordre suivant : bleu, rouge, vert, gris, orange et jaune?

Solution:

On applique la formule générale de la probabilité qui est : p= Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles Nombre de cas favorable = C

₁^{1 *}

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁¹

= 1

Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de verres = 6! = 720

Donc p= 1/720 = 0,00138

Il y a une chance sur 720 (0,13%) pour trouver les verres dans

l’ordre indiqué.

(32)

02/04/2020 G. SALAM 32

Exercice 3:

Quatre hommes (A, B, C et D) et trois femmes (E, F et G) vont s’asseoir sur un canapé de 7 places.

1. Quelle est la probabilité pour que ces personnes s’assoient selon l’ordre "A,F,G,C,B,D,E« ?

2. Quelle est la probabilité pour que ces personnes

s’assoient selon l’ordre "2 femmes, 2 hommes, 1 femme et

2 hommes"?

(33)

02/04/2020 G. SALAM 33

Solution :

On applique la formule générale de la probabilité qui est : p= Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

1. Nombre de cas favorable = C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^1*

C

₁^{1 *}

C

₁¹

= 1

Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de 7 personnes=7!

Donc p=1/7!= 1/5040

Il y a une chance sur 5040 pour trouver les personnes dans

l’ordre indiqué.

(34)

02/04/2020 G. SALAM 34

2. Nombre de cas favorables = C

₃^{2 *}

C

₄^2*

C

₁^1*

C

₂²

= 18

Les combinaisons C

₃^{2 *}

C

₄^2*

C

₁^1*

C

₂²

donnent les nombres de possibilité de choisir 2 femmes parmi 3, puis 2 hommes parmi 4, ensuite 1 femme parmi la femme qui reste et enfin 2 hommes parmi les 2 hommes qui restent.

Nombre de cas possibles = Nombre de permutations de 7 éléments soit 7! = 5040

Donc p= 18/5040= 1/280

Il y a une chance sur 280 pour trouver les personnes dans

l’ordre indiqué.

(35)

02/04/2020 G. SALAM 35

Exercice 4:

Dans un lot de 80 vaccins, 10 sont périmés. Si on en tire deux au hasard, quelle est la probabilité en % : 1) de tirer 0 vaccin périmé ?

2) de tirer 1 vaccin périmé ?

3) de tirer 2 vaccins périmés ?

(36)

02/04/2020 G. SALAM 36

Solution ^:

(37)

02/04/2020 G. SALAM 37

Solution:

1) Les tirages sont sans remises, les événements A : "tirer un billet de 200 DH"

et O: "tirer un billet de 100 DH" sont donc dépendants. On a donc :

p(d’avoir un billet de 200 DH et un billet de 100 DH)= p(A et O) + p(O et A) p=(nombre de cas favorables)/(Nombre de cas possibles)

p(d’avoir 200 DH et 100 DH)=

[(

3/5) * (2/4

)] + [(

2/5) * (3/4

)] = 3/5 = 0,6

2) p = p [(A et O)= si 1^er tirage = A on la remet. sinon on ne la remet pas]

p = [(

3/5) * (2/5

)] + [(

2/5)* (3/4

)] = 6/25 + 6/20 = 54/100 = 0,54

Un portefeuille comprend 3 billets de 200 DH et 2 billets 100 DH.

1. On tire successivement et sans remise 2 billets. Quelle est la probabilité d’avoir un billet de 200 DH et un autre de 1OO DH?

2. On tire dans le portefeuille un billet et on note sa catégorie. Si c’est 200 DH on le remet dans le portefeuille sinon on ne la remet pas. On effectue un second tirage.

Quelle est la probabilité d’avoir un billet de 200 DH et un autre de 100 DH?

Exercice 5:

(38)

Partie 3: Notion de variables aléatoires

02/04/2020 G. SALAM 38

(39)

02/04/2020 G. SALAM 39

(40)

02/04/2020 G. SALAM 40

Exercice 1 :

On est au réez de chaussée d’un immeuble de 8 étages. Combien de temps penser vous pouvoir attendre, en moyenne, un ascenseur qui ne se trouve pas au réez de chaussée, qui peut se trouver à n’importe quel étage avec la même probabilité et qui met 5 secondes pour passer d’un étage à l’autre, son démarrage et son arrêt sont instantanés. Calculer l’écart type de votre temps d’attente.

Solution :

Si l’ascenseur se trouve au 1^er étage, on doit attendre 5 secondes, s’il est au 2^ème étage, on doit attendre 10 secondes, et ainsi de suite, s’il se trouve au 8^ème étage, on doit attendre 40 secondes.

La probabilité de se trouver à n’importe quel étage est 1/8. Le temps d’attente X est donc une variable aléatoire dont la loi de probabilité est :

(41)

02/04/2020 G. SALAM 41

E(X) = ∑ xp(x) = (5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40) *1/8 = 22,5 secondes

V (X) = E(X²) -E(X)²

E(X²) = ∑x²p(x) = (5² + 10² + 15² + 20² + 25² + 30² + 35² + 40²) *1/8 =

637,5

V (X) = 637, 5 – (22, 5)² = 131,25

 = √ 131,25 = 11,46 secondes

(42)

02/04/2020 G. SALAM 42

Exercice 2 :

Pour vendre un produit, un producteur décide de lancer une campagne publicitaire par insertion de photos dans des journaux spécialisés. Le nombre d’articles vendus après une parution est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante :

Le producteur fait 50 parutions indépendamment les unes

des autres. Soit X le nombre de produits vendus grâce à

cette publicité. Calculer l’espérance et la variance de X.

(43)

02/04/2020 G. SALAM 43

Solution :

Soit Xi la variable aléatoire qui désigne le nombre de produits vendus après une parution. Sa distribution de probabilité est :

(44)

02/04/2020 G. SALAM 44

8500 V(Xi) = 8500 – 60² = 4900

Produits

Produits

(45)

02/04/2020 G. SALAM 45

Exercice 3 :

(46)

02/04/2020 G. SALAM 46

Solution:

0

(47)

02/04/2020 G. SALAM 47

(48)

02/04/2020 G. SALAM 48

(49)

02/04/2020 G. SALAM 49

Le théorème de Bayes

(50)

02/04/2020 G. SALAM 50

(51)

02/04/2020 G. SALAM 51

(52)

02/04/2020 G. SALAM 52

Exercice 1:

Selon le dernier recensement 55% de la population sont analphabètes et 51% de la population sont de sexe féminin.

Parmi les femmes, 68 % sont analphabètes.

Calculer la probabilité d’être : 1. Une femme analphabète.

2. Une femme non analphabète.

3. Une personne est choisie au hasard parmi les

analphabètes, quelle est la probabilité qu’elle soit une

femme ?

(53)

02/04/2020 G. SALAM 53

Solution :

On pose : P(A) probabilité d’être analphabète : P(A) = 0,55 P(F) la probabilité d’être une femme : P(F) = 0,51

P(A=F) probabilité d’être analphabète sachant qu’on est une femme : P(A=F) = 0,68

a) p(être une femme analphabète) : P(F et A) = 0,51 * 0,68 =

0,35

b) p(être une femme non analphabète) : P(F et NA)= 0,51* 0,32 =

0,16

e) p(être une femme sachant qu’on est analphabète) = P(F/A) = p(A et F)

p(A) = 0,35 / 0,55 =

0,63

(54)

Exercice 2:

02/04/2020 G. SALAM 54

(55)

Solutions:

02/04/2020 G. SALAM 55

35% * 35% = 0,1225 = 12,25%

(56)

02/04/2020 G. SALAM 56

Exercice 3

En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou un équivalent), deux sur cinq prennent un médicament « M » présentant des effets secondaires :

Avec l’aspirine, 75% des patients sont soulagés et avec le médicament « M », 90% des patients sont soulagés.

1. Quel est le taux global de personnes soulagées ?

2. Quelle est la probabilité pour un patient d’avoir pris de l’aspirine sachant qu’il est soulagé ?

Solution

(57)

02/04/2020 G. SALAM 57

Exercice 4

Solution

(58)

02/04/2020 G. SALAM 58

Une entreprise utilise 3 machines différentes A,B,C pour fabriquer

des pièces. 40 % sont fabriquées par A, 30 % par B et 30 % par C. La machine A produit 2 % de pièces défectueuses, B 4 % et C 5 %.

1) On prélève une pièce au hasard. Qu’elle est la probabilité qu’elle soit défectueuse. ?

2) On prend une pièce. Elle est défectueuse. Qu’elle est la probabilité qu’elle vienne de A.

3) On prélève une pièce. Elle est saine. Qu’elle est la probabilité qu’elle vienne de C.

Exercice 5

Solution

(59)

02/04/2020 G. SALAM 59

(60)

02/04/2020 G. SALAM 60

Il y a 4% d’absentéisme chez les employés qui travaillent le jour, 8% chez ceux qui travaillent le soir et 22% chez ceux qui travaillent la nuit. Il y a 80% des employés qui travaillent le jour, 10% qui travaillent le soir et 10% qui travaillent la nuit. On choisit un employé, quelle est la probabilité qu’il travaille le jour sachant qu’il était absent du travail.

Exercice 6

Solution

(61)

02/04/2020 G. SALAM 61

=

P(E1 A) P(A)

(62)

02/04/2020 G. SALAM 62

Trois marques A, B et C de biberons se partagent le marché avec des parts respectives de 43 %, 34 % et 23 %. Chaque marque propose des modèles avec tétine simple (S) ou à trois vitesses (V) : 35 % des tétines de la marque A sont simples, ainsi que 25 % de la marque B et 47 % de la marque C.

Un jeune père achète au hasard un biberon. Il constate que ce biberon a une tétine simple.

Quelle est la probabilité qu’il soit de la marque C ?

Exercice 7

Solution

(63)

02/04/2020 G. SALAM 63

Mar ché

43% A

23% C 34% B

35% S

25% S

47% S 65% V

75% V

53% V

(64)

02/04/2020 G. SALAM 64

P(C/S)= P(C S) P(S)

= P(S/C) * P(C)

[P(S/A)P(A)]+[P(S/B)P(B)]+[P(S/C)*P(C)]

= 47%*23%

(35%43)+(25%34%)+(47%*23)

= 0,31

(65)

02/04/2020 G. SALAM 65

Trois machines mettent en bouteille le même sirop.

La machine A fabrique 20 % de la production totale, et 6 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente.

La machine B fabrique 45 % de la production totale et 3 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente.

La machine C fabrique 35 %de la production totale et 2 % des bouteilles produites par la machine sont impropres à la vente.

On prend un flacon de sirop au hasard dans la production.

1. Calculer P(A D); P(B D); P(C D);

2. Calculer P(A/D).

On note :

A : "le flacon provient de la machine A" ; B : "le flacon provient de la machine B" ; C : "le flacon provient de la machine C" ; D : "le flacon est impropre à la vente".

Exercice 8

Solution

(66)

02/04/2020 G. SALAM 66

D’après le texte ;

P(A) = 0; 2 ; P(B) = 0; 45 ; P(C) = 0; 35

P(D=A) = 0; 06 ; P(D=B) = 0; 03 ; P(D=C) = 0; 02 1.

2.

(67)

Partie 4: Les lois de probabilité:

discrètes et continues

Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi de Poisson Loi Normale

02/04/2020 G. SALAM 67

(68)

02/04/2020 G. SALAM 68

Partie 4: lois discrètes

1. Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli intervient dans le cas d’une seule expérience aléatoire à laquelle on associe un événement aléatoire quelconque.

Exemple: (pile ou face)

La probabilité d’une variable X qui suit une loi de Bernoulli est:

(X=pile) = 1 (X=face) = 0

Donc: P(X=1) = P

P(X=0) = 1-P = q

(69)

02/04/2020 G. SALAM 69

1. Loi de Bernoulli

Les caractéristiques de la loi de Bernoulli:

Partie 4: lois discrètes

Exemple:

Nombre

(70)

02/04/2020 G. SALAM 70

Partie 4: lois discrètes

2. Loi Binomiale

La probabilité d’une variable X qui suit une loi Binomiale est:

Avec n: nombre d’expériences

p: probabilité de réalisation de n expériences

(71)

02/04/2020 G. SALAM 71

Les caractéristiques de la loi Binomiale

Partie 4: lois discrètes

2. Loi Binomiale

EXERCICE 1:

Calculer les probabilités de X.

(72)

02/04/2020 _{G. SALAM} ₇₂

= C

¹4

(1/6)

¹

(5/6)

^4-1

= 0,3858

= C

²4

(1/6)

²

(5/6)

^4-2

= 0,1157

= C

³4

(1/6)

³

(5/6)

^4-3

= 0,0154

= C

⁴4

(1/6)

⁴

(5/6)

^4-4

= 0,0008

(73)

02/04/2020 G. SALAM 73

Partie 4: lois discrètes

3. Loi de Poisson

Exemple:

La probabilité d’une variable X qui suit une loi de Poisson est:

(74)

02/04/2020 G. SALAM 74

Les caractéristiques de la loi de Poisson:

Partie 4: lois discrètes

3. Loi de Poisson

EXERCICE 2:

Calculer les probabilités de X= 0, 1, 2, 3, 4,....

~

(75)

02/04/2020 G. SALAM 75

(76)

02/04/2020 G. SALAM 76

1. La loi Normale

Partie 4: lois continues

•La loi normale dépend de deux paramètres m et .

•Une variable aléatoire X qui suit une loi normale de paramètres m et  est désignée par :

•La loi Normale réduite: On appelle variable normale réduite

toute variable aléatoire normale U de paramètres m = 0 et  = 1.

•Toute variable normale X de paramètres m et  peut être

transformée en une variable normale réduite par le changement de variable suivant :

(77)

02/04/2020 G. SALAM 77

Pour lire une valeur f(u) dans la table, il suffit de lire l’intersection entre la ligne correspondante à la valeur de

u

et la colonne correspondante au deuxième chiffre après la virgule de

u

^.

Partie 4: lois continues

Exemple 1:

(78)

02/04/2020 G. SALAM 78

Pour qu’une pièce fabriquée par une machine soit utilisable, sa longueur doit être comprise entre 14,7 et 15,3 cm, sinon elle est rejetée. Sachant que la longueur de cette pièce est une variable normale de paramètres 15 cm et 0,2 cm, quelle proportion de pièces peuvent être rejetées?

EXERCICE 1:

Si on désigne par la variable X la longueur des pièces, X suit une loi normale : X = N(15; 0, 2)

Solution:

La probabilité de rejeter d’une pièce est : p (rejet) = 1 – p (accepter)

p (accepter ) = p (14, 7  X  15, 3) = p (X  15, 3) – p (X  14, 7)

= p (X  15, 3 – 15) _ p (14, 7 – 15) 0, 2 0, 2

= p (X  1, 50) - p (X 

-

^{1, 50)}

= p (X  1, 50) – [1 - p (X  1, 50) ]

= p (X  1, 50) – 1 + p (X  1, 50)

= 2 p (X  1, 50) – 1

(79)

02/04/2020 G. SALAM 79

Donc: p(accepter ) = 2 F (1, 50) – 1

D’après la table de calcul: F(1,50) = 0, 93319

Donc: p(accepter ) = (2* 0, 93319) – 1 = 0, 86638

D’où: p(rejet) = 1 - p(accepter ) = 1 - 0, 86638 = 0, 13362

Chaque pièce a une probabilité de 0,13362 d’être rejetée. (ou

il y a un risque de rejeter 13% des pièces fabriquées.

(80)

02/04/2020 G. SALAM 80

Partie 4: lois continues

La somme de plusieurs lois normales

(81)

02/04/2020 G. SALAM 81

EXERCICE 4 :

120

Solution

(82)

02/04/2020 G. SALAM 82

X  130000 – 120000 6572,67

X

(83)

02/04/2020 G. SALAM 83

Exercices partie 4

(84)

02/04/2020 G. SALAM 84

Exercice 1:

Solution:

(85)

02/04/2020 G. SALAM 85

Exercice 1:

(86)

02/04/2020 G. SALAM 86

Exercice 2:

Solution:

(87)

02/04/2020 G. SALAM 87

Exercice 2:

X ~ B (n,p) = B (20; 0,01)

= 1-p(X<1)= 1- p(X=0)

(88)

02/04/2020 G. SALAM 88

Solution:

Soit X la variable aléatoire qui désigne le stock journalier. L(X) = N(120; 50)

1) Probabilité pour que le nombre de pièces en stock soit compris entre 80 et 160.

=

p (- 0,8  X  0,8) = p (X  0,8) - p (X  - 0,8) = p (X  0,8) - [1 - p (X  0,8) ]

= p (X  0,8) – 1 + p (X  0,8)

= 2 p (X  0,8) – 1

X

Exercice 3

(89)

02/04/2020 G. SALAM 89

En consultant la table de la loi normale réduite on trouve :

F(0, 8) = 0, 7881

Donc:

Il y a 57,62% de chances pour que le nombre de pièces en stock soit compris entre 80 et 160.

2) Probabilité pour que le nombre de pièces en stock soit supérieur à 200.

F

X

(90)

02/04/2020 G. SALAM 90

c) Probabilité pour qu’il y ait une rupture de stock.

Il y a rupture de stock si X  0

F

X ^X

p

(91)

02/04/2020 G. SALAM 91

Solution:

La probabilité pour qu’une boite achetée au marché pèse au moins 9,875 Kg est:

= 1 – p( X < - 1,25)

= 1 – [1 - p( X< 1,25)]

= 1 – 1 + p(X <1,25) = p(X <1,25)

= F (1,25)

Exercice 4

X

(92)

02/04/2020 G. SALAM 92

En consultant la table de la loi normale réduite on trouve : F(1, 25) = 0, 8944

Donc: p (X  9, 875) = 0, 8944

Il y a 89,44% de chances pour qu’une boite achetée au marché pèse au moins de 9,875 Kg.

(93)

02/04/2020 G. SALAM 93

Exercice 5:

Solution:

(94)

02/04/2020 G. SALAM 94

X

Z

Travaux dirigés: Probabilités