Dynamiques en interaction

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Preprint submitted on 29 Aug 2016

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Dynamiques en interaction

Stéphane Dugowson

To cite this version:

Stéphane Dugowson. Dynamiques en interaction : une introduction à la théorie des dynamiques sous- fonctorielles ouvertes. 2016. �hal-01357009v2�

Dynamiques en interaction (une introduction `a la th´eorie des dynamiques sous-fonctorielles ouvertes)

St´ ephane Dugowson

29 aoˆ ut 2016

R´esum´e. La th´eorie des dynamiques sous-fonctorielles ouvertes est une nou- velle th´eorie qui permet de d´efinir des syst`emes dynamiques g´en´eralis´es en interaction, ces interactions produisant de nouvelles dynamiques susceptibles, bien entendu, d’entrer `a leur tour dans d’autres interactions. Une grande par- tie du contenu de cet article se trouve d´ej`a dans les deux textes disponibles en ligne mais non publi´es [6] et [7], et cela a ´et´e partiellement expos´e dans les conf´erences [8] et [9]. Toutefois, il ´etait n´ecessaire de donner une nouvelle pr´esentation, unifi´ee et donc plus commode `a consulter, de ce mat´eriau, et de l’illustrer de quelques exemples. Dans cet article, nous introduisons en outre les notions nouvelles d’interaction normale et d’interaction concr`ete, et nous rempla¸cons les synchronisations<sup>≪</sup>rigides<sup>≫</sup> consid´er´ees jusque l`a, par des syn- chronisations^≪souples^≫, consid´erablement plus g´en´erales. `A noter que ce qui depuis 2011 ´etait appel´e^{1 ≪}dynamiques cat´egoriques^≫ (respectivement ^≪dy- namiques sous-cat´egoriques^≫) sera d´esormais d´esign´e commedynamiques fonc- torielles (respectivementdynamiques sous-fonctorielles).

Mots cl´es. Interaction. Syst`emes ouverts. Dynamiques. Structures connec- tives.

Abstract. Interacting Dynamics (Introduction To The Theory Of Open Sub-Functorial Dynamics)—Thetheory of open sub-functorial dyna- micsis a new theory that defines interacting generalized dynamical systems. The interactions between these dynamics produce new dynamics which, of course, can then enter into other interactions. A major part of this article can already be found in two unpublished texts [6] and [7] and it has been partially exposed in conferences [8] and [9]. However, we need to give a new, unified and therefore more convenient presentation of this material, and we also need some examples to illustrate it. Moreover, we introduce in this article the new concepts of “nor- mal interaction” and “concrete interaction”, and replace the previously used rigid synchronizations by much more general flexible ones.

∗Laboratoire Quartz / Supmeca. Email : [email protected] 1. Voir notamment [2],[3],[6],[7].

Keywords. Interaction. Open Systems. Dynamics. Connectivity structures.

MSC 2010 : 37B99, 37B55, 54H20, 54A05, 18A10.

Introduction

La th´eorie math´ematique que nous pr´esentons ici est de nature syst´emique, en ce qu’elle permet d’´elaborer des syst`emes de syst`emes (etc.) `a partir de trois ingr´edients de base :

— d’abord, ce que nous appelons lesdynamiques sous-fonctorielles ouvertes, pr´esent´ees dans la section section§1, qui constituent une g´en´eralisation consid´erable des syst`emes dynamiques classiques `a la fois parce qu’elles ne sont pas d´eterministes en g´en´eral, parce qu’elles reposent sur une temporalit´e qui n’est pas n´ecessairement lin´eaire et parce qu’elles sont

≪ouvertes^≫ en ce sens qu’elles peuvent entrer,via une param´etrisation, en interaction avec d’autres dynamiques,

— ensuite, lesinteractionsentre dynamiques (section§2.2), qui sont d´efinies comme des relations entre les r´ealisations (les trajectoires) et les pa- ram`etres des dynamiques en jeu,

— enfin, lessynchronisations (section §2.3), o`u la temporalit´e de chaque dynamique en jeu est r´ef´er´ee `a celle d’un chef d’orchestre.

Ces trois ingr´edients permettent de constituer ce que nous appelons des familles interactives (section §2.4). Une telle famille interactive donne alors naissance (section §3) `a de nouvelles dynamiques sous-fonctorielles ouvertes qui sont des sortes de synth`eses de toutes les dynamiques en interaction dans la famille consid´er´ee. La cl´e de voˆute de cet engendrement est leth´eor`eme de stabi- lit´e sous-fonctorielle (th´eor`eme 5, section§3.1) qui affirme que les dynamiques en jeu ´etant sous-fonctorielles, les dynamiques produites le seront encore². Du reste, c’est pr´ecis´ement parce que les dynamiquesfonctorielles ouvertes, dont la d´efinition plus simple nous avait d’abord incit´e `a les prendre comme ingr´edients de base de notre th´eorie de l’interaction, produisent parfois dans leurs interac- tions autre chose que des dynamiques fonctorielles (exemples 12 et 13, section

§3.3) que nous avons dˆu chercher `a ´etablir un cadre plus large que celui des seules dynamiques sous-fonctorielles.

Tout au long de cet article, nous suivrons en particulier l’exemple de la fa- mille interactive que nous appellerons WHY ou, en caract`eres h´ebra¨ıques, והי, d´efinissant d’abord chacune des trois dynamiques en jeu dans cette famille (sec- tions§1.5.1,§1.5.2et §1.5.3), puis la famille interactive elle-mˆeme (section

§2.4.3) et enfin les dynamiques engendr´ees par cette famille, en particulier celle que nous notonsSou par la lettre h´ebra¨ıqueshin,ש((section§3.3.2). Cet exemple nous a ´et´e inspir´e par la th´eorie du philosophe Pierre-Michel Klein sur ce qu’il appelle lam´etachronologie [11].

Nous commen¸cons par pr´eciser nos notations et faire quelques rappels. Dans la version actuelle, il y a une table des mati`eres `a la fin du texte.

2. Le sens du motstabilit´edans l’expression^≪th´eor`eme de stabilit´e sous-fonctorielle<sup>≫</sup> n’a donc rien `a voir avec celui qu’il a dans l’expression^≪stabilit´e des syst`emes dynamiques^≫. Nous l’employons ici uniquement pour souligner la stabilit´econceptuelle de la notion mˆeme de dynamique sous-fonctorielle.

0.1 Notations et rappels

0.1.1 R´eels et intervalles

— R d´esigne l’ensemble des r´eels,R+ d´esigne l’ensemble des r´eels positifs ou nuls,R^∗₊ l’ensemble des r´eels strictement positifs,R+=[0,+∞], etc.

— I^R d´esigne l’ensemble des intervalles ouverts deR,

— pour toute partieA⊂R, on notera ˚A ou int(A) l’int´erieur de A, et A son adh´erence,

— pour tout(a, b)∈R², on pose]a, b[={t∈R, a<t<b}. 0.1.2 Classes de fonctions num´eriques

— Pour tout intervalleI⊂R(non n´ecessairement ouvert), nous posons C(I)={f ∶I→R, fest continue surI},

et, plus g´en´eralement, pour toutk∈N∪ {+∞},

C^k(I)={f ∶I→R, fest de classeC^ksurI}.

Remarque 1. Pour toutk∈N∪ {+∞}, l’ensembleC^k(∅)est un singleton, dont l’unique ´el´ement, qui sera ´egalement not´e∅, est l’inclusion canonique∅ ∶ ∅↪R.

En particulier,

b≤a⇒C^k(]a, b[)={∅}≠∅. Nous posons en outre

— C=⋃^I∈IRC(I),

— C^k=⋃I∈I^RC^k(I),

— C⊳^k=⋃r∈]0,+∞]C^k(] − ∞, r[). Remarque 2. ∅∉C^k⊳.

Pour tout intervalleK⊂R, ouvert ou non, on noteLip¹(K)l’ensemble de toutes les fonctions d´efinies et 1-lipschitziennes surK. On pose

Lip¹= ⋃

I∈IR

Lip¹(I).

Pour toutc∈R+=[0,+∞], on note

Lip¹([0, c∣)=Lip¹([0, c]) ∪Lip¹([0, c[).

En particulier, pourc=+∞, on a Lip¹([0,+∞∣)=Lip¹([0,+∞[), et pourc=0 on a Lip¹([0,0∣)≃R∪ {∅}. On pose en outre

Lip¹₊= ⋃

c∈R₊

Lip¹([0, c∣), et (Lip¹₊)^∗=Lip¹₊∖ {∅}.

0.1.3 Cat´egories et graphes

Dans tout l’article, C d´esigne une petite cat´egorie. En outre, si E d´esigne une cat´egorie quelconque,

— la classe des objets deEest not´eeE,9

— la classe des fl`eches deEest not´eeÐ→ E,

— pour tout objetA deE,IdA d´esigne le morphisme identit´e,

— le graphe associ´e `a E enoubliant la composition des fl`eches sera not´e³

∣E∣,

— pour toute fl`echee∶A→BdeE, et plus g´en´eralement pour toute arˆetee d’un graphe,dom(e)d´esigne sa source (ou domaine)A, etcod(e)d´esigne son but (ou codomaine)B,

— un couple de fl`eches(g, f)∈Ð→

E²est dit composable sidom(g)=cod(f). 0.1.4 Cat´egorie vide

La cat´egorie vide, qui n’a pas de fl`eche, sera not´e∅ou0.

0.1.5 Mono¨ıdes

Un mono¨ıde est une cat´egorie ayant un unique objet, que nous noterons g´en´eralement●. Par exemple, ^≪la cat´egorie C= R+^≫ d´esigne la cat´egorieC d´efinie parC9 ={●}et Ð→

C=(R+,+).

En particulier, j’appelle cat´egorie ponctuelle, et je note 1 ou {●}, la plus petite cat´egorie non vide, dont l’unique objet sera not´e●et l’unique fl`eche0.

0.1.6 Cat´egorie des ensembles

La cat´egorie des ensembles est not´eeSets. Ses fl`eches sont lesapplications.

Pour tout ensemble E, PE d´esigne l’ensemble des parties de E, et P^∗E l’ensemble des parties non vides de E. L’union disjointe de deux ensembles U et V est not´eeU⊔V. SiU etV sont disjoints, on prendU⊔V =U∪V. 0.1.7 Transitions

Pour les transitions, nous reprenons les notations et les notions de [2], [3], [6] et [7]. En particulier :

— une transition f ∶A↝B d’un ensemble Adans un ensemble B est une application f ∶ A → PB, o`u PB d´esigne l’ensemble des parties de B; ainsi, pour touta∈A, on af(a)⊂B,

— Pd´esigne la cat´egorie dont les objets sont les ensembles et dont les fl`eches sont les transitions, dont la composition est not´ee⊙,

— les transitions de A dans B s’identifient trivialement aux relations bi- naires⁴deAversB, de sorte que la cat´egoriePco¨ıncide avec la cat´egorie usuellement d´esign´ee comme^≪cat´egorie des relations^≫,

— pour tout ensemble non videM,PÐ^M→ d´esigne la cat´egorie dont les objets sont les ensembles et dont les fl`eches sont les familles index´ees parM de transitions,

3. Alors que dans [6], il ´etait not´eGr(E).

4. Sur les relations binaires, voir aussi les rappels et notations de la section§0.1.8.

— la composition des fl`eches dansPÐ^M→ est encore not´ee⊙,

— siS etT sont deux ensembles etu∶S↝T etv∶S↝T deux transitions, nous ´ecrironsu⊂v pour exprimer le fait que∀a∈S, u(a)⊂v(a), Remarque 3. Une transition f ∶ A ↝ B qui v´erifiecard(f(a)) = 1 pour tout a∈Aest dited´eterministe et s’identifie trivialement `a une application que nous noterons encore f ∶ A→ B. Ainsi, dans ce cas, f(a) d´esignera en g´en´eral un

´el´ement deB, bien que selon le contexte cela puisse aussi d´esigner un singleton inclus dans B. En particulier, l’application identit´e Id_A ∶ A → A d´efinit une transitionA↝Aque nous noterons encoreId_Ad`es lors que le contexte permet- tra de comprendre que, pour tout a∈A, l’´ecritureId_A(a)devra ˆetre comprise comme d´esignant le singleton

IdA(a)={a}.

Remarque 4. Le motfonction est r´eserv´e aux applicationspartielles : une fonc- tiong∶A→B est d´efinie sur sondomaine de d´efinition Dg⊂A, sa restriction g_∣Dg `a ce domaine ´etant une application A ⊃ Dg → B. On peut aussi la voir comme une transitiong∶A↝B v´erifiant :∀a∈A, card(g(a))≤1. Comme pour les applications⁵, l’´ecritureg(a)d´esignera en g´en´eral dans ce cas, du moins si a∈Dg, un ´el´ement deB (tandis que sia∉Dg, on aurag(a)=∅). Les fonctions sont ´egalement appel´eestransitions quasi-d´eterministes.

0.1.8 Relations binaires, applications, fonctions

Une relation binaireR d’un ensemble S vers un ensembleL est un triplet (S, L,∣R∣), o`u ∣R∣⊂ S×L est le graphe deR, graphe que d’ailleurs nous nous autoriserons parfois `a noter lui-mˆemeR. Pour touts∈S, nous notons

R(s)={l∈L,(s, l)∈∣R∣}, et, pour toutl∈L,

R⁻¹(l)={s∈S,(s, l)∈∣R∣}.

L’image Im(R)est l’ensemble d´efini parIm(R)=⋃s∈SR(s), et le domaine de d´efinition D_R est d´efini parD_R= {s∈ S, R(s)≠∅}. L’ensemble des relations binaires deS versLsera not´eB(S,L).

Conform´ement aux remarques 3 et 4, une fonction f de S vers L est une relation binaire f deS vers L telle que pour tout s∈ S on a card(R(s))≤1, tandis qu’une application f de S vers L est une fonction dont le domaine de d´efinition estS.

0.1.9 Relations multiples

Unerelation multiple⁶ R d’indexI et de contexteE =(E_i)i∈I est un triplet (I,E,∣R∣)avec∣R∣⊂ΠIE, le graphe deR, o`u l’on pose

ΠIE=∏

i∈I

E_i.

5. Voir la remarque 3.

6. Voir [6], section§1.1.

Comme pour les relations binaires, on d´esignera parfois de la mˆeme fa¸con une relation multiple et son graphe.

La classe des relations multiples de contexteEest not´eeRE. Plus largement, la classe des relations multiples d’index I est not´ee R^I. En particulier, pour I=2={0,1}, on retrouve les relations binaires.

0.1.10 Relations binaires multiples

Unerelation binaire multiple⁷Rd’indexI, de contexte d’entr´eeA=(A_i)i∈I

et de contexte de sortie B=(Bi)i∈I est un quadruplet (I,A,B,∣R∣), avec∣R∣⊂ ΠIE o`uE=(Ei=Ai×Bi)i∈I est parfois appel´e lecontexte global deR. La classe des relations binaires multiples de contexte d’entr´eeAet de contexte de sortieB est not´eeBM(A,B), et celle des relations binaires multiplesnon vides de mˆemes contextes sera not´eeBM^∗_(A,B). Plus largement, la classe de toutes les relations binaires multiples d’indexI est not´eeBMI.

Reprenons les op´erateurs de^≪transtypage^≫ des relations binaires multiples rd, rm et rb d´efinis dans [6], section §1.2.2. Notant 2I = I× {0,1}, nous d´efinissons un isomorphismerd∶ BMI≃ R2I en posant

BMI∋(I,A,B,∣R∣)=R↦rd(R)=(2I,D, rd_E(∣R∣))∈R2I, avec

— D=(D_k)k∈2I, o`u pour touti∈I,D_(i,0)=A_i et D_(i,1)=B_i,

— rd_E(∣R∣) = {rd_E(u), u ∈ ∣R∣}, avec, pour tout u = ((a_i, b_i))i∈I ∈ ΠIE, rd_E(u)=(dk)k∈2I, o`ud_(i,0)=ai etd_(i,1)=bi.

L’injectionrm∶ BMI ↪RI est d´efinie par

BMI ∋(I,(Ai)^i∈I,(Bi)^i∈I,∣R∣)=R↦rm(R)=(I,(Ai×Bi)^i∈I,∣R∣)∈ RI, et l’injectionrb∶ BMI ↪R2par

BMI∋(I,A,B,∣R∣)=R↦rb(R)=(ΠIA,ΠIB,∣rb(R)∣)∈B(ΠIA,ΠIB), o`u le graphe∣rb(R)∣est donn´e par un r´earrangement ´evident des composantes des ´el´ements de∣R∣.

1 Dynamiques sous-fonctorielles ouvertes

1.1 Multi-dynamiques sous-fonctorielles

1.1.1 D´efinition des multi-dynamiques sous-fonctorielles On se donne une petite cat´egorieC, et un ensemble non videM.

D´efinition 1. Une multi-dynamique sous-fonctorielle αde moteur Cet d’en- semble param´etriqueM consiste en la donn´ee

— d’une application qui `a tout objetS∈C9 associe un ensembleS^α, de telle sorte queS≠T ⇒S^α∩T^α=∅,

7. Voir [6], section§1.2.

— d’une application qui `a toute fl`eche(S→^f T)∈Ð→

C associe une famille de transitions f^α = (f_µ^α ∶S^α↝ T^α)µ∈M index´ee par M de telle sorte que pour toutS∈C9 on ait⁸

∀µ∈M,(IdS)^αµ ⊂IdS^α

et pour tout couple(g, f)de fl`eches composables deC, on ait

∀µ∈M,(g○f)^αµ⊂g_µ^α⊙f_µ^α.

Nous ´ecrironsα∶C⇁PÐ^M→pour indiquer queαest une telle multi-dynamique sous-fonctorielle. L’´ecriture f^α ∶ S^α ↝↝M T^α signifiera que f^α est la famille index´ee parM de transitions deS^αdansT^αassoci´ee `af parα. Nous pouvons ainsi ´ecrire :

α∶ C ⇁ PÐ^M→

(S→^f T) z→ f^α∶S^α↝↝M T^α (1) Ensemble des ´etats. Not´est(α),l’ensemble des ´etatsde la dynamiqueαest d´efini par l’union (disjointe)

st(α)= ⋃

S∈C9

S^α.

Pour tout ´etats∈st(α), nous noteronstyp(s)son type, autrement l’unique sommetS∈C9 tel ques∈S^α. Autrement dit, le type d’un ´etat de la dynamique αest caract´eris´e par la relation

s∈(typ(s))^α.

Etats´ ^≪hors-jeu^≫. Un ´etats∈S^α⊂st(α)est dithors-jeu pour le param`etre µ∈M si(IdS)<sup>α</sup>µ(s)=∅. Un ´etat hors-jeu pour toutes les valeurs du param`etre sera bien entendu simplement dit hors-jeu. Un ´etat qui n’est pas hors-jeu sera dit dans le jeu. Cette notion jouera un rˆole crucial pour les ^≪dynamiques in- temporelles^≫, c’est-`a-dire celles de moteurC=1(voir l’exemple 7).

Mono-dynamiques. SiM est r´eduit `a un singleton,αest appel´ee unemono- dynamique sous-fonctorielle, ou simplement unedynamique (sous-fonctorielle).

1.1.2 Multi-dynamiques graphiques

Etant donn´e un graphe´ G, constitu´e d’un ensemble G9 de sommets d’un ensembleÐ→

Gd’arˆetes dont chacune admet une source et un but parmi les som- mets, et ´etant donn´e un ensemble non vide M, on d´efinit — conform´ement

`a la d´efinition 12 donn´ee dans [6] — une multi-dynamique graphique α de moteur G et d’ensemble param´etriqueM comme un morphisme de graphes⁹ α∶GÐ→∣PÐ^M→∣. Comme dans la d´efinition 1, nous demanderons en outre que, pour tous sommetsSetTdeG, soit satisfaite la conditionS≠T⇒S^α∩T^α=∅. Autrement dit, une telle multi-dynamique graphique est constitu´ee par la donn´ee

8. Sur la signification de l’expressionIdS^α, voir la remarque 3 (page 5).

9. Pour la notation∣C∣, voir les rappels de la section§0.1.3.

— d’une application qui `a tout sommetS∈G9 associe un ensembleS^α(avec S≠T⇒S^α∩T^α=∅),

— d’une application qui `a toute arˆete (S →^f T)∈Ð→

G associe une famille de transitions(f^α∶S^α↝↝M T^α)=(f_µ^α∶S^α↝T^α)µ∈M index´ee parM. Remarque 5. SoitBune petite cat´egorie, etM un ensemble non vide. `A toute multi-dynamique sous-fonctorielleβde moteurBon associe canoniquement, par oubli des propri´et´es sous-fonctorielles, une multi-dynamique graphique not´ee encoreβ(ou, si l’on veut ´eviter toute ambigu¨ıt´e,∣β∣) et de moteur le graphe∣B∣. Inversement, il est imm´ediat qu’une multi-dynamique graphique

β∶ ∣B∣Ð→∣PÐ^M→∣ est sous-fonctorielle, et peut d`es lors s’´ecrire

β∶B⇁PÐ^M→,

si et seulement si elle v´erifie les deux conditions suivantes :

— pour toutS∈B,9

∀µ∈M,(IdS)^βµ⊂Id_S^β

— pour tout couple(g, f)de fl`eches composables deB,

∀µ∈M,(g○f)^βµ⊂g_µ^β⊙f_µ^β.

Nous aurions d’ailleurs pu d´efinir de cette mani`ere les multi-dynamiques sous- fonctorielles, ce qui aurait ´et´e en accord avec la fa¸con dont les d´efinitions^≪sous- cat´egoriques^≫ donn´ees dans [7] s’appuient sur les d´efinitions graphiques figurant dans [6].

1.1.3 Multi-dynamorphismes

La cat´egorie des multi-dynamiques sous-fonctorielles a pour objets toutes les multi-dynamiques sous-fonctoriellesα∶C⇁PÐ→^L, o`u C d´ecrit la classe des pe- tites cat´egories etLcelle des ensembles, et pour fl`eches les multi-dynamorphismes d´efinis de la fa¸con suivante.

D´efinition 2. Etant donn´ees´ α ∶ C ⇁ PÐ→^L et β ∶ D ⇁ PÐ^M→ deux multi- dynamiques, unmulti-dynamorphisme(θ,∆, δ)deαversβconsiste en la donn´ee

— d’une applicationθ∶L→M,

— d’un foncteur ∆∶C→D,

— d’une famille de transitionsδ=(δ_S ∶S^α↝(∆S)^β)_S∈C9,

tels que, pour tout λ∈ L, (∆, δ) d´efinit un mono-dynamorphisme de α_λ vers β_θ(λ), ce qui signifie que pour toutλ∈L, tousS etT dansC9 et tout (e∶S→ T)∈Ð→

C, on a

δT⊙e^α_λ⊂(∆e)^β_θ(λ)⊙δS.

Remarque 6. En pratique, la famille(δ_S∶S^α↝(∆S)^β)_S∈C9 sera identifi´ee `a la transition δ∶st(α)↝st(β)d´efinie pour touts∈st(α)parδ(s)=δ_typ(s)(s), et la propri´et´e ci-dessus reliantδ, ∆ etθsera simplement ´ecrite

δ⊙e^α_λ⊂(∆e)^β_θ(λ)⊙δ.

C-multi-dynamorphismes. Par convention, et sauf mention contraire, lorsque les deux dynamiques αet β ont le mˆeme moteur C, on appelle C-multi-dyna- morphismedeαversβtout multi-dynamorphisme pour lequel, dans la d´efinition ci-dessus, on a ∆=Id^C.

En pratique, les multi-dynamorphismes seront simplement appel´es des dy- namorphismes.

1.1.4 Quotient param´etrique

Proposition 1. Soit α∶ C ⇁ PÐ^M→ une multi-dynamique sous-fonctorielle de moteur C et d’ensemble param´etrique M, et ∼ une relation d’´equivalence sur M. Et soit β la multi-dynamique graphique de moteur ∣C∣ et d’ensemble pa- ram´etriqueM̃=M/∼d´efinie par

— ∀S∈∣C∣,S^β=S^α,

— ∀(e∶S→T)∈Ð→

C,∀λ∈M̃,∀a∈S^β, e^β_λ(a)= ⋃

µ∈λ

e^α_µ(a).

Alorsβ est une multi-dynamique sous-fonctorielle.

Preuve. Il suffit de v´erifier que pour toutλ∈M̃la dynamique graphique βλ

est sous-fonctorielle surC. Cela r´esulte du fait queβλ est l’union d’une famille de dynamiques sous-fonctorielles sur C, une telle union ´etant sous-fonctorielle d’apr`es la proposition 2, section§2.1.7de [7].

◻ D´efinition 3. La multi-dynamique sous-fonctorielleβ d´efinie dans la proposi- tion 1 est appel´eequotient (param´etrique) de αpar∼et on la noteα/∼.

1.1.5 Multi-dynamiques (quasi-)d´eterministes

D´efinition 4. Soit α ∶ C ⇁ PÐ^M→ une multi-dynamique sous-fonctorielle. Si, pourtoutevaleur param´etriqueµ∈M et toute fl`echee∈Ð→

C, la transitione^α_µ est d´eterministe¹⁰(respectivement quasi-d´eterministe¹¹) la multi-dynamiqueαest dited´eterministe (respectivementquasi-d´eterministe). En outre,αest dite

— bien quasi-d´eterministesi elle est quasi-d´eterministe mais n’est pas d´etermi- niste,

— pluraliste si elle n’est pas quasi-d´eterministe.

Bien entendu, toute multi-dynamique sous-fonctorielle d´eterministe est quasi- d´eterministe.

1.1.6 Multi-dynamiques fonctorielles

D´efinition 5. Unemulti-dynamique fonctorielle αde moteur la petite cat´egorie Cet d’ensemble param´etriqueM est un foncteurα∶C→PÐ^M→, v´erifiant en outre

∀(S, T)∈C9², S ≠T ⇒S^α∩T^α=∅.

10. Autrement dit sie^α_µest une application ; voir la remarque 3.

11. Autrement dit sie^α_µest une fonction ; voir la remarque 4.

De fa¸con ´equivalente, une multi-dynamique fonctorielle est une multi-dynamique sous-fonctorielleαv´erifiant en outre les deux relations

(Id_A)^α=Id_A^α

et (f○e)^α=f^α⊙e^α,

pour tous choix deA∈C9 et (f, e)fl`eches composables deC.

Remarque 7. La d´efinition ci-dessus ´equivaut `a celle d’une “multi-dynamique cat´egorique propre” donn´ee dans [2] et [3]. On fera toutefois attention au fait que le qualificatifpropren’y a pas la mˆeme signification que dans les textes ult´erieurs [6] et [7] : dans les premiers, il se rapporte aux dynamiques fonctoriellesαpour lesquellesS≠T ⇒S<sup>α</sup>∩T<sup>α</sup>=∅, condition `a pr´esent automatiquement satisfaite, tandis qu’il se rapporte dans [6] et [7] aux dynamiques sous-fonctorielles qui v´erifient l’´egalit´e(IdA)^α=IdA^α.

Dynamorphismes. Ils sont d´efinis comme dans le cas sous-fonctoriel. Aussi, les dynamorphismes entre deux multi-dynamiques fonctorielles sont les dyna- morphismes entre les deux multi-dynamiques sous-fonctorielles sous-jacentes.

Par cons´equent, les premi`eres constituent une sous-cat´egorie pleine de celle form´ee par les secondes.

1.1.7 Mono-dynamiques fonctorielles

La notion de^≪dynamique cat´egorique^≫ d´evelopp´ee dans [2] et [3], o`u une dizaine d’exemples de ce type de dynamiques est donn´ee, co¨ıncide avec celle de mono-dynamique fonctorielle. Ces dynamiques, non n´ecessairement d´eterministes, constituent donc une sous-cat´egorie de celle des multi-dynamiques sous-foncto- rielles.

1.1.8 Horloges

Proposition 2. Une dynamique sous-fonctorielle d´eterministe est n´ecessairement fonctorielle.

Preuve. Siαest d´eterministe, les deux membres des inclusions de la forme (g○f)^α(a)⊂(g^α⊙f^α)(a)

sont des singletons, il y a donc ´egalit´e.

◻ D´efinition 6. Une horloge hde moteur la petite cat´egorieC est un foncteur (covariant)

h∶C→Sets

satisfaisant en outre `a la condition de distinction des ´etats

∀(S, T)∈C9², S≠T⇒S^h∩T^h=∅, o`u comme d’habitude nous posonsS^h=h(S).

Autrement dit, une horloge est une mono-dynamique fonctorielle d´eterministe surC.

Exemple 1 (Horloge essentielle, horloge existentielle). Dans [2] et [3] (sections

§3.4.3et §3.5.2), nous associons fonctoriellement `a toute petite cat´egorieC deux horloges particuli`eres, appel´ees respectivement l’horloge essentielle ζC et l’horloge existentielleξCdeC. Rappelons que cette derni`ere est laC-dynamique d´eterministeξ=ξC telle que pour toutT ∈ C, on a9 T^ξ ={→T}, et pour tout (f∶S→T)∈Ð→

C et touta∈S^ξ, on af^ξ(a)={f○a}, o`u{→S}d´esigne la classe des fl`eches de butSdans la cat´egorie consid´er´ee,S d´esignant un objet de ladite cat´egorie.

Exemple 2. Pour C = R+, et t0 ∈ R∪ {−∞}, l’ensemble des ´etats ]t0,+∞[

muni de l’action h deR+ d´efinie pour tout d∈ R+ et tout t >t0 par d^h(t)= t+d constitue l’ensemble des instants d’une horloge. De mˆeme, pour t0 ∈ R, l’ensemble des ´etats[t0,+∞[muni de l’actionhd´efinie comme ci-dessus est une horloge, l’horloge existentielleξR₊ correspondant au cas o`ut0=0.

Topos des horloges de moteur C. En prenant pour fl`eches entre horloges de mˆeme moteur C les transformations naturelles, on d´efinit une cat´egorie

´equivalente `a Sets<sup>C</sup>, topos des pr´efaisceaux d’ensembles sur C<sup>op</sup>. En effet, on construit facilement une telle ´equivalence en associant canoniquement `a tout foncteur C→ Sets un foncteur ´equivalent mais satisfaisant la contrainte

∀(S, T)∈C9², S ≠T ⇒S^α∩T^α=∅.

Cela dit, les transformations naturelles entre horloges de moteurCsont des C-dynamorphismes particuliers entre ces horloges vues comme multi-dynamiques,

`a savoir desdynamorphismes d´eterministes, et il y a en g´en´eral d’autresdyna- morphismes entre horloges que les seuls d´eterministes.

Cat´egorie des horloges. On d´efinit lacat´egorie des horlogesen prenant pour objets toutes les horloges (pour tous les moteurs possibles), et pour fl`eches entre deux horlogesh∶ C→ Sets et k∶ D→ Sets tous les dynamorphismesquasi- d´eterministes (∆, δ) ∶ h ↬ k. Autrement dit, conform´ement `a la remarque 4 (page 5) et `a la d´efinition 2 (page 8), une telle fl`eche consiste en un couple (∆, δ), avec pour ∆ un foncteur C → D et pour δ une famille de transitions quasi-d´eterministes(δA∶A^h↝A^k)A∈C9 v´erifiant la condition suivante

∀(A→^e B)∈Ð→

C, δB⊙e^h⊂(∆e)^k⊙δA.

Conform´ement `a la remarque 6 (page 8), la transitionδA sera simplement not´eeδ, de sorte que, pour toute fl`echee∈Ð→

C, la relation que doivent satisfaire ces transitions s’´ecrit :δ⊙e^h⊂(∆e)^k⊙δ.

Dans le cas d’un dynamorphisme d´eterministe, autrement dit lorsqueδest une application, cette derni`ere condition s’´ecrit plus simplement

δ○e^h=(∆e)^k○δ. (2)

Par ailleurs, lorsque D = C, on ajoute `a la d´efinition de la cat´egorie des horloges la condition ∆=IdCpour d´efinir les fl`eches de lacat´egorie des horloges de moteur C. En se restreignant de plus aux dynamorphismes d´eterministes, nous retrouvons les fl`eches du topos des horloges de moteurC.

Instants et ant´eriorit´e. Les ´etats d’une horlogehsont appel´es sesinstants.

Une relation de pr´e-ordre, appel´eeant´eriorit´e, est ainsi d´efinie entre les instants d’une horlogeh:sest ant´erieur `at, ce que l’on notes≤^ht, si et seulement si

∃e∈Ð→

C, e^h(s)=t.

1.2 Dynamiques sous-fonctorielles ouvertes

1.2.1 D´efinition

D´efinition 7. Unedynamique sous-fonctorielle ouverte A de moteurCest la donn´ee

A=((α∶C⇁PÐ^M→)↬ (^τ h∶C→P))

— d’un ensemble non videM,

— d’uneC-multi-dynamique sous-fonctorielleα∶C⇁PÐ^M→,

— d’uneC-horlogeh,

— d’unC-multi-dynamorphismed´eterministe

τ∶ (α∶C⇁PÐ^M→) ↬ (h∶C→P).

La dynamiqueAsera parfois d´esign´ee par sa partie multi-dynamiqueα. En particulier, les ´etats deA sont d´efinis comme ceux deα, et l’on ´ecrirast(A)= st(α). Le dynamorphismeτ est appel´e lascansion ou la datation deA.

Une telle dynamique sous-fonctorielle ouverte est ditefonctorielle si αest une multi-dynamique fonctorielle.

1.2.2 Dynamorphismes entre dynamiques sous-fonctorielles ouvertes Conform´ement `a [7], section §2.4.2, nous d´efinissons ainsi les dynamor- phismes entre dynamiques sous-fonctorielles ouvertes :

D´efinition 8. On appelle dynamorphisme d’une dynamique sous-fonctorielle ouverte

A=(ρ∶ (α∶C⇁PÐ→^L) ↬ (h∶C→P)) vers une dynamique sous-fonctorielle ouverte

B=(τ∶ (β∶D⇁PÐ^M→) ↬ (k∶D→P)) la donn´ee d’un quadruplet(θ,∆, δ, d)tel que

1. (θ,∆, δ)est un multi-dynamorphisme sous-fonctoriel deαversβ, 2. (∆, d)est un dynamorphisme dehversk,

3. pour tout S ∈ C, la condition suivante de synchronisation entre9 ρ et τ est satisfaite :

τ∆_S⊙δS⊂dS⊙ρS.

Conform´ement `a la d´efinition 16 de [6], ´etant donn´e un dynamorphisme (θ,∆, δ, d), on appellera

— θsa partie param´etrique,

— ∆ sapartie fonctorielle,

— δsa partie transitionnelle,

— etdsa partie horloge.

En prenant pour fl`eches les dynamorphismes, la classe des dynamiques sous- fonctorielles ouvertes constitue une cat´egorie not´eeDySCOdans [7].

1.3 R´ ealisations d’une dynamique sous-fonctorielle ouverte

1.3.1 D´efinitions

D´efinition 9. Etant donn´ee´

A=(τ∶ (α=(αλ)λ∈L∶C⇁PÐ→^L) ↬ (h∶C→P))

uneC-dynamique ouverte, uner´ealisationadeAconsiste en unC-dynamorphisme quasi-d´eterministea∶h↬Atel que τ⊙a⊂Idh.

On v´erifie facilement¹² qu’une telle r´ealisationsdeAconsiste en un couple s=(λ,a)constitu´e d’une valeurλ∈Let d’une fonctiona∶st(h)⇢st(α)d´efinie sur une partieDa⊂st(h)et qui v´erifie les propri´et´es suivantes :

∀t∈Da, τ(a(t))=t,

∀S∈C,9 ∀t∈S^h∩Da,a(t)∈S^α,

∀(S→^f T)∈Ð→

C,∀t∈S^h,(f^h(t)∈Da⇒(t∈Daeta(f^h(t))∈f_λ^α(a(t)))). Remarque 8. La caract´erisation donn´ee ci-dessus explicite en particulier le fait que si une r´ealisationa deAest d´efinie `a un instants, alors elle est ´egalement d´efinie `a tout instant ant´erieurt≤s, puisqu’il existe alorsf ∈Ð→

Ctel ques=f^h(t). Le param`etreλest appel´e lapartie interne ouparam´etriquede la r´ealisation (λ,a)de A, tandis quea est la partie externe de cette r´ealisation. Dans le cas o`u A est une mono-dynamique ouverte, autrement dit si L est un singleton, une r´ealisation s’identifie `a sa partie externe puisque la partie param´etrique est n´ecessairement ´egale `a l’unique ´el´ement deL.

Nous notonsSA l’ensemble des parties externes des r´ealisations de la dyna- mique sous-fonctorielle ouverteA, et S(A,λ) ouSAλ l’ensemble des r´ealisations de la mono-dynamique ouverteA_λ=(τ∶ (α_λ∶C⇁P) ↬ (h∶C→P)), de sorte que

SA= ⋃

λ∈L

SAλ, cette union n’´etant pas en g´en´eral disjointe.

Remarque 9. Souvent, et sans que cela ne porte `a cons´equence, nous parlerons de la r´ealisation a de A au lieu de la partie externe a d’une r´ealisation de A.

Cette fa¸con de parler conduira par exemple `a d´esigner l’ensemble SA comme

≪ensemble des r´ealisations de A^≫ bien que l’expression soit impropre et qu’il vaille parfois mieux l’´eviter.

Remarque 10. Quelle que soit la dynamiqueA, on a SA≠∅, comme le prouve l’exemple ci-dessous.

Exemple 3. On appeller´ealisation videdeAtoute r´ealisation deAdont la partie externe est vide, autrement dit tout couple de la forme (λ,∅), o`u λ∈ L et ∅ d´esigne lafonction videst(H)⊃D∅=∅↪st(A). Quelle que soit la dynamique A, l’ensemble de ses r´ealisations vides est non vide, isomorphe `a L. Toutes les r´ealisations vides deAont la mˆeme partie externe, not´ee∅Aou simplement∅, que nous appelleronsla r´ealisation vide deA. On a donc toujoursSA∋∅A.

12. Voir les section§2.5de [6] et [7]

Notation. L’ensemble des r´ealisations non vides deAsera not´eS_A^∗ : S_A^∗ = SA∖ {∅A}.

D´efinition 10. Une dynamique sous-fonctorielle ouverteA n’admettant pour seule r´ealisation que la r´ealisation vide, autrement dit telle que S_A^∗ = ∅, sera diteinefficiente. Dans le cas contraire, elle sera dite efficiente.

1.3.2 R´ealisations passant par un ´etat

D´efinition 11. Etant donn´ee une dynamique sous-fonctorielle ouverte´ A, nous dirons qu’une r´ealisation¹³a deApasse par un ´etata∈st(A), si a(τ(a))=a.

Nous ´ecrirons

a⊳a, pour exprimer quea passe para.

Ainsi, pourA=(τ∶ (αλ)λ∈L↬h), on a a⊳a⇔a(τ(a))=a.

Plus g´en´eralement, siEest un ensemble d’´etats de la dynamique ouverteA, nous ´ecrirons

a⊳E

pour exprimer queapasse par chacun des ´etats a∈E. Dans le cas o`uE est un ensemble finiE={a1, ..., a_n}, nous ´ecrirons souvent

a⊳a1, ..., a_n au lieu dea⊳E.

Remarque 11. Par rapport `a [6] et [7], nous avons l´eg`erement chang´e la signifi- cation de l’expressiona⊳a, b. En effet, nous avons `a pr´esent

(a⊳a, b)⇔(a⊳aeta⊳b),

alors que dans [6] et [7] l’´ecriturea⊳a, bsignifiait non seulement quea passait paraet passait parb, mais aussi queτ(a)´etait ant´erieur¹⁴`a τ(b). D´esormais, cette derni`ere condition n’est donc plus requise.

1.4 Une classification des dynamiques sous-fonctorielles ouvertes

Soit

A=((α∶C⇁PÐ^M→)↬ (^τ h∶C→P)) une dynamique sous-fonctorielle ouverte.

Type param´etrique. Nous dirons queAest

— param´etrique, ou de typeπ, sicard(M)>1,

— non param´etrique, ou de type π, si9 card(M)=1.

Notons queAest n´ecessairement soit de typeπ, soit de type9 π.

13. Voir la remarque 9 ci-dessus.

14. Voir plus haut la section§1.1.8.

Type de d´eterminisme. Asera dited´eterministe (resp.quasi-d´eterministe, bien quasi-d´eterministe,pluraliste) siαl’est.

Nous dirons en outre queAest

— de typeδsi elle est pluraliste.

— de typeδsi elle est d´eterministe,

— de type

9δ, si elle est bien quasi-d´eterministe.

Notons queAest n´ecessairement soit de typeδ, soit de typeδ, soit de type δ.9

Type de fonctorialit´e. Nous dirons queAest

— bien sous-fonctorielle, ou de type φ, si α est sous-fonctorielle mais non fonctorielle,

— fonctorielle non d´eterministe, ou de typeφ, siαest fonctorielle mais non d´eterministe.

Remarque12. Une dynamique ouverte de typeφest n´ecessairement non d´eterministe d’apr`es la proposition 2. Ainsi,Aest n´ecessairement soit de typeφ, soit de type δ, soit de typeφ.

D´efinition 12. Nous dirons que la dynamique sous-fonctorielle ouverte Aest de type[P DFC], o`u les lettresP, D etF repr´esentent des symboles pris res- pectivement dans les ensembles suivants

— P∈{π, π9 },

— D∈{ δ, δ, δ9 },

— F∈{φ, φ},

pour exprimer queCest le moteur deA,P est son type param´etrique,Dest son type de d´eterminisme et, dans le cas o`uD≠δ, F est son type de fonctorialit´e.

Si D=δ, la place deF est laiss´ee vide.

La partie [P DF]de cette classification permet de distinguer dix types de dynamiques sous-fonctorielles ouvertes, `a savoir cinq types de dynamiques non param´etriques

— [π9

9δφ]: fonctorielles bien quasi-d´eterministes,

— [π9

9δφ]: bien sous-fonctorielles et bien quasi-d´eterministes,

— [πδ9 ]: d´eterministes,

— [πδφ9 ]: fonctorielles pluralistes,

— [πδφ9 ]: bien sous-fonctorielles et pluralistes, et cinq types de dynamiques param´etriques

— [π

9δφ]: fonctorielles et bien quasi-d´eterministes,

— [π

9δφ]: bien sous-fonctorielles et bien quasi-d´eterministes,

— [πδ]: d´eterministes,

— [πδφ]: fonctorielles pluralistes,

— [πδφ]: bien sous-fonctorielles et pluralistes.

Remarque 13. Si le moteur est un groupe (ou un groupo¨ıde)Get que la dyna- mique consid´er´ee est fonctorielle, celle-ci est de fa¸con ´evidente n´ecessairement

d´eterministe. Par cons´equent, les dynamiques de moteur Gsont soit d´etermi- nistes, soit de type[π9

δφG9 ],[πδφG9 ], [π

δφG9 ]ou[πδφG](mais jamais de type [π9

9δφG], [πδφG9 ], [π

δφG9 ] ou[πδφG]). En outre, dans le cas o`u G=1={●}, la seule fl`eche de1´etant une identit´e, les dynamiques de moteur 1ne peuvent ˆetre pluralistes et sont donc soit d´eterministes, soit de type[π9

δφ19 ], soit de type [π

δφ19 ].

1.5 Quelques exemples

1.5.1 Une^≪source^≫ (Y= י)

Exemple 4 (Y: une^≪source lipschitzienne^≫). Nous appelons^≪source lipschit- zienne^≫, la dynamique

Y=(τY∶ (αY∶CY⇁P^LÐ→^Y) ↬ (hY∶CY→P)), dont

— le moteur estCY=R+,

— l’horloge est l’horloge existentielle hY=ξ^R₊, i.e. : ●^hY =R+ et d^hY(t)= t+d,

— la param´etrisation estLY={∗},

— l’ensemble des ´etats estst(Y)=st(αY)=R+×R,

— la scansion est donn´ee parτY(t, a)=t,

— et la loi s’´ecritd^Y(t, a)=d^αY(t, a)={t+d} × [a−d, a+d]. On v´erifie ais´ement que l’ensemble des r´ealisations deYest

SY=Lip¹₊,

et, puisque∅Y=∅, l’ensemble des r´ealisations non vides deYest

SY^∗=(Lip¹₊)^∗. (3) C’est une dynamique de type[πδφR9 +], autrement dit fonctorielle, non pa- ram´etrique, pluraliste, et de moteurR+.

Remarque 14. Dans notre travail [10] inspir´e par la th´eoriem´etachronologique du philosophe Pierre Michel Klein [11], la dynamiqueY est not´eeי —yod, en h´ebreu¹⁵ — du fait qu’elle y joue un rˆole moteur aux cˆot´es de la dynamique

≪intemporelle^≫ que nous pr´esentons plus loin (exemple 7) et qui est ´egalement not´ee par une lettre h´ebra¨ıque — ו(vav) — en r´ef´erence au rˆole essentiel jou´e par cette lettre dans la th´eorie de P. M. Klein.

1.5.2 Une^≪histoire^≫ (H = ה)

Exemple 5 (H, une dynamique^≪historique^≫). Etant donn´es´

— un indicek∈N∪ {+∞},

— un ´el´ementa0∈{−∞} ∪R, appel´eorigine des histoires,

— un ´el´ementT0∈{−∞} ∪R, appel´eorigine des temps,

— un ensemble non vide L ⊂ P(]T0,+∞[×R) de parties du (demi-)plan t>T0,

15. En TEX, nous codons la lettreיavec uny(code\textcjheb{y}).

on appelle ^≪dynamique historique^≫ de classe C^k, d’origine des histoires a0, d’origine des tempsT0 et de param´etrageLla dynamique not´eeH_(k,a

0,T0,L), ou simplement Hs’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, d´efinie par

H=(τH∶ (αH∶CH⇁P^LÐ→^H) ↬ (hH∶CH→P)), avec

— pour moteur :CH=R+,

— pour horloge :●^hH=]T0,+∞[et, pour toutd∈R+et toutt>T0,d^hH(t)= t+d,

— pour param´etrisation :LH=L,

— pour ensemble d’´etats¹⁶:st(H)=st(αH)=⋃^{t∈]T0,+∞[}({t} ×C^k(]a0, t[)), autrement dit

st(H)={(t, f), t>T0etf ∈C^k(]a0, t[)},

— pour scansion :τH(t, f)=t,

— et pour loi celle d´efinie pour toutγ∈L, tout(t, f)∈st(αH)et toutd∈R+

par

d^H_γ(t, f)={(t+d, g)∈st(H),∣ g_∣]a0,t[=f,

{(s, g(s)), s∈]t, t+d[∩Dg}⊂γ. } (4) Le type de la dynamiqueHd´epend du choix des r´eelsa0etT0et de l’ensemble L.

Consid´erons le cas o`uk=1, a0=−∞,T0=0 et L= GC<sup>∗</sup><sub>+</sub>. Dans ce cas, o`u GC^∗₊d´esigne l’ensemble des graphes des fonctions num´eriques continues dont le domaine de d´efinition est un intervalle ouvert inclus dans R^∗₊ et admettant 0 pour borne inf´erieure s’il n’est pas vide, autrement dit

GC^∗₊={γ={(s, l_γ(s)), s∈]0, rγ[}, r_γ∈R+, l_γ∈ C(]0, rγ[)}, nous obtenons une dynamique de type[π

δφR9 +]. Dans la suite, cette dynamique H_(k=1,a

0−∞,T0=0,L=GC^∗₊)sera simplement not´eeH.

Identification des graphes aux fonctions. On a γ ∈ GC^∗₊ si γ est le graphe d’une fonction num´erique l d´efinie et continue sur un intervalle de la forme ]0, r[ avec r ∈ R₊. En identifiant le param`etre γ `a l’unique fonction continuegγ dont il est le graphe on peut ´ecrire

GC^∗₊≃ ⋃

r∈R₊

C(]0, r[),

le cas o`u γ=∅correspondant `ar=0.

D´ecrivons les r´ealisations deH. Pour cela, donnons-nous d’abord unγ∈L, posons pour simplifierg=g_γ et notons]0, r[=D_gson domaine de d´efinition, o`u

16. `A propos de la notationC^k(]a, b[), voir la remarque 1, section§0.1.1.

r∈R+. Une r´ealisation non vide¹⁷hdeH_γ est caract´eris´ee par la donn´ee d’un couple(D, h)constitu´e

— du domaine de d´efinition D = Dh de h, qui est un intervalle non vide D⊂R^∗₊ de la forme]0, a[ou¹⁸]0, a], aveca∈]0, r],

— d’une applicationh∶] − ∞, a[→Rde classeC¹telle que h_∣]0,a[=g_∣]0,a[, la r´ealisation h caract´eris´ee par un tel couple (D, h)´etant alors l’application D→st(H)d´efinie par

∀t∈D,h(t)=(t, h_{∣]−∞,t[}). (5) Par cons´equent, `a toute (partie externe d’une) r´ealisation non videh∈ SH<sup>∗</sup> se trouve associ´e un tel couple (D, h), unique, avech∈ C<sup>1</sup>(R). Nous noterons en particulier h↦̃h=hl’application deSH<sup>∗</sup> dans C<sup>1</sup>(R)qui `a une telle r´ealisation hassocie la fonctionhcorrespondante.

Mise `a part la r´ealisation vide ∅H =∅ ∶ ∅↪ st(H), nous avons donc deux sortes de r´ealisations, selon que l’intervalle D est ouvert ou ferm´e en sa borne sup´erieure. Celles pour lesquellesDest ouvert forment un ensemble qui s’iden- tifie `a¹⁹

C⊳¹= ⋃

r∈]0,+∞]

C¹(] − ∞, r[),

une fonctionh∈ C⊳¹ repr´esentant la r´ealisationhdeHd´efinie sur Dh=D_h∩R^∗₊

par la formule (5) ci-dessus. Pour touth∈ C⊳¹, nous posonsθ(h)=h, o`uhest la r´ealisation en question deH.

Pour constituer l’ensemble des r´ealisations deHpour lesquellesD est ferm´e en sa borne sup´erieure, d´efinissons une copie disjointe de la partie

C⊳^1♭= C⊳¹∖ {h∈ C⊳¹, Dh=]0,+∞[}

de C⊳¹ form´ee des fonctions dont le domaine de d´efinition est born´e, copie que nous noteronsC⊳^1♮, et que nous d´efinissons formellement en posant

C⊳^1♮=C⊳^1♭× {♮},

o`u♮d´esignera ´egalement la bijection♮ ∶C⊳^1♭∋h↦h^♮=(h,♮)∈C⊳^1♮, ainsi que sa r´eciproque, de sorte que(h,♮)^♮=hpour touth∈C⊳^1♭.

Nous d´ecidons alors qu’un couple (h,♮)∈ C⊳^1♮ repr´esentera la r´ealisation h deHd´efinie par la formule (5), mais cette fois sur l’intervalle born´e et ferm´e `a droite

Dh=Dh∩R^∗₊,

et nous posonsθ(h,♮)=h, o`uhest la r´ealisation en question deH.

17. On remarque que siγ= ∅, autrement dit sir=0,H_γ n’admet pas de r´ealisation non vide. En effet, pour toute r´ealisation h qui serait non vide, il existet>0 tel que h(t)soit d´efini, ce qui implique — d’apr`es la remarque 8 — que pour touts∈]0, t[,h(s)est ´egalement d´efini. On doit alors avoirh(t)∈(t−s)<sup>H</sup><sub>γ</sub>(h(s)), mais d’apr`es la formule (4) ceci est impossible lorsqueγ= ∅. De mˆeme,H_γ n’admet pas de r´ealisation non vide sign’est de classeC¹ sur aucun intervalle de la forme]0, t[.

18. Sia=r= +∞, il n’y a qu’une seule forme possible pourD, `a savoirD=R^∗₊. 19. Voir les notations introduites en section§0.1.2.

Ainsi, l’ensemble des r´ealisations²⁰deH=H_(k=1,a

0=−∞,T0=0,L=GC^∗₊)peut s’´ecrire comme l’union disjointe

S^H={∅} ⊔θ(C^⊳1) ⊔θ(C⊳^1♮),

avec∅=∅. L’ensemble des r´ealisations non vides deHs’´ecrit quant `a lui SH^∗=θ(C⊳¹) ⊔θ(C⊳^1♮), (6) et l’on a

∀h∈ C⊳¹, h=̃θ(h),

∀h∈C⊳^1♭, h=θ̃(h,♮).

Pour toute r´ealisation non videh∈ SH^∗deH, nous appelleronspartie mythique de l’histoire la restrictioñh_{∣]−∞,0]}. Intuitivement, celle-ci repr´esente en effet une sorte d’histoire virtuelle, dont on aurait la m´emoire sans qu’elle ait jamais ´et´e r´eellement v´ecue.

Remarque 15. Dans notre travail [10] d´ej`a cit´e, la dynamiqueH_{(1,−∞,0,GC}∗ +) est not´ee ה—Hey, en h´ebreu²¹ — du fait de son rˆole fondamental aux cˆot´es des dynamiquesי(exemple 5) et ו(exemple 7).

Exemple 6 (Autre exemple de dynamique de la formeH_(k,a

0,T0,L)). Pourk=0, a0=0,T0=−∞etL={R²}, la dynamiqueK=H_(k,a0,T0,L)est de type[πδφR9 +], autrement dit c’est une mono-dynamique fonctorielle, pluraliste et de moteur R+. On v´erifie ais´ement qu’une r´ealisation non videhde la dynamiqueKest

— soit d´efinie sur un intervalle de la forme I =] − ∞, t[ ou I =] − ∞, t], avec t ≤ 0, et dans ce cas h(s) = (s,∅) pour tout s ∈ I (de sorte que h est enti`erement caract´eris´ee par la donn´ee de I, `a laquelle on peut l’identifier),

— soit d´efinie sur un intervalle de la formeI=] − ∞, t[ avect∈R^∗₊∪ {+∞}

ou de la forme I =] − ∞, t] avec t> 0, et on a h(s)=(s,∅) pour tout s∈]−∞,0]eth(s)=(s, h(s))pour touts>0, avech∈C(]0, t[)(et dans ce cashest enti`erement caract´eris´ee par la donn´ee deIet deh∈C(˚I∩R^∗₊)).

Autrement dit, on a

S^K={∅} ∪⎛

⎝ ⋃t∈R∪{+∞}({] − ∞, t[} ×C(]0, t[))⎞

⎠∪ ( ⋃

t∈R({] − ∞, t]} ×C(]0, t[))). 1.5.3 Une dynamique intemporelle (W = ו)

Exemple 7 (W, une dynamique^≪intemporelle^≫). SoitL⊂ C un sous-ensemble non vide deC, et soit( une relation binaire entre L et C. Nous d´efinissons la dynamique W₍, not´ee simplement Wci-apr`es, en posant

W=(τW∶ (αW∶CW⇁P^LÐ→^W) ↬ (hW∶CW→P)), avec

20. Des parties externes des r´ealisations, pour ˆetre pr´ecis (voir la remarque 9 page 13).

21. En TEX, nous codons la lettreהavec unh(code\textcjheb{h}).

— pour moteur :CW=1,i.e.C9W={●}etÐ→

CW={Id_●=0},

— pour horloge, l’horloge existentiellehW = ξ1, qui n’a qu’un unique ins- tant :●^hW={0},

— pour param´etrisationLW=L,

— pour ´etats :st(W)= C,

— pour scansion la seule possible :∀f∈st(W), τW(f)=0,

— pour toutω∈L, la transition 0^W_ω est d´efinie pour toutef ∈st(W)par 0^W_ω(f)=[ {f} siω(f,

∅ sinon.

Sauf dans le cas o`u la relation(est la relation compl`ete,²², il y a toujours une valeur de ω pour laquelle au moins un ´etat f est ^≪hors-jeu^≫23, de sorte que la dynamique W₍ est de type [π

δφ19 ], autrement dit param´etrique, bien quasi-d´eterministe, bien sous-fonctorielle et de moteur1={●}.

Puisque l’horloge utilis´ee ne poss`ede qu’un unique instant, (la partie externe d’)une r´ealisation non vide s’identifie `a un ´etat de la dynamique. Pr´ecisons ce que sont ces r´ealisations pour deux choix particuliers de la relation(.

Cas o`u( est la relation de compatibilit´e d´efinie par :

∀(ω, f)∈L×C,(ω(f)⇔f_∣Df∩Dω=ω_∣Df∩Dω,

avecL= C. Pourω∈ C, la mono-dynamiqueW_ω=W_(,ω a pour ´etats ^≪dans le jeu^≫ toutes les fonctionsf∈ C d´efinies et continues sur un intervalle ouvertD_f qui co¨ıncident avecω sur D_f∩D_ω, y compris la fonction vide. Une r´ealisation non vide quelconque deW_ωs’identifie naturellement `a l’unique ´etat par laquelle elle passe en l’unique instant de l’horlogeξ1, donc `a une fonctionf ∈ C, mais nous devons alors en particulier bien distinguer la r´ealisation non vide qui s’identifie

`a la fonction vide ∅ ∶ ∅ ↪ R, r´ealisation que nous noterons encore ∅, et la r´ealisation vide `a proprement parler,∅W. Ainsi, concernant les r´ealisations de la dynamiqueW, nous aurons

∅W≠∅∈ SW^∗.

Par ailleurs, puisque ∅ ∈ F, nous pouvons en particulier consid´erer les r´ealisations non vides de la mono-dynamiqueW_∅, qui sont toutes les fonctions continues, de sorte queS^W∅={∅W} ∪C, d’o`u,a fortiori,

S^W={∅^W} ∪C, et pour l’ensemble des r´ealisations non vides de W:

SW^∗ = C. (7)

Remarque 16. Cette dynamique est not´eeו —vav, en h´ebreu²⁴ — dans notre travail [10], par r´ef´erence au concept fondamental associ´e `a la lettreו dans la th´eoriem´etachronologique de Pierre Michel Klein [11].

22. Autrement dit de grapheL×C,i.e.ω(f est toujours vrai, et dans ce cas la dynamique W₍est d´eterministe et donc fonctorielle.

23. Voir la section§1.1.1.

24. En TEX, nous codons la lettreוavec unw(code\textcjheb{w}) .

Cas o`u ( est l’injection canonique L↪ C d’une partie L de C. Pour ω∈L, la dynamique W_ω=W_↪,ω a pour seul ´etat^≪dans le jeu^≫ f =ω∈L⊂ C.

L’ensemble des (parties externes des) r´ealisations de la dynamique W = W_↪ s’identifie alors `aL.

2 Familles interactives

Le but principal de cette section est de d´efinir et de donner un ou deux exemples de la notion de famille interactive, `a savoir une famille de dynamiques ouvertes en interaction et coordonn´ees par des synchronisations. Apr`es avoir pr´ecis´e quelques notations, la notion d’interaction entre dynamiques ouvertes est pr´ecis´ee en section§2.2, celle de synchronisation en section§2.3, la d´efinition et des exemples de familles interactives ´etant propos´es en section §2.4.

2.1 Notations

On se donne `a partir de maintenant une familleA =(Ai)^i∈I index´ee par un ensemble non videI de dynamiques sous-fonctorielles ouvertes efficientes²⁵

A_i=(τ_i∶ (α_i∶Ci⇁PÐ^L→ⁱ) ↬hi).

Pour tout i∈ I, l’ensembleS_A^∗_i des parties externes des r´ealisations non vides de la dynamique ouverteA_isera plus simplement not´eSi^∗= S_A^∗_i, autrement dit

S_i^∗= ⋃

λ∈Li

S_(i,λ)^∗ ,

o`u S<sub>(i,λ)</sub><sup>∗</sup> = S(i,λ)∖ {∅Ai}d´esigne l’ensemble des r´ealisations non vides de pa- ram`etreλde la dynamiqueA_i. On notera en outreZ^∗=(S_i^∗)i∈I la famille des S_i^∗, L =(L_i)i∈I celle desL_i, etE =(E_i)i∈I =(S_i^∗×L_i)i∈I.

2.2 Interactions dans une famille de dynamiques ouvertes efficientes

2.2.1 Relations entre r´ealisations et param`etres

D´efinition 13. Unerelation entre r´ealisations et param`etres de la familleA = (Ai)^i∈I est une relation binaire multiple non vide C ∈ BM^∗_(Z^∗_,L) de contexte d’entr´eeZ^∗=(S_i^∗)^i∈I et de contexte de sortie L =(Li)^i∈I.

Le contexte global d’une telle relation entre r´ealisations et param`etres est alorsE =(E_i)i∈I=(S_i^∗×L_i)i∈I, et nous ´ecrirons souvent sous la forme( λi

σi )

i∈I

les ´el´ements de ΠIE avec, pour touti∈I,σ_i ∈ Si^∗ etλ_i∈L_i. En particulier, un

´el´ementς du graphe d’une relation C entre r´ealisations et param`etres pour la famille(Ai)^i∈I pourra s’´ecrire sous la formeς=( λ_i

σ_i )

i∈I

∈∣C∣⊂ΠIE.

25. Voir la d´efinition 10.