Loi Hypergéométrique

(1)

16/01/07 IQS3 TP n° 3 1 Sujet du TP, but du programme

Entrées au clavier

a nombre de boules blanches b nombre de boules noires

n nombre de boules à tirer (1 ≤ n ≤ a , 1 ≤ n ≤ b) NbExp nombre d'expriences

Le but est de comparer les probabilités théoriques et les fréquences relatives observées (sur un grand nombre d'expériences) du nombre de boules blanches tirées, pour chacune de ses valeurs posssibles (0,1,...,n), ainsi que les espérances et les variances. On utilise bien sûr un tableau Prob (initialisé avec les probabilités correspondant aux valeurs (0,1,...,n) et un tableau Freq (initialisé à 0) dans ce but.

Pour chaque expérience (tirage de n boules)

on remplace évidemment le tirage de chaque boule par le tirage d'un numéro (No) aléatoire (de 1 à a+b inclus) si 1 ≤ No ≤ a cela correspond à une boule blanche, si a+1 ≤ No ≤ a+b cela correspond à une boule noire.

Comme on doit simuler le tirage de n boules il faut donc à chaque expérience tirer n numéros aléatoires (de 1 à a+b inclus) tous différents, donc si le No tiré figure déjà parmi les numéros tirés précédemment il faut le re-tirer et éventuellement recommencer jusqu'à ce que ce No ne figure pas parmi les numéros tirés précédemment. Lorsque on a tiré n numéros différents, on compte ceux qui correspondent à une boule blanche. Si on en a trouvé k on augmente la fréquence F[k] de 1.

Lorsqu'on a terminé les NbExp expériences on remplace les fréquences par les fréquences relatives, qui sont normalement proches des probabilités si NbExp est assez grand.

C'est ce que l'on va constater avec les affichages suivants :

(2)

16/01/07 IQS3 TP n° 3 2

(donc calculer l' espérance et la variance théorique pour les probabilités et l' espérances et la variance observée pour les fréquences relatives).

Note : mettre en place le calcul des probabilités Prob[k] (Pr(X = k) pour k = 0,1,...,n.

Bonus : on pourra comparer les espérances et les variances "théoriques" trouvées par le calcul par l'ordinateur aux formules données par la loi de probabilité correspondante vue en cours et en TD, rappelées ci après.

Loi Hypergéométrique

Dans une urne on dispose de M objets (boules, par exemple) dont a de type 1 (boules blanches) b de type 2 (boules noires). M = a + b.On tire n objets (n ≤ a , n ≤ b).

La variable aléatoire X est le nombre d'objets de type 1 tirés.

On calcule Pr(X = k).

On a tiré k objets de type 1 et n – k objets (ou 0) de type 2 : Pr(X = k) = C_a^kC_bⁿ^−k

C_aⁿ_+b n ≤ a , n ≤ b ⇒ 0 ≤ k ≤ n,

X 0 1 2 3 ...

Probas : 0.xxx 0.xxx 0.xxx 0.xxx ...

Fréq : 0.xxx 0.xxx 0.xxx 0.xxx ...

Espérance théorique : xxxx.dddd Espérance observée : xxxx.dddd Variance théorique : xxxx.dddd Variance observée : xxxx.dddd

(3)

16/01/07 IQS3 TP n° 3 3 Calcul de E(X)= k×Pr X

(

=k

)

k=0

∑

n

E(X) = kC^k_aC_b^n−k Cⁿ_a+b

k=1

∑

n ⁼_C ^a

an+b C_a−1^k−¹C_bⁿ⁻^k

k=1

∑

n (en utilisant C_a^k =a

kC_a−1^k⁻¹ pour k ≥ 1)

E(X) = a

C_aⁿ_+b C_a^p₋₁C_bⁿ⁻¹⁻^p

p=0 n−1

∑

^Or ^C^a^p⁻¹^C^bⁿ^−1−p

p=0

n−1

∑

est le coefficient de xn–1 dans le

développement de (1+x)a–1(1+x)b = (1+x)a+b–1, c'est donc Cⁿ_a₊⁻_b¹₋₁

⇒ E(X) = a

C_aⁿ_+bC_aⁿ⁻_+b−1¹ et comme C_a+bⁿ =a+b

n C_a+ⁿ⁻_b−1¹ E(X)= na

a+b=np

(si p = a

a+b est la proportion d'objets de type 1 dans l'urne) Remarquer que 1 – p = b

a+b, a = (a + b)p et b = (a + b)(1 – p).

Calcul de E(X2)= k²×Pr X

(

=k

)

k=0

∑

n

E(X2) = k² C_a^kC_bⁿ^−k C_a+ⁿ _b =

k=1

∑

n ^k(k⁻¹⁾^C_C^k^a^C^bⁿ^−k

a+bn +

k=1

∑

n ^k^C_C^a^k^C^b^n−k a+b k=1 n

∑

n

E(X2) = k(k−1)C^k_aC_bⁿ^−k C_aⁿ_+b +

k=1

∑

n ^E(X) On a : C^k_a =a(a−1)

k(k−1)C_a^k₋⁻₂² pour k ≥ 2

E(X2) = a(a−1) a+bn

  



C_a^k₋⁻₂²C_bⁿ⁻^k +

k=2

∑

n ^E(X) ^C^a−^k−2²^C^bⁿ⁻^k k=2

∑

n ^C^a^p⁻²^C^bⁿ⁻^2−p p=0

n−2

∑

^{est le}

coefficient de xn–2 dans le développement de (1+x)a–2(1+x)b = (1+x)a+b–2, c'est donc Cⁿ_a₊⁻_b²₋₂ ⇒ E(X2) =a(a−1)

C_aⁿ_+b Cⁿ_a+⁻_b−2² +E( X) et comme C_aⁿ₊_b =(a+b)(a+b−1)

n(n−1) C_aⁿ₊⁻_b²₋₂ : E(X2) =n(n−1)a(a−1) (a+b)(a+b−1)+np

(4)

16/01/07 IQS3 TP n° 3 4

⇒ V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = n(n−1)a(a−1)

(a+b)(a+b−1)+np−n²p²

⇒ V(X) = np (n−1)(a−1)

(a+b−1) +1−np



 



 

⇒ V(X) = np (n−1)(a−1)

(a+b−1) +1−np



 



  =np na−n−a+1+a+b−1−npa−npb+np (a+b−1)



 



  On a : na−n+b−npa−npb+np=na−n+b−np(a+b)+np et np(a + b) = na

⇒ V(X) = np −n+b+np (a+b−1)



  

  =np b−n(1−p) (a+b−1)



  

  Or b = (a + b)(1 – p)

⇒ V( X)=np(1−p)(a+b−n) (a+b−1)

On a appliquéle théorème de KOENIG : V(X)=E(X2)–

{

^E(X)

}

²⁼ ^k²^×^{Pr X}

(

^=k

)

k=0

∑

n ^– ^k^×^{Pr X}

⁽

^=k

⁾

k=0

∑

n



   

  

2

On peut, après avoir calculé E(X) appliquer la définition de la variaance : V(X)=E

[

(X – E(X))²

]

=

(

k−E(X )

)

²^×^{Pr X}

(

⁼^k

)

k=0

∑

n