8x(Dx ! 8y((Cy ^ F y) ! Hxy))

Übungen 10

Einführungskurs Logik, Universität Bern, Frühlingssemester 2012 abzugeben vor Montag, dem 7.5.2012, 14h15

Name(n):

Erzielte Punkte (in 4 Fragen mit insgesamt 20 Punkten): Note:

1. (2 Punkte) Geben Sie deutschsprachige Sätze an, die von folgenden Formeln der Prädikatenlogik korrekt formalisiert werden:

(a) “∀x(Dx→ ∀y((Cy∧F y)→Hxy))” (b) “∃x((Dx∧F x)→P ax)”

2. (3 Punkte) Begründen Sie die Wahrheit der folgenden Sätze anhand der Definition der Gültigkeit in der Semantik der Prädikatenlogik:

(a) “∀x(F x→Gx),∀x(Gx→ ¬Hx)|=∀x(F x→ ¬Hx)” (b) “∀x(F x→Gx)|=¬∃x(F x∧ ¬Gx)”

(c) “∀x(F x→Gx),∃x(¬Gx)|=∃x(¬F x)”

3. (10 Punkte) Formalisieren Sie (wobei Sie annehmen, der Individuenbereich sei die Gesamtheit aller Menschen):

(a) Susi istF. (b) Sam istF. (c) EinigeDsindF. (d) JedesDistF. (e) NurDsindF. (f) KeinH istF.

(g) EinigeHsind nichtF. (h) Sam ist nichtF.

(i) Susi hat Sam getötet.

(j) Jemand hat Sam getötet.

(k) Sam hat jemanden getötet.

(l) Jemand hat jemanden getötet.

(m) Jemand hat sich getötet.

(n) Niemand hat sich getötet.

(o) Jemand hat alle getötet.

(p) Jemand ist von allen getötet worden.

(q) Es gibt einSzwischen Sam und Susi.

(r) Jeder Zöllner hasst einen Läufer.

(s) Einige Läufer lieben jeden Zöllner.

(t) Es gibt einen Läufer, den alle verrückten Zöllner hassen.

(u) EinigeCbefinden sich zu keinemF Din der BeziehungP.

(v) EinigeCstehen in der BeziehungPnur zu jenenD, die nichtFsind.

4. (5 Punkte) Sei L⁺ die Sprache der Prädikatenlogik mit I = {0}, J = {0,1,2},K = {0,1}, λ(0) = 2,µ(0) = 1,µ(1) =µ(2) = 2. Wir ersetzen die nicht-logischen Zeichen mit den folgenden:

. . . R0· · · ; . . .≤ · · · f0(. . .) ; −. . . f1(. . . ,· · ·) ; . . .+· · · f₂(. . . ,· · ·) ; . . .× · · ·

c₀ ; 0

c1 ; 1

Zusätzlich verwenden wir “. . .̸≖. . .” als Abkürzung für “¬(. . .≖. . .). (a) Sind die folgenden Ausdrücke Terme vonL⁺?

(i) “0” (ii) “x₁+ 1” (iii) “+x1” (iv) “x1×”

(v) “x₁×(0 + 1)” (vi) “2”

(b) Sind die folgenden Ausdrücke atomare Formeln vonL⁺? (i^′) “x₁+ 1”

(ii^′) “0 + 0̸≖1” (iii^′) “(x1≤1)̸≖1” (iv^′) “∀x1(x1≤(0 + 1))”

(v^′) “0 + 1̸≖0×1” (vi^′) “x1≤1”

(c) Sind die folgenden Ausdrücke Formeln vonL⁺? (i^′′) “0”

(ii^′′) “x₁+ 1≤x₁” (iii^′′) “∀x1(x1×(0 + 1))” (iv^′′) “1 + (x1×(0 + 1))” (v^′′) “(1 + 1)∧(0≤1)” (vi^′′) “∀x1(x1≤(0 + 1))”

(d) In welchen der folgenden Ausdrücke vonL⁺kommt die Variable “x1” frei vor?

(i^′′′) “x₁+ 1≤1”

(ii^′′′) “∀x₁¬(x₁̸≖(0 + 1))”

(iii^′′′) “∃x2(1 + (x2×(0 + 1)≤x1))” (iv^′′′) “∀x1(0≤x1)∧((0≤1)∨1̸≖x1)”

(v^′′′) “∀x₁((0≤x₁)→(1̸≖x₁))” (vi^′′′) “∀x2∃x1¬(x2≤x1)”

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