zusätzliche Übungen zur Prädikatenlogik
Einführungskurs Logik, Universität Bern, Frühlingssemester 2012
1. (5 Punkte) Beweisen Sie mittels der Baummethode:
(a) “∀x(F x)→ ∀y(F y)”
(b) “∀x(F x→Ga)→(∃x(F x)→Ga))” (c) “Ga→(∀x(F x)→ ∃x(F x))” (d) “∃x∀y(Rxy)→ ∀y∃x(Rxy)”
(e) “(∀x∀y(Rxy→Ryx)∧ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz))→ ∀x∀y(Rxy→Rxx)”
2. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgenden Formeln keine Theoreme der Prädikatenlogik sind:
(a) “∀x(F x∨Gx)→(∀x(F x)∨ ∀x(Gx))” (b) “∀x∃y(Rxy)→ ∃y∀x(Rxy)”
3. (5 Punkte) Beweisen Sie mittels der Methode der natürlichen Deduktion:
(a) “∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ⊢ ∀x(F x∨Gx)”
(b) “∀x(Gx→Hx), ∃x(F x∧Gx)⊢ ∃x(F x∧Hx)” (c) “∀x(F x→Gx), ∀x(Hx→ ¬Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)” (d) “(∀x(F x)↔ ∃x(F x))↔ ∃x(F x)⊢ ¬∃x¬(F x)” (e) “⊢ ∃x(F x∧Gx)→(∃x(F x)∧ ∃x(Gx))”
4. (4 Punkte) Beweisen Sie folgende Äquivalenzen sowohl mit der Baummethode als auch mit der Methode der natürlichen Deduktion:
(a) “∃x(F x∧Gx)⊣⊢ ¬∀x(F x→ ¬Gx)” (b) “∀x(F x→ ∃y(Gxy))⊣⊢ ∀x∃y(F x→Gxy)”
5. (2 Punkte) Beweisen Sie folgende Äquivalenzen mit der Methode der natürlichen Deduktion:
(a) “∃x(F x)⊣⊢ ¬∀x¬(F x)” (b) “∃x¬(F x)⊣⊢ ¬∀x(F x)”
