Validation des performances cinématiques du robot chirurgical Da Vinci - Corrigé

DM 04 - Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI

Validation des performances cinématiques du robot chirurgical Da Vinci - Corrigé

Q.1. P P₀P P₀A AP x₀.xr₀ y₀.yr₀ x(t).xr₀ y(t).yr₀ x(t).xr₀ y(t).yr₀

∆ +

∆

= +

+

−

−

= +

=

=

∆

→

−

=

∆

−

=

∆

0 0

y ) t ( y ) t ( y

x ) t ( x ) t (

x →





+

∆

= +

∆

=

0 0

y ) t ( y ) t ( y

x ) t ( x ) t ( x

Q.2. Q.3. Voir document réponse DR1.

Q.4. Elaboration du modèle géométrique direct : AP x(t).xr₀ y(t).yr₀ AB BP L₂.xr₂ 2.L₃.xr₃ h.yr₃ +

−

−

= +

= +

= On projette dans la base 0 :

) t ( cos . h ) t ( sin . L . 2 ) t ( sin . L ) t ( y

) t ( sin . h ) t ( cos . L . 2 ) t ( cos . L ) t ( x

3 2

3 2

α + α

− β

−

=

α

− α

− β

−

=

Q.5. AP₀ x₀.xr₀ y₀.yr₀ AB BP₀ L₂.xr₂ 2.L₃.xr₃ h.yr₃ +

−

−

= +

= +

=

On projette dans la base 0 :

0 0

3 0 2 0

0 0

3 0 2 0

cos . h sin . L . 2 sin . L y

sin . h cos . L . 2 cos . L x

α + α

− β

−

=

α

− α

− β

−

=

Q.6. [Q] doit être inversible pour pouvoir élaborer le modèle géométrique indirect qui permettra d'obtenir l'expression des coordonnées articulaires en fonctions des coordonnées opérationnelles.

Q.7. _{2 2 3 3 3}

1 3 3 3 2 2 1

1 / 5 ,

P L .x 2.L .x h.y L . (t).y 2.L . (t).y h. (t).x

dt AP d dt

V d r

&

& r

& r r

r

r − + =− β − α − α

−

=

= .

Q.8. V_P,5/1 =V_P,5/2+V_P,2/1 (composition de mouvement)

3 3

3 3

3 3 3 2 / 5 2

/ 5 , B 2 / 5 ,

P V PB (2.L .x h.y ) ( (t) (t)).z 2.L .( (t) (t)).y h.( (t) (t)).x

V r r & & r & & r & & r

β

− α

− β

− α

−

= β

− α

∧

−

= Ω

∧ +

=

3 3

3 2 2 3 3

3 3 2 2 1 / 2 1

/ 2 , A 1 / 2 ,

P V PA (L .x 2.L .x h.y ) (t).z L . (t).y 2.L . (t).y h. (t).x

V r r r & r & r & r & r

β

− β

− β

−

= β

∧

− +

= Ω

∧ +

=

→ V_P,5/1 L₂. (t).y₂ 2.L₃. (t).y₃ h. (t).xr₃

&

& r

& r − α − α

β

−

=

Q.9. V_P,5/1.x₁ L₂. (t).y₂.x₁ 2.L₃. (t).y₃.x₁ h. (t).xr₃.xr₁

&

r

& r r

& r

r =− β − α − α =L₂.β&(t).sinβ(t)+2.L₃.α&(t).sinα(t)−h.α&(t).cosα(t)

1 3 1

3 3 1 2 2 1 1 / 5 ,

P .y L . (t).y .y 2.L . (t).y .y h. (t).x .y

V r r

&

r

& r r

& r

r =− β − α − α =−L₂.β&(t).cosβ(t)−2.L₃.α&(t).cosα(t)−h.α&(t).sinα(t)

Q.10. Graphiquement on lit





°

= β

∆

°

−

= α

∆

2 , 6 ) t (

3 , 3 ) t (

Q.11. V_P,5/1 =20 mm/s et







π =

=

°

=

= β

− π =

−

=

°

−

− =

= α

s / rad 054 , 0 s / 180rad 1 , 3 s / 1 , 2 3

2 , ) 6 t (

s / rad 029 , 0 s / 180rad . 65 , 1 s / 65 , 2 1

3 , ) 3 t (

&

&

On peut retrouver aussi ce résultat avec les expressions de la question 9. On obtient alors un système de 2 équations avec 2 inconnues :







= α + α α

− β β

−

= α

− α α

+ β β

0 ) sin . h cos . L . 2 ).(

t ( cos ).

t ( . L

20 ) cos . h sin . L . 2 ).(

t ( sin ).

t ( . L

0 0

3 0

2

0 0

3 0

2

&

&

&

&

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En faisant l'application numérique, il vient :









= α

− β

−

= α +

β

0 ) t ( . 1 , 618 ) t ( . 500 2 .

2

20 ) t ( . 19 , 21 ) t ( . 500 2 .

2

&

&

&

&

→





= β

−

= α

s / rad 057 , 0 ) t (

s / rad 033 , 0 ) t (

&

&

Ce qui donne des résultats très proches en considérant, les arrondis sur l'application numérique, les approximations sur la construction graphique et les erreurs de mesure sur la construction graphique.

Q.12. En utilisant l'équiprojectivité du champ des vitesses V_P,5/1.PB=V_B,5/1.PB on construit V_B,5/1 . Graphiquement on lit V_B,5/1 6 cm soit 30 mm/s

Par le champ des vitesses on montre que V_B,5/1 =V_B,5/2+V_B,2/1 =V_B,2/1

Ce qui permet de remonter à une vitesse angulaire rad/s 0,06rad/s 500

30 AB

V ) t

( ^B,2/1

1 /

2 =β = = =

Ω &

Ce qui donne là encore des résultats très proches en considérant les approximations sur la construction graphique ainsi que les erreurs de mesure sur la construction graphique.

Q.13. V_T,7'/0 =V_T,7'/6'+V_T,6'/1'+V_T,1'/0

2 '

6 2 2

' 6 2 '

6 '

6 / ' 7 , ' P ' 6 / ' 7 ,

T .y' (t).y'

dt )d t ( ' y ).

t ( '

y ).

t dt ( ' d P ' dtG V d

V r & r r & r

λ

−

= λ

− λ

−

= λ

−

=

=

=

Compte tenu de la géométrie du système (parallélogramme) 6' a toujours le même mouvement que 2' et on a donc ici V_T,6'/1'=V_A,2'/1' et Ω_6'/1'=Ω_2'/1'

0 V

V_{T,6'/1' A',2'/1'}

=r

=

0 '

TA V

V_{T,1'/0 A',1'/0 1'/0}

=r Ω

∧ +

=

D'où V_T,7'/0 =−λ&(t).yr'₂

Q.14. _{7'/0 7'/6' 6'/1' 1'/0 7'/6' 2'/1' 1'/0} (t).y'₂ (t).z'₂ (t).xr'₁

&

& r

& r +δ +ϕ

γ

= Ω + Ω + Ω

= Ω + Ω + Ω

= Ω

Avec xr'₁ cos (t).xr'₂ sin (t).yr'₂ δ

− δ

=

Soit

{ }

' 2 b T

0 / ' 7

0 ) t ( 0 )

t (

) t ( sin ).

t ( ) t (

) t ( cos ).

t ( V













λ

− δ

δ ϕ

− γ

δ ϕ

= &

&

&

&

&

→ Linéaire annulaire d'axe (T,yr'₂ ) Q.15. C'est l'exigence 1.5.

Q.16. Schéma cinématique.

Q.17. Condition de RSG : V_'I,m/1' V_I',m/2' V_I',2'/1' 0

=r +

=

' 2 / m '

2 / m , ' J ' 2 / m ,

'I V 'IJ'

V = + ∧Ω

2 m 2 2

m ' 2 / m ,

'I R .y' (t).z' R . (t).x'

V r & r & r

θ

−

= θ

∧

−

=

2 ' 1 2 2

' 1 ' 1 / ' 2 '

1 / ' 2 , ' A ' 1 / ' 2 ,

'I V 'IA' R .y' (t).z' R . (t).x'

V r & r & r

δ

= δ

∧

= Ω

∧ +

=

2'

R_m 1' R_1'

J' m

δ(t) yr'1

'1

xr '2

yr

'2

xr 'm

xr I' θ(t) A'

→ R_m. (t).x'₂ R_1'. (t).x'₂ 0 r r

&

& r + δ =

θ

− → −R_m.θ&(t)+R_1'.δ&(t)=0

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yrN

xN

r Document réponse DR 1 et 2 : Echelle 10 cm → 500 mm

Echelle 1 cm → 5 mm/s

P0

C

B

D

A

A2

A3

P Δx(t) = 40 mm

x(t) ≈ 933 mm

x0 ≈ 973 mm

1 / 5 ,

VP

V

V =

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Etude d'un robot autonome de désherbage - Corrigé

Figures géométrales.

θ xr0

z0

r =zr₂

=zrVG2

x2

γVG2r

VG2

xr y0

r

VG2

yr yr₂

γF

xr2

z2

r =zr_VF

=zr_F

xVF

βF r xF

r y2

r yrF yr_VF

δF

γR

x2

r

z2

r =zr_VR

=zr_R

xVR

βR r xR

r yr2

yR

r yr_VR

δR

Q.1. R₀R RG₂ G₂G₀ G₀R₀ y_R.y₀ L.x₂ y_G2.y₀ L.cos .x₀ 0 r r r

r

r + − − θ =

= + +

+

En projection sur yr₀

:y_R+L.sinθ−y_G2=0 → y_R=y_G2−L.sinθ → y_R =y_G2−L.θ à l'ordre 1.

Q.2. F₀F FG₂ G₂G₀ G₀F₀ y_F.y₀ L.x₂ y_G2.y₀ L.cos .x₀ 0 r r r

r

r − − + θ =

= + +

+

En projection sur yr₀

:y_F−L.sinθ−y_G2=0 → y_F=y_G2+L.sinθ → y_F=y_G2+L.θ à l'ordre 1.

Q.3. y_R=y_G2−L.θ et y_F =y_G2+L.θ →y_F−y_R=2.L.θ →

L . 2

y y_F− _R

=

θ à l'ordre 1.

θ

−

=y L.

y_{R G2} et y_F =y_G2+L.θ→y_R+y_F =2.y_G2 →

2 y y_G2 =y^R+ ^F

Q.4. On a _{G2 0 G2 0}

0 0 2 G 0 2 G 0

2 0

/ 2 ,

G x .x y .y x .x y .y

dt OG d dt V d

2

& r

& r r

r + = +

=

=

D'autre part on a V_G,2/0 V_G .x_VG V_G .cos( _VG2 ).x₀ V_G .sin( _VG2 ).y₀

2 2

2 2 2

r r

r = γ +θ + γ +θ

=

→ x_G2 V_G .cos( _VG2 )

2 γ +θ

=

& et y_G2 V_G .sin( _VG2 )

2 γ +θ

=

&

Q.5. On a V_R,2/0.y₀ =y_R=V_R.xr_VR.yr₀ =V_R.sin(γ_R+θ)

&

r → y&_R=V_R.sin(δ_R−β_R+θ)

De même on a V_F,2/0.y₀=y_F =V_F.xr_VF.yr₀ =V_F.sin(γ_F+θ)

&

r → y&_F=V_F.sin(δ_F−β_F+θ)

Q.6. et Q.7. Graphiquement on mesure 2,5 cm pour G₂F =L avec L = 1,5 m. On en déduit l'échelle des distances sur le DR : 1 cm = 0,6 m. Graphiquement on mesure 8,9 cm pour I₂₀G₂ soit I₂₀G₂ =5,34m.

Graphiquement on mesure 1,39 cm pour V_G,2/0 =V_G =V_amax =

2

2 5 km/h = 1,39 m/s. On en déduit l'échelle des vitesses sur le DR : 1 cm = 1 m/s.

Le champ des vitesses permet décrire que 0,26

34 , 5

39 , 1 G I V

2 20

0 / 2 , G 0 / 2

2 = =

=

Ω rad/s.

Après construction, graphiquement on mesure 1,66 cm pour V_F,2/0 soit 1,66 m/s et 1,16 cm pour V_R,2/0 soit 1,16 m/s.

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Q.8. Graphiquement on mesure 10,6 cm pour I₂₀F et 7,5 cm pour I₂₀R . On a donc

65 , 1 26 , 0 6 , 0 6 , 10 .

F I

V_F,2/0 = ₂₀ Ω_2/0 = × × = m/s et 17

, 1 26 , 0 6 , 0 5 , 7 .

R I

V_R,2/0 = ₂₀ Ω_2/0 = × × = m/s → ce qui est proche des valeurs trouvées question précédente.

G2

R F

I20

0 / 2 , G2

V

0 / 2 ,

VF

0 / 2 ,

VR

Q.9. Fermeture géométrique : O₁A AB BO₃ O₃O₁ L₁.xr₁ L₄.yr₄ L₃.xr₃ a.xr₂ b.yr₂ +

− +

−

−

= +

+ + En projection dans la base 0 :





= + θ + θ

− θ

−

=

− θ +

θ + θ

−

0 b sin . L cos . L sin . L

0 a cos . L sin . L cos . L

30 3 40 4 10 1

30 3 40 4 10 1

Q.10. On a





− θ +

θ

= θ

+ θ

− θ

= θ

b cos . L sin . L sin . L

a sin . L cos . L cos . L

40 4 10 1 30 3

40 4 10 1 30 3

2 40 4 10 1 2 40 4 10 1 2

3 (L .cos L .sin a) (L .sin L .cos b)

L = θ − θ + + θ + θ −

40 4 10

1 40

10 4 1 2 40 2 2 4 10 2 2 1

40 4 10

1 40 10 4 1 40 2

2 2 4 10 2 2

1 2 3

cos . L . b . 2 sin . L . b . 2 cos . sin . L . L . 2 b cos

. L sin

. L

sin . L . a . 2 cos . L . a . 2 sin . cos . L . L . 2 a sin

. L cos

. L L

θ

− θ

− θ θ +

+ θ +

θ +

θ

− θ +

θ θ

− + θ +

θ

=

40 4

10 4 1 40 4

10 4 1 10 1 10

1 2 2 2 4 2 1 2

3 L L a b 2.a.L .cos 2.b.L .sin (2.L .L .sin 2.b.L ).cos (2.L .L .cos 2.a.L ).sin

L = + + + + θ − θ + θ − θ − θ + θ

2 2 2 4 2 1 2 3 40 10

1 4 40 10

1 4 10 10

1.(a.cos b.sin ) 2.L .(L .cos a).sin 2.L .(b L .sin ).cos L L L a b

L .

2 θ − θ − θ + θ − − θ θ = − − − −

Soit f₁(θ₁₀)−f₂(θ₁₀).sinθ₄₀−f₃(θ₁₀).cosθ₄₀=f₄ avec f₁=2.L₁.(a.cosθ₁₀−b.sinθ₁₀) , f₂ =2.L₄.(L₁.cosθ₁₀+a) , )

sin . L b .(

L . 2

f₃= ₄ − ₁ θ₁₀ et f₄=L₃²−L₁²−L₄²−a²−b² Q.11. et Q.12.

Arc de centre O₃ et rayon O3B

Arc de centre D et rayon DB Arc de centre D et rayon DA Arc de centre O1

et rayon O1A

Arc de centre A et rayon AC

Arc de centre B et rayon BC

C

B A

D' A'

C' B'

Arc de centre D' et rayon DB Arc de centre D' et rayon DA

Arc de centre B' et rayon BC Arc de centre A'

et rayon AC

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Q.13. Graphiquement on mesure 1,66 cm comme distance parcourue lors de la rétractation de l'outil soit environ 0,17 m en réalité. Avec une vitesse d'avance de Vamax de 1,38 m/s il faut environ 0,12 s pour que l'outil se rétracte !

D'

Distance parcourue lors de la rétractation

Q.14. Fermeture géométrique :

2 2 2 2 2 2 5 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1

1A AV V V V O O O L .x a .x b .y .x a .x b .y a.x b.y

O r r r r r r r r

+

−

−

− λ +

− +

−

= +

+ + +

En projection dans la base 0 :





= +

− θ λ + θ

− θ +

−

=

−

− θ λ + θ +

θ +

−

0 b b sin . cos

. b sin ).

a L (

0 a a cos . sin . b cos ).

a L (

2 50 10

1 10 1

1

2 50 10

1 10 1

1





− + θ +

θ

−

= θ λ

+ + θ

− θ

−

= θ λ

b b cos . b sin ).

a L ( sin .

a a sin . b cos ).

a L ( cos .

2 10 1 10 1

1 50

2 10 1 10 1

1 50

2 2 10 1 10 1

1 2 2 10 1 10 1

1

2 =((L −a ).cosθ −b .sinθ +a +a) +((L −a ).sinθ +b .cosθ +b −b) λ

Q.15. Lorsque le dispositif de retrait en complètement rentré on a θ₁₀=3° → angle peSt.

En linéarisant à l'ordre 1 on obtient : λ²=(L₁−a₁−b₁.θ₁₀+a₂ +a)² +((L₁ −a₁).θ₁₀+b₁+b₂−b)²

AN : 0,192 0,03 0,135) 0,394

180 . ).3 03 , 0 257 , 0 ((

) 105 , 0 06 , 180 0

. 192 3 , 0 03 , 0 257 , 0

( − − × π + + ²+ − π + + − ²=

≈

λ m

La course du vérin est finalement de 0,394−0,26=0,134m.

Remarque : on peut aussi raisonnablement simplifier davantage en prenant θ10 nul alors :

2 2 1 2 2 1 1

2 ≈(L −a +a +a) +(b +b −b) λ

AN : λ≈ (0,257−0,03+0,06+0,105)²+(0,192+0,03−0,135)²=0,4m.

La course calculée est dans ce de 0,4−0,26=0,14m.

Q.16. _{5 50 5}

2 5 2

1 2 2 / 5 ,

V .x .x . .y

dt V d dtV V d

1

& r

& r

r =−λ −λθ

λ

−

=

=

Q.17. Le vérin doit faire 0,134 m en 0,12 s soit une vitesse de 1,116 m/s = 1116 mm/s → seul le vérin 4 convient cinématiquement.