II Calculs dans un repère du plan

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2^ndeISI Géométrie chapitre 3 _2009-2010

REPÉRAGE DANS LE PLAN

Table des matières

I Repère 1

II Calculs dans un repère du plan 2

II.1 Coordonnées ponctuelles . . . 2 II.2 coordonnées vectorielles . . . 3 II.3 Colinéarité de deux vecteurs . . . 4

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

I Repère

Définition 1

Un triangleOIJ rectangle isocèle enO forme un repère orthonormal du plan(O;I;J) dans lequel :

➤ O est appelé origine du repère,

➤ la droite(OI) est appelée axe des abscisses,

➤ la droite(OJ) appelée axe des ordonnée.

Théorème 1

On munit le plan d’un repère (O;I;J). Chaque pointM du plan est repéré par un couple de nombres M(x;y) ou encoreM

x y

appelé coordonnées du point.xest l’abscisse du point etyest l’ordonnée.

Exemple 1

Placer les points de coordonnées suivantes : A

2 3

B

3

−1

C

−2

−1

D

3 0

E

−2 3

F

0

−1

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

b A

bB

b

C

bD

bE

b F

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(2)

II Calculs dans un repère du plan

II.1 Coordonnées ponctuelles

Propriété 1

Dans le repère (O;I;J), on considère les pointsA(x_A;y_A), etB(x_B;y_B).

♦ Coordonnées du vecteur −−→AB :

x_B−x_A y_B−y_A

,

♦ Coordonnées du milieu I d’un segment [AB] : l

x_A+x_B y_A+2 y_B

2

Ǒ

,

♦ Distance deA à B :d(A;B) =AB=

È

(x_B−x_A)²+ (y_B−y_A)².

Exemple 2

Dans le repère(O;I;J), on considère les pointsA

−3

−2

,B

1

−1

, C

4 4

etD

0 3

. Montrer de deux façons différentes que le quadrilatèreABCD est un parallélogramme

➔ −−→AB

xB−xA

yB−yA

=

1 + 3

−1 + 2

=

4 1

➔ −−→

DC

xC−xD

yC−yD

=

4−0 4−3

=

4 1

➔ −−→AB=−−→DC,

➔ ABCD est donc un parallélogramme.

➔ l

xA+xC

yA+2 yC

2

=

−3 + 4

−2+42

2

!

= 1 21

!

➔ l

xB+xD

yB+2yD

2

=

1 + 0

−1 + 32 2

= 1 21

!

➔ [AC]et[BD] ont le même milieu,

➔ ABCD est donc un parallélogramme.

Quelle est la nature du triangleABD?

➔ AB=

È

(xB−xA)²+ (yB−yA)²=√

4²+ 1²=√ 17,

➔ AD=

È

(xD−xA)²+ (yD−yA)²=√

3²+ 5²=√ 34,

➔ DB=

È

(xB−xD)²+ (yB−yD)²=

È

1²+ (−4)²=√ 17,

➔ AB=DB etAD²=AB²+BD²donc :

➔ ABDest donc un triangle rectangle isocèle enB

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

b

Ib

A

b

B

bC

bD

(3)

II.2 coordonnées vectorielles

Théorème 2

Dans le repère (O;I;J), les coordonnées d’un vecteur −→u sont les coordonnées de l’unique point M tel que−→u =−−→

OM. On note −→u

x y

.

Remarque 1

Bien souvent, on note (O;−→ı;−→) le repère (O;I;J).

Un repère peut ne pas être orthonormé, mais quelconque comme dans l’illustration ci-contre.

0 −→ı

−

→

x

y M

−

→u

Exemple 3

Lire les coordonnées des vecteurs de la figure suivante :

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−

→u

−

→v

−

→w

−

→u

3 2

−

→v

−2 3

−

→w

2

−1

Propriété 2 Soient−→u

x y

,−→v

x^′ y^′

etkun réel

♦ Egalité de deux vecteurs :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égale

−

→u =−→v ⇐⇒

¨

x = x^′ y = y^′

♦ Somme de deux vecteurs :

Le vecteur −→w =−→u +−→v a pour coordonnées −→w

x+x^′ y+y^′

♦ Produit d’un vecteur par un réel : Le vecteur −→w =k−→u a pour coordonnées −→w

kx ky

(4)

Exemple 4

Soient les vecteurs−→u

1

−3

,−→v

5 3

et−→w

5x x+y

alors :

➔ −→v =−→w ⇐⇒

§ 5x = 5 x + y = 3

⇐⇒

§

x = 1 y = 2

➔ −→u +−→v

1 + 5

−3 + 3

=

6 0

➔ −−→u

−1 3

➔ 5−→v

5×5 5×3

=

25 15

➔ −−→u + 5−→v

−1 + 25 3 + 15

=

24 18

II.3 Colinéarité de deux vecteurs

Propriété 3

Les vecteurs non nuls −→u

x y

et −→v

x^′ y^′

sont colinéaires si et seulement si −→v = k−→u c’est-à dire xy^′−yx^′= 0.

En effet : Ceci se traduit au niveau des coordonnées par x^′ = kx et y^′ = ky, autrement dit, les coordonnées de −→u et−→v sont proportionnelles, les produits en croix sont donc égaux : xy^′ =x^′y.

Exemple 5

➔ Les vecteurs−→u

2 4

et−→v

1 2

sont colinéaires car−→u = 2−→v.

Exemple 6

On considère les trois vecteurs du plan suivants : −→u

2

−3

,−→v

−6 9

et−→w

5

−7

.

➔ Les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires car2×9−(−3)×(−6) = 18−18 = 0,

➔ Les vecteurs−→u et−→w ne sont pas colinéaires car2×(−7)−(−3)×5 =−14 + 15 = 16= 0.

Exemple 7

Soient quatre pointsA

1 1

, B

1 3

,C

7 4

etD

5 5

du plan.

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC?

➔ −→

AC

7−1 4−1

=

6 3

,

➔ −−→BD

5−1 5−3

=

4 2

,

➔ XY^′−Y X^′ = 6×2−3×4 = 0.

Les vecteurs−→AC et−−→BD sont colinéaires, les droites(AC)et(BD)sont donc parallèles.

➔ De plus,−→

AC6=−−→

BD;

➔ donc : ABDCest un trapèze 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5

A B

D

C