Étude des fonctions polynomiales

Étude des fonctions polynomiales

Exercice 1

Précisez pour chacune des expressions suivantes si elle est un polynôme du second degré (trinôme) et si oui, donner la valeur de chacun de ses coefficients.

a. f (_x)_=4x²_−2x+6 ; b. g(_x)_=−5x²_+4x−3 ; c. h(x)=x+9 ; d. j(_x)_=x²₊₄ ; e. k(x)=(x+2) (x−3) ; f. l(x)=(x+4)². Exercice 2

1. Soit le fonction f définie sur ℝ par f (x)=3x²−30x+83 . a. Déterminer les coefficients a, b et c de f .

b. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole associée à f . Précisez si f admet un minimum ou un maximum.

2. Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x)=−x²−8x−15. a. Déterminer les coefficients a, b et c de g .

b. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole associée à g. Précisez si g admet un minimum ou un maximum.

Exercice 3

Soit la fonction h définie sur ℝ par h(x)=−2x²+10x−7 . Construire la représentation graphique de h.

Exercice 4

On reprend les fonctions f (x)=3x²−30x+83 et g(x)=−x²−8x−15 des exercices 2 et 3.

1. Vérifier que pour tout x réel, on a f (x)=3(x−5)²+8 et g(x)=−(x+4)²+1 . 2. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole associée à f puis à g. Exercice 5

Chacune des fonctions polynômes suivantes est donnée sous sa forme canonique. Donner les coordonnées du sommet pour chaque parabole, et précisez l'extremum de la fonction.

a. f (x)=2(x−3)²+8 ; b. g(x)=−4(x−2)²−4 ; c. h(x)=8(x+2)²+5 . Exercice 6

Soit la fonction polynomiale f définie sur ℝ par f (x)=−x²+4x−3 . 1. Vérifier que sa forme canonique est : −(x−2)²+1 .

2. Construire alors le tableau de variations de f et préciser l'extremum de la fonction.

Exercice 7

Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par f (x)=3(x+7)²−2 et g(x)=−2(x+4)²+5 . 1. Déterminer la forme développée de f .

2. Donner le tableau de variation de f .

3. Donner les coordonnées du sommet de la parabole associée à f .

Exercice 9

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(x+1)(3x−2)−5(x+1)². 1. Déterminer :

a. La forme développée de f (x). b. La (ou une) forme factorisée de f (x). c. Déterminer la forme canonique de f (x).

2. Répondre aux questions suivantes en choisissant la forme de f (x) qui paraît la plus adéquate.

a. Calculer les images par f de 0, −1 , 2

3 et

√

b. Trouver l’extremum de f sur ℝ. c. Résoudre l’équation f (x)=0 . d. Résoudre l’inéquation f (x)⩽0 . Exercice 10

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

a. x²+5x−6=0 ; b. x²+x+2=0 ; c. 4x²−12x+9=0 ; d. −2x²+3x+4=0 ; e. 3x²+2x+2=0 ; f. x²+4x+4=0 ; g. x²−9x+20=0 ; h. 2x²−7x=0 ; i. 3t²−4t−4=0 . Exercice 11

Soit m∈ℝ et f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x²−(m+1)x+4 .

1. Pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f (x)=0 admet-elle une unique solution ? Que vaut alors cette solution ?

2. Pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f (x)=0 n'admet-elle aucune solution ? Exercice 12

1. On considère le trinôme suivant : (_m+3)_x²₊₂(_3m+1)_x+(_m+3), avec m un réel.

Pour quelles valeurs de m a-t-il une racine double ? Calculer alors la valeur de cette racine.

2. On considère l'équation suivante : (_4m+1)_x²_−4mx−3=0 , avec m un réel.

Pour quelles valeurs de m admet-elle des solutions distinctes ? Exercice 13

C_f et C_g sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur ℝ par f (x)=x² et g(x)=6x−2x².

1. Conjecturer graphiquement l'ensemble des réels x pour lesquels C_g est au-dessus de C_f . 2. Vérifier vos solutions par le calcul.

Exercice 14

Factoriser quand cela est possible les trinômes suivants :

a. f (x)=3x²+2x ; b. g(x)=2x²−9x−5 ; c. h(x)=x²+x+1 ; d. i(_x)_=3x²_+2x−1 ; e. j(_x)_=−3x²_+11x−8 ; f. k(_x)_=2x²_+4x+2 ; g. l(x)=1

2 x²−5

2 x−12 ; h. m(x)=−x²−4 ; i. n(x)=x²−5.

Exercice 15

1. Factoriser les expressions x²+x−2 et −3x²−5x+2 . 2. Résoudre l'équation (E): 1

x²+x−2− 2x

−3x²−5x+2=0 . Exercice 16

Donner le tableau de signe de chacun des trinômes suivants : 1. f (x)=x²+2x−3 , ∆=16 , x₁=1 , x₂=−3 .

2. g(x)=x²+2x+1 , ∆=0 , x₀=−1 . 3. h(x)=x²+2 , ∆=−4 .

Exercice 17

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

a. 2x²−3x+4⩾0 ; b. −3x²+30x−75<0 ; c. 7x²+2x−4<0 ; d. −x²−4x+54⩾0 ; e. x²+x−3⩾0 ; f. −3x²+4x−2>0 ; g. (2x−3)(−2x²+5x+3)>0 ; h. 2x²−3x+4⩾5x+6 ; i. 1−4x

x²+x+1⩽0. Exercice 18

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

a. 4x²+3x−20>−2

(

)

x ⩽0 ; c. (3x−2)²>(x+1)² ; d.

(

)(

)

x²−7x+10 <0 ^{; f.} x+4

2x−3+2x−3 x+4 ⩾0 ; g. 7x−10

5x−17⩽ 25(x+2)

10x²−49x+51 ^{; h.}

5

x+7− 2

2x+1> 7 9(x−1) ^. Exercice 19

1. Déterminer les positions relatives de la droite d d’équation y=2x+1 et de la parabole P d’équation y=2x²−9x+13 .

2. Vérifier graphiquement le résultat obtenu en traçant la droite d et la parabole P à l’aide de la calculatrice.

Exercice 20

1. Tracer les paraboles P d’équation y=x²+4x−1 et P' d’équation y=−x²+x+4 . 2. Étudier graphiquement les positions relatives des paraboles P et P' .

3. Retrouver ces résultats par le calcul.

Exercice 21

Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes :

−x²+3x−5 3x²+9x+6

QCM

Pour chaque question, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s).

1. Le polynôme 3x²+6x −1 peut s’écrire :

a. 3(x –1)²−2 b. 3(x+1)²−2 c. 3(x+1)²−4 d. (3(x−1))²−4 2. La forme canonique de f : x→x²+4 est :

a. (x−2)²+4x b. (x+2)²−4x c. x²+4 d. (x−2)+4x 3. Le sommet de la parabole d’équation y=−0, 5(x+2)²−3 est :

a. S(−2; 3) b. S(2 ;−3) c. S(2 ;3) d. S(−2 ;−3)

4. Soit un polynôme ax²+bx+c , défini pour tout réel x.

a. La forme canonique existe toujours. b. Ce polynôme est toujours du second degré.

c. La forme factorisée existe toujours. d. Le signe de ce polynôme est toujours positif.

5. Pour résoudre rapidement l’équation f (x)=0 , on utilise de préférence :

a. La forme développée b. La forme canonique

c. La forme factorisée d. La forme trigonométrique

6. Soit f une fonction polynomiale. On dit que a est racine de f et on a :

a. f (a)=0 b. f (0)=a c. a=0 d. f (x)=0 7. L'expression −x²−9x−20 est strictement positive pour :

a. Aucun réel x b. Tout réel x∈]−5;−4[

c. Tout réel x d. Tout réel x∈]−∞;−5]∪[−4 ;+∞[

8. On considère la fonction définie sur ℝ par f (x)=0 ,1x²+x+3 . a. f (x) est toujours positif b. f (x) peut être nul c. f est strictement croissante d. f est factorisable 9. L’ensemble des solutions de l'inéquation −x²+x+6>0 est :

a. ]−∞;−2[∪]3;+∞[ b. ]−2 ;3[

c. {2;−3} d. ]−∞;2[∪]_−3;+∞[

10. La fonction x→−x²−x : a. A pour maximum 1

4 b. A pour minimum 1

4

c. Est toujours négative d. Est toujours positive

Problèmes

Problème 1 ...Étude économique...

Une unité de production est sous-traitante pour une grande marque de jouets. Elle fabrique des poupées et vend toute sa production. Le coût total de fabrication de q milliers de poupées, exprimé en milliers d’euros (k€), est données par :

C(q)=0, 05q²+q+80 pour q∈[0 ;100]

1. Étude du coût de production.

a. Étudier le sens de variation du coût total.

b. Résoudre l’équation C(q)=480 . En donner une interprétation concrète.

2. Étude de la recette.

Le chiffre d’affaires R obtenu par la vente des q milliers de poupées produites est tel que : R(50)=300 et R(60)=360

C’est-à-dire que 60 milliers de poupées apportent 360k€ de recette. Sachant que le chiffre d’affaires est une fonction affine de la quantité, déterminer cette fonction affine R .

3. Étude du bénéfice.

On considère la fonction B définie sur [_{0 ; 100}] par : B(_q)_{=−0 , 05q}²_{+5q −80}.

a. Établir que la fonction B est la fonction bénéfice de cette usine pour la production et vente de q milliers de poupées, exprimée en k€.

b. Déterminer le sens de variation de B . En déduire le nombre de poupées à produire pour que le bénéfice soit maximal. Donner la valeur de ce bénéfice maximal.

c. Déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (c’est-à-dire telle que B(q) soit supérieur à zéro).

Problème 2 ...Boulette de papier...

Julie lance une boulette de papier en direction d'une corbeille ayant une forme cylindrique.

La trajectoire de la boulette est donnée par la parabole d'équation y=−0 ,16x²+0 , 48x+1 ,08 . x correspond à la distance en mètres entre Julie et la boulette, et y à la hauteur en mètres de la boulette par rapport au sol.

Le premier rebord de la corbeille se situe à 4 mètres de Julie, les rebords de la poubelle ont une hauteur de 40 centimètres et la corbeille a un diamètre de 30 centimètres.

1. La boulette passera-t-elle au-dessus du premier rebord de la corbeille ?

2. S'il n'y avait pas eu la corbeille, déterminer à quelle distance de Julie la boulette serait tombée par terre.

3. La boulette tombera-t-elle dans la corbeille ? Problème 3 ...Somme et produit...

Trouver deux entiers dont la somme est égale à 40 et le produit à 375.

Problème 4 ...Rentabilité...

Un artisan fabrique des boîtes à bijoux en bois. Il peut en fabriquer jusqu'à 150 par mois. On suppose que toute la production est vendue, et chaque boîte est vendue 50€.

Le coût de fabrication en euros de x boîtes est donné par la fonction f (_x)_{=0 , 23x}²_+4x+300. 1. Quel est le coût de fabrication de 20 boîtes ?

2. On note R(x) la recette, en euros, engendrée par la vente de x boîtes. Exprimer R(x) en fonction de x.

3. Montrer que le bénéfice, en euros, engendré par la vente de x boîtes est donné par la fonction B définie sur [0 ;150] par B(x)=−0 , 23x²+46x−300.

4. Quel est le bénéfice réalisé pour la vente de 20 boîtes ? 5. Étudier les variations de B sur [0 ;150].

6. En déduire le bénéfice maximal de l'artisan. Pour combien de boîtes est-il obtenu ?

7. Déterminer, lorsque cela est possible, le nombre de boîtes à produire et vendre pour obtenir un bénéfice de 1425€ et 3000€.

8. Combien de boîtes l'artisan doit-il fabriquer et vendre pour être rentable ? Problème 5 ...Équation de degré 4...

1. On veut résoudre l'équation (_E)_{: x}⁴_−6x²₊₈₌₀. a. Poser X=x² dans l'équation.

b. Résoudre l'équation X²−6 X+8=0 . c. En déduire les solutions de l'équation (E).

2. Avec la même méthode, résoudre les équations suivantes : a. x⁴−2x²−8=0 ; b. x⁴+x²+1=0 .