Thème 16: Les annuités, les remboursements et le leasing

Texte intégral

(1)

Thème 16: Les annuités, les remboursements et le leasing

16.1 Les annuités (rentes)

Introduction : Dans les chapitres précédents, nous avons analysé la croissance d’un capital placé en un seul versement pour une durée donnée.

Dans la pratique, on constitue plutôt un capital par des versements périodiques qu’on appelle annuités.

À l’origine, le terme annuités désignait des versements annuels.

C’est devenu un terme générique qui désigne tout paiement périodique.

On distingue toutefois les versements mensuels qu’on appelle mensualités.

Définition : On appelle annuités (ou rentes) une suite de versements égaux que l’on fait à intervalle de temps régulier pour constituer un capital ou rembourser un emprunt.

Modèle 1 : Vous décidez de constituer un capital en faisant 4 annuités au début de chaque année de 500 CHF. Les sommes sont bloquées et rémunérées au taux annuel de 3%. De quelle somme pourrez- vous disposer au moment du dernier versement ?

• Tableau de l'évolution du capital total.

Capital avant annuité

n° de

l'annuité annuité Capital après

annuité Valeur acquise

• Diagramme:

• Calculs:

(2)

Exercice 16.1: Afin de constituer un capital, vous décidez de verser 5 annuités de 900 CHF au taux annuel de 1,5%. Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement ainsi que le montant total des intérêts perçus.

On demande les 3 étapes proposées ci-dessus

Exercice 16.2: En versant 3 annuités de 5'000 CHF, en début d'année, capitalisée au taux annuel de 2,25%, déterminer:

a) La valeur acquise au moment du dernier versement.

b) La valeur acquise un an après le dernier versement.

Modèle 2 : Vous décidez de constituer un capital en faisant 8 annuités au début de chaque année de 500 CHF. Les sommes sont bloquées et rémunérées au taux annuel de 3%. De quelle somme pourrez- vous disposer au moment du dernier versement ?

a) Proposer le calcul permettant de calculer cette somme.

b) Ce calcul étant laborieux à faire à la calculatrice, utiliser cette fameuse formule:

1+x+x2+x3+…+xn =xn+1−1 x−1

Exercice 16.3: En utilisant cette même formule, déterminer la valeur acquise au moment du dernier versement d'une suite de 8 versements annuels de 150 CHF rémunéré au taux annuel de 2,5%.

(3)

Formule : Montrer que:

1+x+x2+x3+…+xn =xn+1−1 x−1

Formule : La valeur acquise A au moment du dernier versement de n annuités a rémunéré au taux de t est donné par:

A=a⋅(1+t)n−1 t Preuve:

(4)

Modèle 3 : Vous décidez de constituer un capital en faisant 4 annuités au début de chaque année de 500 CHF. Les sommes sont bloquées et rémunérées au taux annuel de 3%. De quelle somme pourrez- vous disposer au moment du dernier versement ?

Exercice 16.4: Une personne place CHF 2'500 chaque année, de 2001 à 2004 sur un compte rémunéré à 5% par an. Quelle est la valeur acquise au moment du dernier placement ?

Exercice 16.5: On a déposé le 1er janvier 2016, puis chaque année, CHF 5000.- sur un compte rémunéré à 3% par an. De combien disposera-t- on au 1er janvier 2021 ?

Exercice 16.6: Pour améliorer sa pension de retraite, M. Jean se constitue un capital en versant chaque année 5'000 CHF et cela pendant 15 ans. Les sommes sont bloquées et rémunérées au taux annuel de 6,5%.

De quelle somme disposera-t-il au moment du dernier versement ?

Exercice 16.7: On souhaite composer un capital CHF 10'000 le 1er février 2016. Quelle somme doit-on placer au taux de 3%/an, chaque année, du 1er février 2013 au 1er février 2016 (inclus) pour composer le capital ?

(5)

Exercice 16.8: Dans le but de constituer un petit capital d'environ CHF 16'000, vous déposerez à chaque début d'année la somme de 1500.- à un taux de 8%. En commençant l'opération le 1er janvier 2017, déterminer en quelle année vous aurez cette somme à disposition.

Exercice 16.9: Transformer la formule des annuités A=a⋅(1+t)n−1 t afin d'isoler: a= … et n= …

Justifier pourquoi il ne sera pas possible d'isoler t= …

Exercice 16.10: Un capital de CHF 120'000.- doit être constitué (au moment du dernier versement) par des annuités de CHF 10'000.-. Le taux d'intérêt est de 3 %/an.

a) Combien de versements (annuités) doit-on effectuer ?

b) Si nécessaire, on complétera éventuellement avec un versement supplémentaire au moment du dernier versement.

Quel sera alors ce versement supplémentaire ?

Exercice 16.11: J'ai décidé d'effectuer chaque 1er janvier depuis le 1er janvier 2000 un versement de CHF 2000.- sur un compte.

Celui-ci était rémunéré à 3% du 1er janvier 2000 au 1er janvier 2005.

Depuis cette date, il a été rémunéré à 4%.

De combien d'argent ai-je disposé le 1er janvier 2013 au moment de mon versement ?

Exercice 16.12: On verse CHF 500.- chaque mois pendant 12 mois à un taux d'intérêt annuel de 5%.

a) Montrer que le taux mensuel équivalent est d'environ 0,407%.

b) De quelle somme disposera-t-on au moment du dernier versement ?

c) De quelle somme disposera-t-on trois mois après le dernier versement ?

Exercice 16.13: Après 7 versements annuels de CHF 2000.-, une personne a composé un capital de CHF 15'418.- A quel taux (approximatif) était placé son argent ?

(6)

16.5 Les emprunts

Modèle 4 : Une banque me prête aujourd'hui de l'argent à un taux de 5% par an. Je la rembourserai par quatre versements de CHF 2'500 par an, le premier versement étant dans une année. Combien la banque m'a-t-elle prêtée aujourd'hui ?

Exercice 16.14: Pour acheter une voiture, on paie une partie comptant et une partie à crédit. On rembourse 1'460,23 CHF par mois pendant 18 mois, le premier versement intervenant 1 mois après l’achat.

Calculez la valeur actuelle de ces 18 mensualités si le taux mensuel est de 0,975%.

(7)

Exercice 16.15: Suite à un emprunt, on verse chaque mois, en début de mois, une somme de CHF 1'000.- pendant 24 mois au taux mensuel de 0,5%. Calculer la valeur de l'emprunt.

Formule : Le remboursement d'une dette V0 est donné par la formule:

V0=a⋅(1+t)n−1 (1+t)nt Preuve:

Modèle 5 : Reprendre la donnée des exercices précédents en appliquant la formule.

(8)

Exercice 16.16: Dans la suite de vos études, vous croiserez probablement la formule:

V0 =a⋅1−(1+t)−n t

Montrer que cette dernière est équivalente à celle vue ensemble.

Exercice 16.17: On a emprunté une certaine somme S en janvier 2000, à un taux annuel de 3%. Depuis le 1er janvier 2001 inclus, on a remboursé chaque année 1175,37 CHF. Le dernier remboursement a été effectué le 1er janvier 2013.

Quelle est donc cette somme empruntée ?

Exercice 16.18: Montrer que les n remboursements a à payer pour un taux t permettant d'effacer un emprunt V0 est donné par la formule:

a=V0⋅ (1+t)nt (1+t)n−1

Exercice 16.19: On emprunte CHF 4'000.- sur 3 ans (36 mois) à un taux annuel de 4,5%.

a) Quelle somme devra-t-on rembourser chaque mois ? b) Quel sera alors le montant des intérêts ?

16.6 Le leasing

Définition : Le leasing est une solution de financement permettant l'achat d'un bien. L'exemple le plus fréquent est l'achat d'une voiture.

Le leasing est généralement une affaire conclue entre trois parties:

• le commerçant (le garage);

le donneur de leasing (une société de crédit-bail)

• le preneur de leasing (vous peut-être)

Le terme de leasing peut être traduit par location. Il est important de savoir que le paiement des mensualités n’entraîne pas un transfert du droit de propriété du véhicule au preneur de leasing. Celui-ci est uniquement autorisé à l’utiliser pendant la durée du contrat de leasing.

Lorsque le contrat de leasing arrive à échéance, le preneur de leasing ne peut pas forcément acheter le véhicule utilisé. Les personnes qui souhaitent devenir propriétaires doivent veiller à intégrer une option d’achat dans le contrat. Dans un tel cas, le preneur de leasing paye en général la valeur résiduelle de la voiture à l’échéance du leasing.

(9)

Paramètres du leasing : • P: Le prix net de l'objet, au moment de l'achat (prix catalogue);

• P0: Le premier acompte, versé au moment de l'achat;

• a: Les redevances périodiques (mensualités), la première devant être versée une période (un mois) après la conclusion du contrat;

• R: La valeur résiduelle, c'est-à-dire la valeur possible de rachat au moment du dernier versement;

• t: Le taux d'intérêt;

• n: Le nombre de versements.

Formule générale en fin

de leasing : P(1+t)n=P0(1+t)n+a(1+t)

n−1

t +R

Cette formule étant peu "digeste" à mémoriser, il sera préférable dans les exercices de raisonner sur un diagramme et de reconstituer les étapes de calculs. Observons ceci dans le modèle suivant.

Modèle 6: On souhaite acquérir une voiture dont le prix net est de CHF 25'000.-.

Une société de leasing propose le contrat suivant:

• on verse un acompte de CHF 5'000.-;

• la durée du leasing est de 48 mensualités;

• on pourra racheter la voiture pour CHF 12'000.- à la fin du leasing;

• le taux annuel proposé est de 3,1%.

Quel montant mensuel devra-t-on payer ?

(10)

Exercice 16.20: Vous souhaitez acquérir une voiture dont le prix net est de CHF 10'000.-

Une société de leasing vous propose le contrat suivant:

• vous versez un acompte de CHF 3'000.-;

• vous paierez chaque mois CHF 600.-, dès le mois suivant;

• la durée du leasing est de 10 mensualités;

• le taux annuel proposé est de 2%.

À quel prix pourrez-vous racheter cette voiture à la fin du contrat, au moment du dernier versement ?

Exercice 16.21: Je souhaite acquérir une voiture dont le prix net est de CHF 12'000.-

Une société de leasing me propose le contrat suivant:

• je verse un acompte de CHF 2'000.-;

• chaque mois, dès le mois suivant, je paierai une mensualité;

• la durée du leasing est de 12 mensualités;

• à la fin du leasing, je pourrai racheter la voiture pour CHF 2'000.-

• le taux annuel qui m'est proposé est de 3%.

Calculer le montant des mensualités que je devrai verser.

(11)

Exercice 16.22: Afin d'acquérir une voiture dont le prix net est de CHF 22'000.-

La société de leasing HappyCar vous propose le contrat suivant:

• verser un acompte correspondant à 10% du prix net;

• chaque mois, dès le mois suivant, payer une mensualité de CHF 300.- ;

• la durée du leasing est de 36 mensualités;

• à la fin du leasing, la valeur résiduelle de la voiture sera de CHF 11'268.70

Estimer alors le taux mensuel proposé par la société de leasing.

Indication: Utiliser un tableur (Excel) pour estimer le taux mensuel.

(12)
(13)

EXERCICES Thème 16 A = 4'637.04 CHF a)A = 15'340.03 CHF b)C(1) = A · 1,02251 = 15'685.18 CHF Le premier versement capitalisera pendant n = 7 ans. Ainsi A=150·1,02581 1,0251=1310.42 CHF. A = 10'775.30 CHF A = 32'342.05 CHF A = 120'910.84 CHF a = 2390.27 CHF Il s'agira d'effectuer n = 8 versements. Cette somme sera donc à disposition en 2024. a=At (1+t)n 1 et n=logA·t a+1 log(1+t). Dans la formule d'origine, A=a(1+t)n 1 t, l'inconnue t est à la fois dans la parenthèse et à l'extérieur, il ne sera donc pas possible de l'isoler. Comme il n'y a pas de formule générale pour calculer t, il s'agira de proposer une démarche par tâtonnement. (cf. exercice 16.13) a)n=log(1,36) log(1,03)10,4 versements. Ainsi 10 versements seront insuffisants pour obtenir un capital de CHF 120'000.- b) Le versement supplémentaire doit être de 5361.21 CHF. 1re partie: en 2005: Valeur acquise: A1 = 12'936,82 CHF entre 2005 et 2013: ce capital va encore être capitalisé (intérêt composé) sur les 8 dernières années. On obtient donc: C(8) = 17'704.93. e partie: entre 2006 et 2013: Valeur acquise: A2 = 18'428,45 CHF. J'ai donc disposé au total: 36'133.38 CHF.

QUELQUES RÉPONSES AUX EXERCI 3EC– JtJ 2021

Exercice 16.12: a)t12=1,051210,407% b) A = 6136.15 CHF c) C(3) = 6136,15 · (1,00407)3 = 6211.38 CHF Exercice 16.13: Il s'agit d'effectuer une démarche par tâtonnement sur l'équation: 2'000(1+t)7 1 t=15'418. On obtient t3,2%. Exercice 16.14: V0 = 24'000 CHF Exercice 16.15: V0 = 22'562.87 CHF Exercice 16.16: V0=a(1+t)n1 (1+t)ntV0=a(1+t)n (1+t)nt1 (1+t)nt

V0=a1 t1 (1+t)n·1 t

V0=a1 t(1+t)n 1·1 t ⎝⎜ ⎠⎟V0=a1(1+t)n t ⎝⎜ ⎠⎟ Ou plus rapidement: V0=a(1+t)n1 (1+t)ntV0=a(1+t)n1 (1+t)nt·(1+t)n (1+t)nV0=a1(1+t)n t Exercice 16.17: S = V0 = 12'500.01 CHF Exercice 16.18: De V0=a(1+t)n1 (1+t)nt, on obtient directement a=V0(1+t)nt (1+t)n1. Exercice 16.19: a) Somme à rembourser chaque mois: a118.83 CHF avec un taux mensuel équivalent de 0,3675% b) Montant des intérêts: 277.75 CHF. Exercice 16.20: R1'071.68 CHF Exercice 16.21: a682.33 CHF Exercice 16.22: Exercice BONUS

Figure

Updating...

Références

Updating...

Sujets connexes :