MATHEMATIQUES FINANCIERES Le temps, c'est de l'argent
Si un capital est placé pendant "un temps assez long", on utilise les intérêts composés.
En règle générale, à moins d'être complètement étranger aux règles de la finance, si on place un capital, c'est pour en obtenir un plus élevé au bout du temps de placement.
Ce temps de placement est exprimé en périodes qui peuvent être l'année, le mois, la quinzaine, le trimestre...
Au bout de la période de placement, on intègre les intérêts ainsi produits au capital initial : on dit que l'on capitalise les intérêts.
Si la même opération est recommencée plusieurs fois de suite, on voit ainsi que les intérêts produits lors de la première période, une fois intégrés au capital initial, produisent à leur tour des intérêts lors de la deuxième et ainsi de suite : c'est le système des intérêts composés.
Chapitre 2. Valeur acquise par un capital 2.1. Introduction
Vous placez un capital de 500 € pendant une période d'un an à 10 % par an, vous obtenez au bout d'un an 50 € d'intérêts. Capitaliser l'intérêt, c'est placer pendant la deuxième année les 500 € initiaux augmentés des 50 € d'intérêts, soit 550 €. Ces 550
€ produiront à leur tour 55 € d'intérêts la deuxième année, et ainsi de suite.
550 € sont la valeur acquise par le capital de départ au bout d'un an de placement, 605 € sont la valeur acquise par le capital de départ au bout de deux ans de placement, etc.
Nous allons formaliser cette évolution du capital de départ. Ceux d'entre vous qui maitrisent bien les suites reconnaitront l'utilisation des suites géométriques, mais aucune démonstration ne sera effectuée.
2.2. Formules de calcul
2.3.1. Exemple 1
Un capital initial de 70 000 € est placé à intérêts composés pendant 6 ans au taux annuel de 3%. Calculons le capital final obtenu :
Le capital final obtenu est de 83583,66 €.
Remarque : bien faire attention à ce que la période soit la même dans le taux annoncé et dans le nombre de périodes de placement (ici, c'est l'année).
2.3.2. Exemple 2
Un capital final de 103415 ,50 € a été obtenu au bout de 5 années de placement au taux annuel de 4%. Calculons le capital initial :
Le capital initial était donc de 85000 €.
Remarque : on révisera à cette occasion l'utilisation des exposants négatifs...
2.3.3. Exemple 3
Un capital de 83000 € a été placé au taux de 3,5% l'an pendant n années. Le capital final obtenu est de 109295,15 €. Calculons le nombre d'années de placement :
Le nombre d'années de placement est de 8 ans.
Remarque : La différence entre 7,999999 et 8 est infime c'est pour cela que l'arrondi est possible, ce ne sera pas toujours le cas...
2.3.4. Exemple 4
Un capital de 153 000 € est placé pendant 10 ans au taux annuel de i% . Le capital final obtenu est de 224509,11 €. Calculons le taux annuel de placement :
Le taux annuel de placement est de 3,9%.
Remarque : On utilise ici la fonction Exponentielle qui est la fonction réciproque de la fonction Logarithme Népérien. Pour ceux d'entre vous qui maitrisent mal cette fonction, la seule manipulation qui vous est demandée est : connaissant Ln(x), savoir trouver x à la calculatrice.
Ainsi, si Ln(x)=3, x= 20,08553...entrainez vous!
Il existe une autre solution, équivalente du point de vue mathématique, peut être plus facile pour les "non matheux":
Chapitre 3. Valeur actuelle d'un capital 3.1. Introduction
Nous venons de calculer la valeur du capital final en fonction du capital initial. On peut aussi calculer la valeur du capital initial en fonction du capital final (nous l'avons fait dans l' exemple 2).
Cette opération s'appelle
l'actualisation
.Le
capital initial ainsi calculé se nommera valeur actuelle du capital
final.3.2. Formules de calcul
La formule de calcul : devient alors :
On connait la valeur future ou finale du capital et on cherche à connaitre la valeur aujourd'hui (actuelle) de ce même capital.
Les exemples ne sont pas très différents de ce que vous avez vu au chapitre 2, mais la logique l'est.
Il faut retenir que
la notion de capital est liée à la notion de temps
, que l'on aille dans le sens "normal" ou que l'on remonte celui-ci.Un capital énoncé sans date ne veut rien dire...
Un
capital peut donc prendre plusieurs valeurs
nominativesen fonction de la date
à laquelle il est calculé.3.3.1. Exemple 1
Un capital aura une valeur de 15000 € dans quatre ans. Le taux annuel de placement est de 4,1%. Calculons la valeur actuelle de ce capital :
La valeur actuelle du capital de 15000 € dans quatre ans au taux annuel de 4% est de 12772,87 €.
3.3.2. Exemple 2
Je cherche à vous vendre une magnifique collection "l'encyclopédie du savoir des hommes de la préhistoire" en 44 volumes. Vous n'êtes pas très convaincu(e), aussi je vous propose le choix entre plusieurs modes de paiement :
• Vous payez tout de suite (hors délai légal de 7 jours) la modique somme de 2435 €.
• Vous payez 1000 € aujourd'hui, 1000 € dans un an, 800 € dans deux ans, le taux annuel étant de 12,5% (crédit personnel à ce taux là parce que c'est vous, bien sûr...) .
Comparons les deux modes de paiement :
Dans le premier cas, c'est évident, vous payez aujourd'hui 2435 €.
Dans le deuxième, il ne faut pas additionner les sommes indiquées : elles ne sont pas calculées aux mêmes dates!!!
Il faut donc actualiser
les capitaux énoncés pour pouvoir en connaitre la valeur aujourd'hui, puis additionner, et enfin comparer aux 2435 € du premier mode de paiement.Faisons le :
La valeur actuelle de 1000 € dans un an au taux annuel de 12,5% est de : 888,89 € (faire comme dans l'exemple 1).
La valeur actuelle de 800 € dans deux ans au taux annuel de 12,5% est de : 632,10 €.
On peut donc ajouter aujourd'hui, 1000+888,89+632,10=2520,99 Dans le deuxième cas, cela revient à payer aujourd'hui, 2520,99 €.
On doit donc comparer aujourd'hui 2435 € et 2520,99 €
3.3.3. Exemple 3
Vous souhaitez obtenir dans cinq ans un capital de 7000 €. Vous avez la possibilité de placer 3000 € aujourd'hui. Le placement se fait au taux annuel de 2,5%. Calculons le capital à placer dans un an pour obtenir satisfaction :
• Tout d'abord,
il faut calculer tous les capitaux à la même date
: ce peut être l'année prochaine, au moment de placer la deuxième partie. Il faut donc calculer la valeur acquise par 3000 € dans un an et la valeur à l'origine des 7000 € quatre ans avant.• 3000 € ont une valeur acquise dans un an de 3075 €.
• 7000 € ont une valeur à l'origine quatre ans avant de 6431,65 € Dans un an le capital à placer sera de 6431,65 €-3075 € = 3266,65 €
Remarque : Comme dans tout calcul de ce type, il faut
• Choisir une date commune pour calculer tous les capitaux ,
• effectuer les additions soustractions, comparaisons...à cette date là, sur les capitaux ainsi calculés.
3.3.4. Exemple 4
Petite révision:
Vous voulez obtenir un capital de 12 000 €, à une date encore indéterminée. Vous avez effectué un placement aujourd'hui de 11 000 €. Le taux de placement est de 3%
l'an. Calculons le nombre d'années de placement :
On obtient 2,94 années, qu'il ne faut surtout pas convertir en 2 ans, 11 mois...
En effet le taux annoncé est annuel, donc le problème énoncé de cette manière n'est pas possible !
Que peut-t'on faire ? (le client attend et il n'est pas trop patient...)
• On peut lui proposer de placer 11 000 € pendant trois ans, ce qui fera une valeur acquise de 12020 € ,
• On peut calculer la valeur actuelle de 12 000 €, cette somme étant perçue dans trois ans : On obtient 10 981,70 €. Cela signifie que le client verse aujourd'hui 10 981,70 € et qu'il aura 12 000 € dans trois ans.
• Exercez vous à faire la même opération si la durée est de 2 ans...
Chapitre 4. Taux proportionnels, taux équivalents 4.1. Périodes et taux
Les taux de placement ou de crédit sont le plus souvent exprimés en taux annuels.
Cependant, il est souvent possible de rembourser un prêt par mensualités ou trimestrialités. De même, renseignez vous sur les périodes de capitalisation lorsque vous effectuez un placement : celles-ci vont de la quinzaine à une période de trois ans...
Il devient indispensable de connaitre les systèmes de correspondance entre le taux annuel et le taux mensuel, ou trimestriel, ou tri-annuel. Il existe deux systèmes de correspondance : le taux proportionnel et le taux équivalent, que nous allons décrire dans les paragraphes suivants.
Remarque : La loi précise dans quels cas il est possible d'utiliser l'un ou l'autre de ces systèmes, ce n'est pas l'objet de ce cours, contactez le professeur de comptabilité...
4.2. Le taux proportionnel
Tout d'abord, précisons les notations utilisées, qui seront les mêmes pour les deux systèmes de conversion :
Le système de correspondance proportionnel est caractérisé par la formule :
Il est la plupart du temps seulement utile de connaitre la correspondance entre le taux annuel et les autres :
On voit ainsi que pour obtenir le taux mensuel à partir du taux annuel, il suffit de diviser par 12 .
Le grand avantage de ce système, c'est qu'il est très simple, l'inconvénient majeur, c'est qu'il est mathématiquement faux...(voir les exemples).
4.3. Le taux équivalent
Le principe est : des taux équivalents donnent des résultats identiques mathématiquement. Par exemple, placer un capital C au taux annuel i pendant trois ans donnera le même résultat (la même valeur acquise) que de placer le même capital C au taux mensuel équivalent pendant 36 mois.
Pour comprendre le système traitons l' exemple cité ci-dessus et calculons les valeurs acquises dans les deux cas :
En généralisant, on obtient :
C'est un peu plus compliqué que le taux proportionnel, mais c'est juste mathématiquement...
4.4.1. Exemple 1
1. Calculons le taux mensuel équivalent au taux annuel de 12%.
2. Calculons aussi le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12%.
3. Calculons ensuite la valeur acquise par un capital de 10 000 € placé pendant 4 ans en utilisant chacun de ces taux.
Le taux mensuel équivalent au taux annuel de 12% est :
Le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 12% est de 1%.
En utilisant le taux annuel, la valeur acquise est :
En utilisant le taux mensuel équivalent, la valeur acquise est de : On voit bien que les valeurs sont égales...
En utilisant le taux proportionnel, la valeur acquise est de :
Faux avec une différence non négligeable !
4.4.2. Exemple 2
Un capital de 45 000 € placé pendant trois ans et demi a une valeur acquise de 50 000 €. Le taux de placement est mensuel. Calculons ce taux et ensuite, calculons le taux annuel équivalent.
Faire la même opération avec le taux semestriel (trois ans et demi = 7 semestres).
Vérifier que le résultat est le même...
Calculons le taux mensuel :
Le taux mensuel est de 0,002511%.
Le taux annuel équivalent est donc de : Soit 3,06% arrondi.
Calculons le taux semestriel :
Le taux annuel équivalent est donc de :
Le résultat est le même .
4.4.3. Exemple 3
Un Capital de 12000 € placé à 3,6% annuels a une valeur acquise de 13701,89 €.
Calculons le nombre de mois de placement, sachant que la période de capitalisation est mensuelle.
La période de capitalisation est mensuelle, calculons donc le taux mensuel équivalent :
(Comme toujours, garder toutes les décimales).
A ce stade du cours, vous devez être capable de calculer le nombre de mois : il est égal à 45. (Sinon, revenir au chapitre 2).
Vérifiez en calculant la valeur acquise par 12 000 € en 45 mois au taux mensuel de 0,295...%.
4.4.4. Exemple 4
Vous faites un placement de 4000 € aujourd'hui. Vous refaites un placement de 5000
€ dans trois mois et un dernier placement de 3400 € dans six mois. Calculons la valeur acquise par ces trois placements dans deux ans. Le taux annuel est de 4 %, mais la période de capitalisation est tous les trois mois.
La période de capitalisation est le trimestre, calculons le taux trimestriel équivalent :
Le premier placement dure pendant 2 ans, soit 8 trimestres, sa valeur acquise est de : 4326,40 €
Le deuxième placement dure pendant 7 trimestres, sa valeur acquise est de : 5355,23
€
Le troisième placement dure pendant 6 trimestres, sa valeur acquise est de : 3606,03
€
Comme ces capitaux sont calculés aux mêmes dates, on peut additionner : La valeur acquise par ces trois versements est de 13287,66 €
Tableaux d'amortissement
Dans le cadre de la maîtrise et de l'utilisation des outils de gestion, vous devez mesurer et analyser les performances financières. La réalisation de tableaux d'amortissement d'emprunts en est une des facettes. .
prérequis :
• Il faut avoir étudié et bien maitriser les intérêts composés et les annuités constantes.
• Il faut maitriser l'usage de la calculatrice...et ne pas être trop nul sur un tableur
! Objectifs :
Appréhender les effets du temps sur les flux financiers.
Compétences :
Réaliser un tableau d'amortissement d'emprunt (à la main ou sur un outil de calcul) à annuités constantes. On peut penser que réaliser un tel tableau dans le cas des amortissements constants n'est pas insurmontable...
Introduction
Si un capital K est prêté par un seul organisme, l'emprunt est appelé indivis. Nous n'envisageons que ce type d'emprunt.
Il est d'usage, lorsqu'un emprunt est contracté de le rembourser...par exemple en effectuant des versements réguliers, que l'on appelle des annuités. Dans le cas général, ces annuités ne sont pas constantes, mais toutes les règles générales s'appliqueront au cas particulier des annuités constantes.
Ces annuités quelconques pourront se noter : Ces annuités se décomposent en deux parties :
Une première partie destinée à rembourser une partie du capital emprunté : l'amortissement, noté :
Une deuxième partie constituée de l'intérêt produit par le capital restant du pendant la période correspondante à l'annuité.
Tous ces éléments successifs seront notés dans un tableau que l'on appellera le tableau d'amortissement de l'emprunt.
Enfin, notons qu'il existe toujours une période entre le versement du capital emprunté et le versement de la première annuité.
1. Première loi
Le capital emprunté est égal à la valeur à l'origine des annuités :
Rien de nouveau sous le soleil, en effet pour rembourser un emprunt, nous avons toujours utilisé cette loi (revoir le chapitre sur les annuités) .
Comme les annuités ici ne sont pas forcément constantes, cette loi dans le cas général s'écrit :
Les plus rebutés par le calcul mathématique peuvent dans le cadre du programme laisser cette formule de côté, il leur suffira de savoir comment elle se traduit dans les annuités constantes.
2. Deuxième loi
La dette restante (on dit souvent encore vivante) après le paiement de l'annuité numéro p est égale à la valeur à l'origine calculée à cette date des n-p annuités restantes.
Notation : Dp sera la dette restante après le paiement de p annuités.
Reprenons cette deuxième loi :
Vous avez payé p annuités , qui ont en partie servi à rembourser le capital emprunté.
Ce qui parait logique c'est que les annuités restantes (il y en a n-p) servent à rembourser le reste du capital, soit Dp.
Nous avons vu à la leçon sur les annuités que le capital emprunté était égal à la valeur à l'origine des annuités : La deuxième loi ne dit pas autre chose, mais elle le répète après chaque annuité...
Une autre façon d'expliquer cette deuxième loi consiste à faire comme si, après chaque annuité, le client empruntait de nouveau le capital restant dû Dp et le
remboursait en n-p annuités.
3.1. Cas général
Cette page est destinée à être imprimée, pour pouvoir écouter les commentaires oraux pas à pas et un crayon à la main.
Tableau d'amortissement : cas général Période Dette au début de
la période
Intérêt de la période
Amortissement
de la période Annuité
1 2
...
p P+1
...
n
3.2.1. Calcul de l'annuité
Lorsque les annuités sont constantes, nous savons que la valeur à l'origine de celles-ci est donnée par la formule : , nous pouvons donc en déduire que :
Le montant de l'annuité constante pour un capital emprunté égal à K est :
Revoyez les exemples donnés dans la leçon sur les annuités constantes pour refaire quelques calculs d'annuités...
3.2.2. Le tableau d'amortissement
Cette page est destinée à être imprimée, pour pouvoir écouter les commentaires oraux pas à pas et un crayon à la main.
Tableau d'amortissement : annuités constantes Période Dette au début de
la période
Intérêt de la période
Amortissement
de la période Annuité
1 a
2 a
...
p a
P+1 a
...
n a
3.2.3. Exemple
Un capital de 6000 € est remboursé en 4 annuités constantes, au taux annuel de 3,5%. Construisons le tableau d'amortissement correspondant :
Tout d'abord, il faut calculer l'annuité, on utilise donc la formule : d'où :
Tableau d'amortissement : exemple Période Dette au début de
la période
Intérêt de la période
Amortissement de
la période Annuité
1 6000 6000 x 0,035=210 1633,51-210=1423,51 1633,51
2 6000-
1423,51=4576,49
4576,49 x 0,035=160,18
1633,51-
160,18=1473,33 1633,51 3
4576,49-1473,33=
3103,16
3103,16 x 0,035=
108,61
1633,51-
108,61=1524,90 1633,51 4
3103,16-1524,90 = 1578,26
1578,26 x 0,035=
55,24
16633,51-55,24=
1578,27 1633,51
