Séance du 08 Mai 2020

Cours de Mathématiques financières

Séance du 08 Mai 2020

• Cette séance est consacrée à quelques

exercices issus d’examens précédents.

Exercice

• Un capital est constitué de la manière suivante: 5 versements annuels de 100000DH suivis par 4 versements annuels de 200000DH suivis par 3 versements annuels de 100000DH.

• Calculer la valeur acquise par ce capital un an

après le dernier versement sachant que le

taux d’intérêts annuel est de 9% (le système

utilisé est celui des intérêts composés).

Ø La valeur acquise est donnée par la formule :

i i

a ^{( 1 + ) - 1}

= ^´

n

V A

Pour les 5 premiers versements annuels de 100000DH, on obtient une valeur acquise :

V_A1 = (100000 * (1,09⁵ – 1) / 0,09) * 1,09⁸

8 : le nombre d’années de capitalisation après la dernière annuité des 5 premiers versements (4 + 3 + 1 = 8)

Pour les 4 versements annuels de 200000DH, on obtient une valeur acquise : V_A2 = (200000 * (1,09⁴ – 1)/0,09) * 1,09⁴

4: 3 + 1

Pour les 3 versements annuels de 100000DH, on obtient une valeur acquise : V_A3 = (100000 * (1,09³ – 1) / 0,09) * 1,09¹

1 : un an après le dernier versement de la troisième suite d’annuités La valeur acquise totale = la somme V_A1 + V_A2 + V_A3

Je vous laisse le soin de faire les calculs.

(voir schéma récapitulatif dans la diapo suivante)

Schéma récapitulatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

100000 100000 100000 100000 100000 200000 200000 200000 200000 100000 100000 100000

V_A 8 ans

4 ans

1 an

Exercice

• Un emprunt est remboursé de la manière suivante: 5 versements annuels de 100000DH suivis par 4 versements annuels de 200000DH suivis par 3 versements annuels de 100000DH.

• Calculer le montant de cet emprunt sachant

que le taux d’intérêts annuel est de 8% (le

système utilisé est celui des intérêts

composés).

Ø La valeur actuelle est donnée par la formule :

i i

a ⁿ

V a ^{= ´ 1 - ( 1 + ) -}

Soit D₀ le montant de cet emprunt : D₀ = V_a1 + V_a2 + V_a3 V_a1 = 100000 * (1 – 1,08^-5) / 0,08)

V_a2 = (200000 * (1 – 1,08^-4) / 0,08) * 1,08^-5 V_a3 = (100000 * (1 – 1,08^-3) / 0,08) * 1,08^-9

(^-5 ; ^-9 : on actualise par rapport à la date 0)

(voir schéma récapitulatif dans la diapo suivante)

Schéma récapitulatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

100000 100000 100000 100000 100000 200000 200000 200000 200000 100000 100000 100000

V_a

9 ans

5 ans

Exercice

• Une personne place sur un compte lui

rapportant 8%, 5 annuités de 10000 DH. Trois

années après le dernier versement, elle retire

9000 DH, et deux années plus tard, place trois

annuités de 5000DH. L’année qui suit le

dernier versement, cette personne décide de

clôturer son compte. Calculer le montant du

dernier retrait.

Immédiatement après le dernier versement, la valeur acquise est : (fin de période) V_A1 = 10000 * (1,08⁵ – 1) / 0,08

Trois années après le dernier versement, la valeur acquise devient : V_A2 = V_A1 * 1,08³

Après le retrait de 9000 DH, la nouvelle valeur est : V_A3 = V_A2 – 9000

Deux années plus tard, cette somme devient : V_A4 = V_A3 * 1,08²

En parallèle, elle place trois annuités de 5000 DH, soit une valeur acquise : V_A’ = 5000 * (1,08³ - 1) / 0,08

Cette valeur acquise V_A’ vient s’ajouter à V_A4 * 1,08³ . Ce qui nous donne un total de :

V_A5 = (V_A4 * 1,08³) + V_A’

Une année plus tard (clôture du compte), la valeur acquise devient : V_A6 = V_A5 * 1,08

V_A6 est le montant du dernier retrait.

• Fin de la séance