Licence 3 Mathématiques

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Statistique: TD

Ex 1. Soit X1, ..., Xn des v.a. réelles iid telles que var(Xi) = σ² < ∞. On pose θ = E(X1) et θbn= _n¹Pn

i=1Xi.

1. Montrer queθbn est un estimateur sans biais de θ.

2. Montrer qu'il est consistant en précisant sa vitesse de convergence.

3. Montrer qu'il converge également en moyenne quadratique.

Ex 2. SoitX1, ..., Xn iid de uniforme sur[0, θ].

1. Calculer l'estimateur bθ_{M M} deθ par la méthode des moments.

2. Montrer queθe:= max{X1, ..., X_n} converge en probabilité (et même presque sûrement) versθ. 3. Calculer la limite en loi den(θ−θ)e.

4. Comparer les biais et vitesses de convergence deθb_{M M} et eθ. Lequel vous semble meilleur?

Ex 3. SoitX1, ..., Xn iid de densitéfθ(x) =θ/x^θ+11{x >1}oùθ∈Θest un paramètre inconnu.

1. On suppose Θ =]1,+∞[. Après avoir calculer l'espérance de X1, proposer un estimateur deθ par la méthode des moments et montrer qu'il est consistant.

2. On suppose maintenant queΘ =]0,+∞[. L'estimateur précédent est-il toujours consistant?

3. Calculer la loi de Yi= 1/Xi.

4. En utilisant l'échantillonY1, ..., Ynproposer un nouvel estimateur deθpar la méthode des moments.

5. Montrer qu'il est consistant pourΘ =]0,+∞[.

6. Ecrire les vraisemblances pour les échantillonsX = (X₁, ..., X_n)et Y = (Y₁, ..., Y_n).

7. Justier que l'estimateur du maximum de vraisemblance est le même pour les deux échantillons.

8. Montrer qu'il est consistant en précisant sa vitesse de convergence.

Ex 4. SoitX1, ..., Xn iid de loi log-normale de densité

fθ(x) = 1 x√

2πexp

−(log(x)−θ)² 2

1{x >0},

avecθ∈R.

1. Proposer l'estimateur θb_{M M} deθ par la méthode des moments, basé sur le moment d'ordre1. 2. Montrer qu'il converge presque sûrement versθquand n→ ∞.

3. Calculer l'estimateur bθM V du maximum de vraisemblance deθet déterminer sa loi.

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Ex 5. SoitX₁, ..., X_n un échantillon de variables aléatoires réelles iid de fonction de répartitionF. 1. Rappeler la dénition de la fonction de répartition empiriqueFn.

2. Soitx∈R, quelle est la loi deFn(x)?

3. Soient x, ydeux réels, calculer la covariancecov(F_n(x), F_n(y)). 4. Donner la loi asymptotique de √

n F_n(x)−F(x).

Ex 6. SoitX1, ..., Xn iid de fonction de répartitionF. On veut estimerF(x)² pourx∈R.

1. Calculer l'espérance deF_n(x)².

2. En déduire un estimateur sans biais deF²de la forme αnF_n²+βnFn oùαn, βn sont des réels.

3. Déterminer la limite en loi de √

n(Fn(x)²−F(x)²) quand n→ ∞ (indication: écrire F_n² =F²+ 2F(Fn−F) + (Fn−F)²).

Ex 7. SoitX une variable aléatoire de fonction de répartitionF quelconque.

1. Montrer queF⁻(α) = inf{x∈R:F(x)≥α} est bien un quantile d'ordreα.

2. Donner un exemple de fonction de répartition pour laquelle la médianeq0.5 n'est pas unique.

3. Donner un exemple pour lequel le premier quartileq_0.25vérie simultanément les inégalités strictes P(X ≤q0.25)>0.25 et P(X ≥q0.25)>0.75.

Ex 8. SoitU₁, ..., U_nun échantillon de variables aléatoires iid de loi uniforme sur]0,1[. On s'intéresse au comportement asymptotique du quantile empirique d'ordreα∈]0,1[,U_(nα)où on noten_α=dnαe.

1. Rappeler la densité de lak-ième statistique d'ordreU_(k).

2. SoitX1, ..., Xn+1des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre1, montrer que pour toutk= 1, ..., n+ 1,S_k =Pk

i=1X_i suit une loi GammaΓ(k,1)de densité γk(x) = x^k−1

(k−1)!e^−x , x >0.

3. On admet le résultat suivant: Soient S, T deux v.a. positives indépendantes de densités fS, fT

respectivement, la variableX =T /S a pour densité

fX(x) = Z +∞

0

fS(y)fT(xy)ydy , x >0.

Montrer queSk/Sn+1 a même loi queU_(k) (indication: poserS=Sk et T =Sn+1−Sk).

4. Déterminer la limite en loi de √

n_α S_nα/n_α−1. 5. En remarquant que

n→∞lim n_α

n =α et lim

n→∞

√nn_α n −α

= 0, montrer d'après la question précédente que

√nSn_α

n −α _loi

−−−−→

n→∞ N(0, α) et √

nSn+1−Sn_α

n −(1−α) _loi

−−−−→

n→∞ N(0,1−α).

6. En déduire que

√n

α S_n+1−S_nα

n −(1−α) S_nα n

_loi

−−−−→

n→∞ N 0, α(1−α) , puis que

Yn:=√ n

α Sn+1−Snα

Sn_α

−(1−α) _loi

−−−−→

n→∞ N

0,1−α α

.

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7. En remarquant queU(n_α)

loi=α/(1 +Yn/√

n)(cf. question 3), montrer qu'il existeξn compris entre 0 etYn/√

ntel que

U_(nα)=α− α (1 +ξ_n)²

Yn

√n. 8. En conclure que

Zn:=√

n U_(nα)−α loi

−−−−→

n→∞ N(0, α(1−α)).

Ex 9. On a mesuré la consommation quotidienne en eau dans une ville sur une année. On suppose les365 observations X1, ..., Xn issues de variables aléatoires indépendantes et de loi normale N(m, σ²) avecmetσ² inconnus. On rappelle, dans le modèle Gaussien, les estimateurs

ˆ m= 1

n

n

X

i=1

Xi et ˆσ²= 1 n−1

n

X

i=1

(Xi−m)ˆ ²

sont indépendants et(n−1)ˆσ²/σ²∼χ²(n−1). On mesure sur l'échantillon une moyenneXn= 18 (en milliers de m³) et un écart-typeσˆ = 2.

1. Construire un intervalle de conance à 95% sur σ(indication: prendre respectivement 313 et 419 comme valeurs des quantiles d'ordre0.025 et0.975de la loi χ²(364)).

2. Montrer queg(m, X) =√

n(Xn−m)/ˆσ est pivotale et déterminer sa loi.

3. Construire un intervalle de conance à 95% sur m (indication: le quantile d'ordre 0.975 de la loi N(0,1)vaut approximativement1.96).

4. Déduire un intervalle de conance à95%sur la consommation mensuelle moyenne pour un mois de 30jours.

5. On veut évaluer la consommation maximale attendue du1^er janvier prochain, que l'on noteX_n+1. Montrer que

S=

rn+ 1 n

Xn+1−Xn

ˆ σ suit une loi de StudentT(n−1).

6. Déduire une majoration de Xn+1 au risque α= 0.05de se tromper.

Ex 10. On s'intéresse à la proportion p de la population touchée par le syndrôme de dépression hivernale. Sur un échantillon den= 400 personnes interrogées,16arment en sourir.

1. Décrire le modèle statistique.

2. Construire un intervalle de conance asymptotique de niveau 95% sur p (prendre 1.96 comme quantile d'ordre0.975de la loiN(0,1)).

Ex 11. SoitX1, ..., Xn iid de loi de Cauchy décentrée de densité fθ(x) = 1

π 1

1 + (x−θ)², x∈R, oùθ∈Rest le paramètre inconnu du modèle.

1. Peut-on construire un estimateur deθpar la méthode des moments?

2. Ecrire la vraisemblance du modèle (on remarquera qu'il n'existe pas de forme analytique simple pour l'estimateur du maximum de vraisemblance).

3. Montrer queθ est l'unique médiane defθ. En déduire un estimateur consistant (simple) deθ. 4. En utilisant la normalité asymptotique du quantile empirique, donner un intervalle de conance

asymptotique de niveau de conance1−αsurθ.

5. Déduire une procédure pour tester l'hypothèseH0:θ= 0 contreH1:θ6= 0au niveauαasympto- tiquement.

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Ex 12. Un couple de5enfants aimerait savoir si la probabilitépd'avoir une lle à chaque naissance est égale à1/2. On notepbla proportion de lles parmi les5enfants.

1. Décrire la forme de la région critique pour testerH₀:p= 1/2contre H₁:p6= 1/2. 2. Les5 enfants sont des lles. Quelle est la probabilité de cet événement sousH0? 3. Calculer la p-value du test. Quelle est la conclusion au niveauα= 0.05?

4. Quelle est la forme de la région critique si l'hypothèse alternative estH1:p >1/2? 5. Calculer la p-value du test et la conclusion au niveauα= 0.05dans ce cas.

Ex 13. Un brasseur teste un nouveau procédé de fermentation pour produire sa bière. Sur les 25 nouvelles bouteilles produites, le degré moyen d'alcool est de6^◦avec un écart-type de 1^◦.

1. Sachant que la bière fait normalement5.5^◦, décrire la procédure de test pour savoir si le nouveau procédé de fermentation modie le taux d'alcool. Sous quelles hypothèses le test est-il exact?

asymptotiquement exact?

2. Donner une expression de la p-value du test.

3. Pour des degré moyen et écart-type identiques, à partir de combien de bouteilles peut-il conclure (au niveauα= 0.05) que le degré d'alcool a été modié?

Ex 14. Soit X1, ..., Xn les réponses à un référendum (Xi ∈ {0,1})supposées issues de v.a. iid. On observe une proportion pˆn = 0.56 de "oui" parmi 144 personnes sondées. Peut-on conclure au risque α= 0.05que le "oui" l'emportera? (indication: faire le test dep= 1/2contre p >1/2 en utilisant1.65 comme quantile d'ordre0.95de la loiN(0,1)).

Ex 15. (TP en python) SoientX₁, ..., X_n iid de de densité f_θ(x) =θ²xe^−x/θ, x >0

oùθ >0est un paramètre inconnu. On admet que l'espérance deX₁ vautm= 2θet que la variance est nie. Cette densité correspond à la densité d'une loi Gamma de paramètres shape=2et scale=θ.

1. Générer un échantillon iid X1, ..., Xn de taillen= 5 avec pour vraie valeur du paramètreθ= 2. 2. Construire (à la main) la statistique de test de Student pour l'hypothèseH0:θ= 2contreH1:θ6= 2

(indication: réécrire l'hypothèseH0 comme une condition surm).

3. Comparer avec le résultat de la fonction scipy.stats.ttest_1samp.

4. On veut évaluer la probabilité de rejeterH0 si elle est vraie (l'erreur de première espèce) lorsqu'on se xe un niveau asymptotiqueα= 0.05. Reproduire l'expérience10000fois et calculer la fréquence de rejet de H0. Commenter.

5. Reprendre la question précédente pour n= 50. Commenter.

6. On veut évaluer la probabilité de rejeter H₀ si elle est fausse (la puissance du test) au niveau α= 0.05. Générer10000échantillons de taillen= 5de loiΓ(2,1.5)et calculer la fréquence de rejet deH₀. Recommencer pourn= 50et commenter.

7. Représenter graphiquement la puissance du test pourn= 50etθvariant dans l'intervalle[1,3]. 8. En remarquant que sous H0, S:=Pn

i=1Xi suit une loi GammaΓ(2n, θ), construire un test exact de niveauα= 0.05 pourH0 (indication: soitγβ le quantile d'ordreβ de la loi Γ(2n, θ), siH0 est vraie, alorsP(γ_α/2< S < γ_1−α/2) = 1−α).

9. Comparer la puissance avec celle du test précédent sur l'intervalle[1,3].

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