Taille d’un effet - Puissance d’un test

PSR73B - Statistiques param´etriques et non param´etriques 2005/2006 8

Taille d’un effet - Puissance d’un test

Exercice 9

Cette recherche visait `a ´etudier, en particulier, l’´evolution du transfert interh´emisph´erique chez le jeune enfant. On s’int´eresse ici `a une partie des donn´ees, recueillies chez deux groupes d’enfants droitiers de 5 ans (a1) et 6 ans (a2). Ils ont `a comparer, les yeux band´es, les textures de petits coussins. Chaque coussin est plac´e sur la paume de la main de l’enfant. Chaque enfant r´ealise plusieurs comparaisons de textures dans deux conditions : les deux textures sont pr´esent´ees successivement, soit sur une main, puis sur l’autre (condition crois´ee, not´ee c1), soit sur la mˆeme main (condition non crois´ee, not´ee c2). On note, pour chaque enfant, le pourcentage d’erreurs dans chacune des deux conditions.

On fait l’hypoth`ese que, chez les jeunes enfants, la comparaison est plus difficile dans la condition crois´ee. En effet, dans cette condition, la comparaison n´ecessite un trans- fert interh´emisph´erique des informations tactiles recueillies pour qu’elles puisse ˆetre com- par´ees. Or, ce transfert interh´emisph´erique ne s’´etablit que progressivement au cours du d´eveloppement.

On pr´esente ci-dessous les donn´ees recueillies sur un sous-ensemble de 10 enfants : c1 c2

s1a1 30 20 s2a1 35 18 s3a1 40 22 s4a1 28 17 s5a1 27 23 s6a2 18 12 s7a2 15 22 s8a2 20 19 s9a2 21 20 s10a2 11 22

1) On compare les scores observ´es pour les enfants de 5 ans, dans les deux conditions.

a) Calculer l’effet calibr´e observ´e sur les donn´ees fournies. Comment peut-on qualifier cet effet ?

b) En prenant l’effet calibr´e pr´ec´edent comme estimation de la taille de l’effet, calculer la puissance du test lorsque le seuil est de 5% et la taille de l’´echantillon est de 5.

2) On compare les scores observ´es dans la condition c2 pour les deux groupes d’enfants.

Calculer l’effet calibr´e observ´e sur les donn´ees fournies. Comment peut-on qualifier cet effet ?

Indications de r´eponses : 1) a) Dans le groupe d’ˆage a1, la moyenne des diff´erences in- dividuelles est de 12, avec un ´ecart type corrig´e de 5.70. L’effet calibr´e observ´e est donc EC= _5.7¹² = 2.10. Cet effet est important.

1) b) Pour n = 5, la quantit´e ∆ = d√

n vaut ∆ = 2.10√

5 = 4.69. La consultation de la table pour le seuil de 5% montre que la puissance du test est alors voisine de 100%.

2) Les moyennes dans les deux groupes sont alors 20 et 19, avec des ´ecarts types corrig´es de 2.55 et 4.12, soit un ´ecart type corrig´e pond´er´e de 3.34. L’effet calibr´e observ´e est donc : EC= ²⁰⁻¹⁹_3.34 = 0.30. Cet effet est faible.

PSR73B - Statistiques param´etriques et non param´etriques 2005/2006 9 Exercice 10

Nous venons de r´ealiser une ´etude qui compare le d´eveloppement cognitif de b´eb´es d’un an pr´esentant un poids r´eduit `a la naissance. Grˆace `a une ´echelle con¸cue par nos soins, nous avons calcul´e que les moyennes d’´echantillons des deux groupes ´etudi´es ´etaient res- pectivement ´egales `a 25 et 30, pour un ´ecart type combin´e de 8.

Supposons que nous souhaitions r´epliquer cette exp´erience avec 20 sujets par groupe. Si nous posons que les moyennes et ´ecarts types r´eels ont ´et´e correctement estim´es, quelle probabilit´e avons-nous a priori de trouver une diff´erence significative au seuil de 5% lors de la r´eplication ?

Indications de r´eponses : L’effet calibr´e observ´e est EC= ²⁵⁻²⁰₈ = 0.625. En utilisant cette valeur comme estimation de la taille de l’effet d, on obtient ∆ = 0.625√

10 = 1.97. Au seuil de 5% bilat´eral, la puissance du test envisag´e serait de 52%.

Exercice 11

De nombreux travaux sur l’effet de la pression des pairs ont montr´e que le score d’in- fluence moyen est de 520 avec un ´ecart type de 80. Un chercheur voudrait montrer qu’une l´eg`ere modification des conditions g´en´ererait une moyenne de 500 seulement, et il envisage d’effectuer un test t pour comparer sa moyenne d’´echantillon `a une moyenne de 520.

1) Quelle est la taille de l’effet en question ?

2) Quelle est la valeur de ∆ si la taille de l’´echantillon est ´egale `a 100 ? 3) Quelle est la puissance du test ? (seuil choisi : 5% )

4) Repr´esenter par un diagramme la situation d´ecrite.

5) Quelles tailles d’´echantillon faudrait-il pour porter la puissance `a .80 ? .90 ?

Indications de r´eponses : La situation propos´ee est celle de la comparaison d’une moyenne observ´ee `a une moyenne de r´ef´erence, consid´er´ee comme une norme. Autrement dit, la moyenne et l’´ecart type de la population sont ici connus.

1) Le chercheur estime que la taille de l’effet est d= ^520−500₈₀ = 0.25.

2) La statistique de test correspondante (z = ^x−µ_E avec E² = ^σ_n²) s’´ecrit :z =EC √ n. On a donc ∆ = d√

n= 0.25√

100 = 2.5.

3) Au seuil de 5%, la valeur ∆ = 2.5 correspond `a une puissance de 71% (lecture de la table).

4) Pour une puissance de .80, on devrait avoir ∆ = 2.80, soit n = _0.25^2.82 = 125. De mˆeme, pour une puissance de .90, il faudrait : n = 169.

Exercice 12

Inventez un exemple simple, comprenant deux groupes, afin de montrer que pour un total de 30 sujets, la puissance augmente `a mesure que les tailles d’´echantillons se rapprochent de l’´egalit´e.

Exercice 13

Des sondages d´ej`a publi´es indiquent que, lors d’un prochain r´ef´erendum, le oui devrait l’emporter avec 55% des voix.

Vous souhaitez r´ealiser vous-mˆeme un sondage confirmant le vote en faveur du oui. Quelle taille d’´echantillon faut-il choisir pour que la probabilit´e de conclure sur le succ`es du oui soit d’au moins 70% (seuil utilis´e : 5%) ?

Indications de r´eponses : La situation propos´ee est la comparaison d’une fr´equence ob- serv´ee `a une norme. La taille de l’effet envisag´e est : d= ^{√0.55−0.50}_0.55×0.45 = 0.10. La statistique

PSR73B - Statistiques param´etriques et non param´etriques 2005/2006 10 de test s’´ecrit iciz =EC√

n, et on a donc∆ = 0.10√

n. La puissance de 70% sera obtenue pour ∆ = 2.5, c’est-`a-dire n= 619.