Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 1
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation
Objectifs :
*Connaitre la définition d’une fonction et le vocabulaire de base
* Savoir tracer une représentation graphique
*Savoir déterminer les variations, les minimums et les maximums d’une fonction
* Savoir tracer un tableau de variation Exemple initiale :
1) Quel est le prix du gazole en 1998 ? en 2013 ?
2) Quel est le prix du sans plomb 95 en 1998 ? en 2013 ?
3) Pourquoi la courbe du super Pb s’arrête –t-elle soudainement et pas les autres ?
4) En quelle(s) année(s), le sans plomb 95 coûtait 1€ ? Même question pour le gazole ?
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 2 I. Vocabulaire et notations
Définition: Soit D une partie de l’ensemble des nombres réels. Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel, noté f(x). D est appelé l’ensemble de définition de la fonction f.
On note : f : D → R x f (x)
Et on lit : « La fonction f, définie pour x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f(x). » Définitions : Soit a D. Si f(a) = b, on dit que :
b est l’image de a par la fonction f .
a est un antécédent de b par la fonction f.
Remarque : une fonction peut être définie par un graphique, un tableau ou une formule.
Méthode algébrique: Lorsqu’une fonction est définie par une formule : Chercher l’image d’un nombre a , c’est calculer f(a) .
Chercher les antécédents d’un nombre b, c’est résoudre l’équation f(x)=b.
Méthode graphique: Lorsqu’une fonction est définie par un graphique :
Chercher l’image d’un nombre a , c’est trouver l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.
Chercher les antécédents d’un nombre b, c’est trouver les abscisses des points de la courbe d’ordonnées b.
Exemple 1 : Soit f : R R x x²+5 D= R et
donc l' image de 0 par f est:
Les antécédents de 6 par f sont :
Exemple 2 :
L’image de -2 est
Les antécédents de 4 sont :
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 3 II. Représentation graphique
Définitions :f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique) C de f est l’ensemble des points M (x ;y) dont :
L’abscisse x décrit l’ensemble de définition D
L’ordonnée y est l’image de x par f.
On dit que la courbe C a pour équation y=f(x) dans le repère choisi.
A la calculatrice lycée : Pour visualiser une fonction :
Appuyer sur Puis rentrer l’expression de votre fonction comme ci-dessous (où l’on a
rentré f(x)=2x-5): pour le X , on utilise la touche .
Ensuite, il faut régler la fenêtre d ’affichage :
et régler les paramètres pour un affichage optimal.
Ensuite on affiche le graphique :
Pour modifier la visualisation d’une fonction : Le graphique peut ne pas nous convenir, on peut
vouloir zoomer.
Zbox permet de définir une zone (une boîte) sur laquelle on veut zoomer.
Zoom In permet de zoomer.
Zoom out permet de dézoomer
ZStandard permet d’afficher la fenêtre par défaut de la calculatrice.
Pour lire des informations sur une fonction : Pour afficher les coordonnées d’un point sur la courbe, il faut activer le mode un curseur s’affiche sur la courbe, que l’on peut déplacer à l’aide des flèches, les coordonnées en bas de l’écran correspondent aux coordonnées du point sur lequel le curseur se situe :
Pour visualiser une fonction :
Appuyer sur Puis rentrer l’expression de votre fonction comme ci-dessous (où l’on a rentré
f(x)=2x-5): pour le X , on
utilise la touche .
Ensuite, il faut régler la fenêtre d ’affichage :
et régler les paramètres pour un affichage optimal.
Ensuite on affiche le graphique :
Pour modifier la visualisation d’une fonction : Le graphique peut ne pas nous convenir, on peut vouloir zoomer.
Box permet de définir une zone (une boîte) sur laquelle on veut zoomer.
In permet de zoomer.
Out permet de dézoomer
Auto permet d’afficher la fenêtre par défaut de la calculatrice.
Pour lire des informations sur une fonction : Pour afficher les coordonnées d’un point sur la courbe, il faut activer le mode un curseur s’affiche sur la courbe, que l’on peut déplacer à l’aide des flèches, les coordonnées en bas de l’écran correspondent aux coordonnées du point sur lequel le curseur se situe :
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 4 Pour dresser la table de valeur d’une fonction :
Après avoir rentrée une fonction dans , on peut afficher une table de valeur.
D’abord on règle la première valeur de X que l’on veut afficher et le pas entre deux valeurs.
(ici, on veut afficher une table de valeur qui démarre à 5 puis affiche 5,1 5,2 ,…).
On peut désormais afficher la table :
Pour dresser la table de valeur d’une fonction : Appuyer sur Puis rentrer l’expression de votre fonction (si vous avez rentrer une fonction dans graph, elle apparait aussi ici et inversement).
D’abord on règle la première et la dernière valeur de X que l’on veut afficher et le pas entre deux
valeurs. (ici, on veut
afficher une table de valeur de 5 à 8 , de 0,1 en 0,1)
On peut désormais afficher la table :
Pour effectuer des calculs de bases : On vérifie les réglages dans le menu
Les menus qu’il faut parfois changer sont : -Radian ou Degree
-Normal / Float est le plus utilisé Les nombres à côtés de float permettent de
fixer le nombre de chiffres après la virgule Sci donne l’écriture scientifique
Ensuite quand les réglages sont terminés, on utilise la touche +
Pour effectuer des calculs de bases :
On utilise le mode Run de la calculatrice.
On vérifie ensuite les réglages dans le menu
« setup » (touche + )
Les menus qu’il faut parfois changer sont : -Angle : Degré ou Radian
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 5 Une fois sur cette écran, vous pouvez
effectuer vos calculs.
Attention : représente la soustraction et représente le – des négatifs.
La première est pour le carré, la suivante pour les puissances quelconques.
Pour les fractions, on utilise le symbole diviser puis une fois la division indiquée on utilise puis on sélectionne
puis pour l’écriture fractionnaire et puis pour l’écriture décimale.
Cela donne ainsi par exemple :
-Display : Norm1 est le plus utilisé
Fix (suivit d’un nombre)permet de fixer le nombre de chiffres après la virgule
Sci donne l’écriture scientifique
Ensuite quand les réglages sont terminés, on utilise la touche
Une fois sur cette écran, vous pouvez effectuer vos calculs.
Attention : représente la soustraction et représente le – des négatifs.
La première est pour le carré, la suivante pour les puissances quelconques.
La première est pour les fractions et la suivante pour obtenir une valeur approchée.
Exercices : Math’X 2014 Didier
1 ,2,3p32+8à20p44+21à24,26,28,30p45+31,32,36,37p46+38,39,41à45,48p47+50à53p48+59p49 Exemple initiale (suite) :
5) Que peut-on dire de l’évolution du prix du gazole entre 1999 et 2000 ? entre 1998 et 1999 ?
6) Que peut-on dire de l’évolution du prix du sans plomb 95 entre 1999 et 2000 ? entre 1998 et 1999 ?
7) Quelle a été la valeur de l’écart maximum entre le SP95 et le gazole ?
8) Quelle a été la valeur de l’écart minimum entre le SP95 et le gazole ?
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 6 I Variations
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si alors . Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si alors . Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante, soit décroissante sur I.
Remarques :
On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre et qu’une fonction décroissante renverse l’ordre.
Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I.
Exercice :
Soit f la fonction définie sur par : 1. Montrer que
2. Etudier les variations de la fonction f sur ]0 ;+ [. 3. Etudier les variations de la fonction f sur ]- [.
II. Maximum ; minimum
Définitions : Soit f une fonction de l’intervalle I. a et b deux nombres réels de I.
Dire que f admet un maximum M en a de I signifie que pour tout nombre réel x de l’intervalle I, .
Dire que f admet un minimum m en b de I signifie que pour tout nombre réel x de l’intervalle I, .
Chapitre 3 : Modéliser par une fonction et sens de variation Page 7 III. Tableau de variation
Exemple :f est la fonction définie sur [-4 ;2] par la courbe ci-dessous :
Maximum de f sur [-4 ;0] :
le point A de coordonnées (-2 ;22) est « le plus haut » de la courbe sur [-4 ;0] . On dit que 22 est le maximum de f sur [-4 ;0] ; il est atteint en -2.
Minimum de f sur [0 ;2] :
le point B de coordonnées (1 ;-5) est « le plus bas » de la courbe sur [0 ;2] . On dit que -5 est le minimum de f sur [0 ;2] ; il est atteint en 1.
On résume toutes ces informations dans un tableau de variation :
x Se lisent sut l’axe des
abscisses.
f(x)
Se lisent sur l’axe des ordonnées
Exercices : Math’X 2014 Didier
15à21p68+28,30,31p69+32,33,35à41,43p70+47,49à53p71+76,78p52+82,83p53+111p78+115p79+
117p79
Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier
1,2,3,4p35+p37+p39+1à7p44+25,27,29p45+33à35p46+40,46,47p47+49p48+54p48+55à58,560p49+
p50,51+p59+6p62+1à14p68+22à27,29p69+34,42p70+44à46,48p71+54,55p72+90à94,97à103p76+106, 107,109p77
