PROBLEME .
On appelle courbe de LORENZ (*) la représentation graphique d’une fonction numérique
Réelle L qui vérifie les quatre propriétés suivantes : P1 : L est définie sur l’intervalle [0 ;1].
P2 : L(0) = 0 et L ( 1 ) = 1.
P3 : L est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].
P4 : Pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ;1 ] f(x) ≤ x.
On considère la fonction polynôme définie par f(x) = 0,5x3 + 0,5x .
I Le but de cette première partie est de vérifier que la fonction f satisfait aux quatre conditions énoncées ci-dessus.
1°) Justifier que la proposition P1 est vérifiée.
2°) Calculer f(0) et f(1). Conclure pour la proposition P2 .
3°) a) Calculer f ’(x) en fonction de x , nombre réel ; f ‘ désignant la fonction dérivée de f.
b) En déduire le signe de f ‘ (x) sur R.
c) Quel est le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0.1] ? d) Conclure pour la proposition P3.
4°) a) Montrer que pour tout nombre réel x : f(x) –x = 0,5x(x – 1) (x + 1).
b) Etudier dans un tableau le signe de f(x) – x sur R . c) En déduire le signe de f(x) – x sur l’intervalle [0 ; 1].
d) Conclure pour la proposition P4.
e) Que peut – on en déduire concernant la position de la courbe représentative de la fonction f par rapport à la droite d'équation y = x ?
II Application à l’économie.
La répartition des salaires dans une entreprise est modélisée par la fonction f définie précédemment.
x représente le pourcentage cumulé des personnes ayant les plus faibles salaires par rapport à
l'effectif total de l’entreprise.
f(x) représente le pourcentage de la masse salariale totale affectée aux t% les moins bien rémunères des salariés de l’entreprise ,avec t =.Les pourcentages sont donnés sous forme décimale à 0,01 prés.
Exemple : Si l’on considère les 30% des salariés les moins bien rémunérés dans l’entreprise on Choisira x = = 0,3 . 30% des salariés possèdent f(0,3) = 16,35 % de la masse salariale de l'entreprise.
Recopier et compléter le tableau suivant :
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x)
III Représentation graphique.
1°) Sur la figure donnée en annexe représentée graphiquement (Cf) la courbe représentative Correspondant aux points de coordonnées (x ;f(x) ) calculés dans le tableau précédent.
2°) Tracer sur la figure la droite (∆) d’équation y = x.
3°) Déterminer graphiquement une valeur approchée du pourcentage des salariés les moins bien Rémunères dont la masse des salaires représente 60% de la masse salariale totale.
(*) La courbe de Max. O. LORENZ (1905) est la représentation graphique des inégalités de revenus ou d’actifs.
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ANNXE .
NOM : ………....
PRENOM : ……….
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
