Fonctions – Corrections des Exercices

Fonctions – Corrections des Exercices

Exercice n

1

Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

a(x) = 1

x + 1

1

x

1 b(x) =

x

1 c(x) = x

3x

f (x) = (x

1)(x

3)

(x + 1)(x

2) g(x) =

x

1 h(x) = x + 2 x

+ 4x + 3

Correction :

– La fonctiona(x) = 1

x+ 1 − 1

x−1 est bien définie si les dénominateurs x+ 1 etx−1 sont non nul, c’est-à-dire six6=−1 etx6= 1. DoncD_a =]− ∞;−1[∪]−1; 1[∪]1; +∞[

(qui peut aussi s’écrireD_a=R\ {−1; 1}).

– La fonction racine carrée est définie sur [0; +∞[. L’ensemble de définition deb(x) =√

x−1 est donc l’ensemble desxtels quex−1≥0, autrement dit sig≥1. Donc D_b= [1; +∞[

– La fonctionc(x) =x²−√

3xn’a aucune valeur interdite, et est donc bien définie surRtout entier. DoncD_c =R. – La fonctionf(x) = (x−1)(x−3)

(x+ 1)(x−2) est bien définie si le dénominateur (x+ 1)(x−2) est non nul, c’est-à-dire si x6=−1 etx6= 2. DoncD_f =]− ∞;−1[∪]−1; 2[∪]2; +∞[

(qui peut aussi s’écrireD_f =R\ {−1; 2}).

– La fonction racine carrée est définie sur [0; +∞[. L’ensemble de définition deg(x) =√

x²−1 est donc l’ensemble desxtels quex²−1≥0. On ax²−1 = (x−1)(x+ 1), donc, d’après le tableau de signes

x −∞ −1 1 +∞

x−1 − | − 0 +

x+ 1 − 0 + | +

(x−1)(x+ 1) + 0 − 0 +

on aDh=]− ∞;−1]∪[1; +∞[.

– La fonction h(x) = x+ 2

x²+ 4x+ 3 est bien définie six²+ 4x+ 3 est non nul. Cherchons donc les solutions de l’équation du second degré x²+ 4x+ 3 = 0 : comme le discriminant ∆ = 16−12 = 4 est positif, il y a deux solutions x1= ⁻⁴⁺²₂ =−1 etx2=⁻⁴⁻²₂ =−3.

On a alorsh(x) = x+ 2

(x+ 1)(x+ 3). DoncD_h=]− ∞;−3[∪]−3;−1[∪]−1; +∞[

(qui peut aussi s’écrireDf =R\ {−3;−1}).

—

Exercice n

2

Soit g la fonction définie par g(x) = x

3 x + 5 .

1. Quelles sont la ou les valeurs interdites ? En déduire l’ensemble de définition de la fonction g.

Correction : Il y a une unique valeur interdite, qui estx=−5. On a doncDg =]− ∞;−5[∪]−5; +∞[.

— 2. Calculez à la main les images de 0, 2 et

Correction : g(0) = ⁰⁻³₀₊₅ =−³₅; g(2) =²⁻³₂₊₅ =−¹₇,g(−1) = ⁻¹⁻³₋₁₊₅ =−1.

—

3. Calculez le ou les antécédents par g de 0, 1 et

Correction : On ag(x) = 0⇔x−3 = 0⇔x= 3. Donc 0 possède un unique antécédent parg, qui est 3.

g(x) = 1 impliquex−3 =x+ 5, ce qui n’est vérifié pour aucunx∈D_g. Donc 1 n’a pas d’antécédent parg.

Pour x∈D_g,

g(x) =−3⇔x−3 =−3x−15⇔x=−3.

Donc−3 possède un unique antécédent parg, qui est−3.

—

Exercice n

3

Déterminer le ou les antécédent(s) de

et

par f (x) = x

+ 4x.

Correction : Chercher le(s) antécédent(s) de−3 parf(x) =x²+ 4x, c’est chercher les valeurs de xtelles que f(x) = −3. Autrement dit, c’est résoudre l’équation x²+ 4x = −3, qui est équivalente à x²+ 4x+ 3 = 0. On reconnait une équation du second degré. Comme le discriminant ∆ = 4²−4×1×3 = 4 est positif, il y a deux solutionsx1= ⁻⁴⁺²₂ =−1 etx2= ⁻⁴⁻²₂ =−3. Donc −3 possède deux antécédents parf, qui sont−1 et−3.

Pour chercher le(s) antécédent(s) de−4 parf, on résoud l’équationx²+4x+4 = 0. Le discriminant ∆ = 16−16 = 0 est nul, donc il y a une unique solutionx=⁻⁴₂ =−2. Donc−4 possède un unique antécédent parf, qui est−2.

Enfin, chercher le(s) antécédent(s) de−5 parf revient à résoudre l’équationx²+ 4x+ 5 = 0. Mais le discriminant

∆ = 16−20 est négatif : donc cette équation n’a pas de solution.−5 n’a donc pas d’antécédent parf. Remarque : On peut vérifier ces réponses sur la représentation graphiqueC_f def :

(Les antécédents d’un nombrekparf sont donnés par les abscisses des points d’intersection deCf avec la droite horizontaley=k).

—

Exercice n

4

On considère la fonction f définie sur [−2; 2] par f(x) = x

x + 5 . Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de f : O(0; 0), A(1;

), B (3;

), C(−2;

), D(−3;

) ?

Correction : On af(0) = 0, doncOa pour coordonnées (0, f(0)) donc est sur la courbe def. De même,f(1) = ¹₆ doncB aussi.f(3) =⁹₈ est différent de ¹₅ doncB n’est pas sur la courbe. De même,f(−2) = ⁴₃ est différent de ⁴₇, doncC non plus. Enfinf(−3) = ⁹₂ doncDest sur la courbe def.

—

Exercice n

5

Dire si les représentations graphiques données sont, oui ou non, des représentations de fonctions.

Correction : Une fonction f associe, à chaque réel k de son ensemble de définition, un unique réel f(k), appelé l’image dekpar la fonctionf. Graphiquement, cela signifie que la représentation graphique d’une fonction intersecte la droite verticalex=ken un unique point pour chaque réelk de son ensemble de définition.

Il suit que les graphes représentés dans les figures 2, 5 et 6 ne sont pas des représentations de fonctions. (Pour 6, c’est la droite verticalex= 0 – l’axe des ordonnées – qui intersecte le graphe en deux points.)

— Exercice n

6

On considère la fonction g définie sur [−4; 2] par g(x) =

1

4 x

+ 3.

1. Remplir le tableau de valeurs suivant :

x −4 −3 −2 −1 0 1 2

g(x) −1 ³₄ 2 ¹¹₄ 3 ¹¹₄ 2

— 2. Calculer les images de 3

2 et

3

2 par g, ainsi que le ou les antécédents de

1 2 .

g(3

2) =g(−3 2) = 39

16 g(x) =−1

2 ⇔ 1 4x²= 7

2 ⇔x=√

14 oux=−√ 14.

—

Exercice n

7

Soit f une fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. Répondre aux questions en utilisant le graphique (avec la précision que permet sa lecture).

1. Calculer f (0), f(1) et f (−2).

2. Résoudre f(x) =

3. Résoudre f(x)

2.

4. Dressez le tableau de variation de f sur D.

5. Quels sont les extrema locaux de la fonction f ? En quels points sont-ils atteints ?

Exercice n

8

La courbe représentative de la fonction f a l’allure ci-dessous. Répondre aux questions en utilisant le graphique (avec la précision que permet sa lecture).

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? 2. Déterminer l’image par f de 2,

3. Déterminer les antécédents éventuels de 5 et

4. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 2, puis les inéquations f (x) >

f (x)

1.

5. Pour quelles valeurs de k l’équation f (x) = k a-t-elle trois

solutions ? zéro solution ?

Exercice n

9

Soient C

et C

les courbes représentatives de deux fonc- tions f et g définies sur [−2, 5; 2].

1. Dressez les tableaux de variations des fonctions f et g. Précisez les extrema éventuels.

2. Résoudre graphiquement f (x) > 0 ; g(x) < 0 ; f (x) = g(x) et f (x) < g(x).

Exercice n

10

ABCD est un rectangle tel que AB = 8 et BC = 6. Le point M se déplace de B vers D sur les côtés [BC] et [CD] du rectangle. On note x la distance parcourue par le point M depuis le point de départ B, et f (x) la distance AM .

1. Compléter en justifiant les phrases suivantes :

(a)

Justification : En effet, lorsquex= 3, le triangle ABM est rectangle enB (cf figure ci-dessous) et par le théorème de Pythagore son hypothénusef(3) =AM vaut

f(3) =p

AB²+BM²=p

8²+ 3²=√

64 + 9 =√ 73.

A B

C D

f(3) M 3

8 A B

C

D M

6

4 f(10)

—

(b)

Justification : Lorsque x = 10, le triangle ADM est rectangle en D (cf figure ci-dessus) et par le théorème de Pythagore son hypothénusef(10) =AM vaut

f(10) =p

AD²+DM²=p

6²+ 4²=√

36 + 16 =√ 52.

— 2. Quel est l’ensemble de définition de f ?

Correction : Df= [0; 14].

—

3. A l’aide de considérations géométriques, dresser le tableau de variation de f.

Correction : La distance maximale est atteinte lorsque M arrive au point C, c’est-à-dire pour x = 6.

Le segment AM coincide alors avec la diagonale du rectangle, et sa mesure est alorsf(6) = √

6²+ 8² =

√36 + 64 =√

100 = 10.

x 0 6 14

10 f % &

8 6

—

Exercice n

11

Soit f la fonction définie sur

par f(x) = 3x

+ 6x

1, dont la représentation graphique est donnée

ci-dessous.

1. Proposer une valeur du minimum m.

Correction : Au vu de la représentation graphique def, on peut conjecturer que le minimum estm=−4.

—

2. Calculer f (x)

m , puis vérifier que pour tout réel x, f (x) est supérieur à m.

Correction :

f(x)−m= (3x²+ 6x−1) + 4 = 3x²+ 6x+ 3 = 3(x²+ 2x+ 1) = 3(x+ 1)².

Un carré étant toujours positif, on a f(x)−m≥0 pour toutx∈Df, soit f(x)≥mpour toutx∈Df.

—

Exercice n

12

1. Montrer, en utilisant la définition, que la fonction f(x) = x

est strictement décroissante sur ]

Correction : On choisitx1et x2 dans ]− ∞; 0] telsx1< x2. On calculef(x1)−f(x2) : f(x₁)−f(x₂) =x²₁−x²₂= (x₁+x₂).(x₁−x₂).

On obtient un produit de deux facteurs. On a (x1+x2) < 0 car x2 ≤ 0 et x1 < 0 (car x1 < x2) . Et (x1−x2)<0 puisque l’on a supposéx1< x2. Donc le produit est strictement positif, doncf(x1)−f(x2)>0, et on a donc montré que

f(x1)> f(x2).

En conclusion,f est strictement décroissante sur ]− ∞; 0].

—

2. En utilisant la définition, monter que la fonction f(x) =

est strictement décroissante sur ]−∞; 0]

et strictement croissante sur [0; +∞[.

Correction : Montrons que la fonction valeur absolue est strictement croissante sur [0; +∞[.

On choisitx1 etx2dans [0; +∞[ telsx1< x2. On calculef(x1)−f(x2) : f(x₁)−f(x₂) =|x1| − |x2|=x₁−x₂,

puisque d’après la définition,|x|=xpour toutx∈[0; +∞[. Or (x1−x2)<0 puisque l’on a supposéx1< x2. On a donc f(x1)−f(x2)<0, c’est-à-dire

f(x1)< f(x2).

En conclusion,f est strictement croissante sur[0; +∞[.

Montrons maintenant que la fonction valeur absolue est décroissante sur ]− ∞; 0].

On choisitx₁ etx₂dans ]− ∞; 0] telsx₁≤x₂. On calculef(x₁)−f(x₂) :

f(x1)−f(x2) =|x1| − |x2|= (−x1)−(−x2) =−x1+x2=−(x1−x2),

puisque d’après la définition, |x|=−xpour tout x∈]− ∞; 0]. Or −(x₁−x₂)≥0 puisque l’on a supposé x₁≤x₂. On a doncf(x₁)−f(x₂)≥0, c’est-à-dire

f(x1)≥f(x2).

En conclusion,f est décroissante sur ]− ∞; 0].

—

Exercice n

13

Donner l’ensemble de définition des fonctions u(x) = 1

x

1 et v(x) = x

de u par v et de v par u.

Correction :

Ensemble de définition deu: Du=]− ∞; 1[∪]1; +∞[.

Ensemble de définition dev :D_v=R.

Ensemble de définition de la composée deuparv: v(u(x)) =v

1 x−1

= 1

x−1 ²

−3 = 1

x−1)² −3.

La seule valeur interdite étantx= 1, l’ensemble de définition est ]− ∞; 1[∪]1; +∞[.

Ensemble de définition de la composée dev paru: u(v(x)) =u x²−3

= 1

(x²−3)−1 = 1 x²−4.

Les valeurs interdites sont les racines dex²−4, c’est-à-direx= 2 etx=−2. L’ensemble de définition est donc ]− ∞;−2[∪]−2; 2[∪]2; +∞[.

—

Exercice n

14

Etudier la parité des fonctions suivantes : 1. f (x) = x

1 + x

.

Correction : La fonctionf est définie surR. Pour toutxdansR, on a f(−x) = (−x)²

1 + (−x)² = x²

1 +x² =f(x).

La fonctionf est donc paire.

— 2. g(x) = 2x

1 + x

.

Correction : La fonctiongest définie surR. Pour toutxdansR, on a g(−x) = 2(−x)

1 + (−x)² = −2x

1 +x² =−g(x).

La fonctiong est donc impaire.

— 3. h(x) = 1 + x

1 + x

.

Correction : La fonction h est définie sur R. Mais cette fois, en écrivant l’expression de h(−x) et en simplifiant, on ne reconnait nih(x) (auquel cas on aurait montré quehest paire), ni−h(x) (ce qui donnerait quehest impaire)... mais cela ne permet pas de conclure !

Pour montrer quehn’est ni paire, ni impaire, il suffit de prendre une valeur dexqui sera un contre-exemple : Par exemple, pour x= 1, on a :

h(1) = 1 + 1

1 + (1)² = 1 eth(−1) = 1−1 1 + (−1)² = 0.

Donc on a h(−1)6=h(1), ce qui dit quehn’est pas paire, eth(−1)6=−h(1), ce qui prouve quehn’est pas impaire.

— 4. l(x) = cos x + sin

x.

Correction : On rappelle que sin²xest juste une notation pour le carré de sinx: sin²x= (sinx)². La fonction lest définie surR(car les fonctions cosinus et sinus sont toutes deux définies surR). Pour tout xdansR, on a

l(−x) = cos(−x) + sin²(−x) = cosx+ (−sinx)²= cosx+ (sinx)²=l(x),

où la seconde égalité utilise le fait que cos est paire et sin est impaire. La fonctionl est donc paire.

— 5. m(x) = sin(x

).

Correction : La fonctionmest définie surR. Pour toutxdansR, on a

m(−x) = sin((−x)³) = sin(−(x³)) =−sin(x³) =−m(x),

où la seconde égalité utilise le fait que la fonction cube est impaire, et la quatrième égalité utilise le fait que la fonction sinus est impaire. La fonction mest donc impaire.

—

Exercice n

15

Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

– f (x) =

.

Les valeurs interdites sont les valeurs dextelles que 8−x³= 0. Or 8−x³= 0⇔x³= 8⇔x= 2.

On a doncD_f =]− ∞; 2[∪]2; +∞[.

— – g(x) =

x + 7 + x

x

+ 2x + 1 .

Correction : La fonction racine carrée est définie sur [0; +∞[. Les valeurs interdites sont donc – les valeurs dextelles quex+ 7<0, et

– les valeurs dextelles quex²+ 2x+ 1 = 0.

Orx+ 7<0⇔x <−7, etx²+ 2x+ 1 = 0⇔(x+ 1)²= 0⇔x=−1. Les valeurs interdites sont donc tous les xtels que x <−7, ainsi que la valeurx=−1. En conclusion,Dg= [−7;−1[∪]−1; +∞[.

— – h(x) = 1

cos(2x) .

Correction : La fonctionhn’est pas définie lorsque cos(2x) = 0. Or, la fonction cosinus s’annule sur tous les angles de la forme π/2 +kπ; k ∈ Z. Donc cos(2x) s’annule pour les valeurs de x telles que 2x= π/2 +kπ; k∈Z, soit x=π/4 +kπ/2 ;k∈Z. On a doncDh=R\ {π/4 +kπ/2 ;k∈Z}.

— – l(x) =

x

3x

18.

Correction : Les valeurs interdites sont les valeurs dextelles quex²−3x−18<0. Cherchons les racines du trinômex²−3x−18 : ∆ = 9 + 4.18 = 81, et le trinôme a donc deux racinesx1= 3 + 9

2 = 6 etx2=3−9 2 =−3.

On en déduit la factorisationx²−3x−18 = (x−6)(x+ 3), et nous pouvons déterminer le signe de ce trinôme en étudiant le signe de chaque facteur (signe d’un produit) :

x −∞ −3 6 +∞

signe dex−6 − − 0 +

signe dex+ 3 − 0 + +

signe dex²−3x−18 + 0 − 0 +

Ainsi, nous avons montré quex²−3x−18<0 si et seulement si−3< x <6. On a doncDl=]−∞;−3]∪[6; +∞[.

— – k(x) =

1|.

Correction : La fonction valeur absolue étant définie surR, il n’y a aucune restriction sur les valeurs dex: Dk =R.

—

Exercice n

16

1. Résoudre les équations

cos x =

et sin x = 0.

Correction : Comme on va le voir, ce type d’équation impliquant les fonction cosinus et sinus ont souvent une infinité de solutions: cela est du au fait que ce sont des fonctions 2π-périodiques.

Equation cosx=−1 :

On connait déja une solution de cette équation : d’aprés le cours, on a cosπ = −1, donc x =π est une solution.

Mais on sait aussi que la fonction cosinus est périodique, de période 2π: cos(x+ 2π) = cosx, pour tout réel x. Autrement dit, deux réels qui diffèrent de 2πont le même cosinus. Ceci implique que

cosπ= cos(π+ 2π) = cos(π+ 4π) = cos(π+ 6π) =...=−1, mais aussi que

cosπ= cos(π−2π) = cos(π−4π) = cos(π−6π) =...=−1.

On peut ré-écrire ceci de manière concise (et exhaustive) par :

cos(π+ 2kπ) =−1, pour tout entier relatif k.

(pour k = 0 on retrouve que cosπ =−1, pourk = 1 on retrouve que cos(π+ 2π) =−1, pourk=−1 on retrouve que cos(π−2π) =−1, etc.)

L’ensemble des valeurs de xtelles que cosx=−1 est ainsi

{π+ 2kπ, oùkest un entier relatif}.

Equation sinx= 0 :

On connait déja une solution de cette équation : d’aprés le cours, on a sin 0 = 0, doncx= 0 est une solution.

En fait, on a vu une seconde solution en cours : sinπ= 0.

Mais on sait aussi que la fonction sinus est périodique, de période 2π, autrement dit que sin(x+ 2π) = sinx, pour tout réel x, i.e. que deux réels qui diffèrent de 2πont le même sinus. Ceci implique (comme dans la question précédente) que

sin(0 + 2kπ) = 0, pour tout entier relatifk, et que

sin(π+ 2kπ) = 0, pour tout entier relatifk.

On peut combiner ces deux lignes en disant que

sin(kπ) = 0, pour tout entier relatif k.

(pour k= 0 on retrouve que sin 0 = 0, pour k= 1 on retrouve que sinπ= 0, pour k=−1 on retrouve que sin(−π) = 0, etc.)

L’ensemble des valeurs de xtelles que sinx= 0 est ainsi

{kπ, oùk est un entier relatif}.

— 2. Donner l’ensemble de définition des fonctions

f(x) = 1

cos x + 1 et g(x) = 1 sin x .

cosx+ 1, il faut que le dénominateur soit non nul, c’est-à-dire que cosx+ 16= 0.

L’ensemble des valeurs de xtelles que cosx=−1 est{π+ 2kπ, oùk est un entier relatif.} (voir exercice

??). L’ensemble de définition def est donc

Df =R\ {π+ 2kπ, oùkest un entier relatif}.

Pour la fonction g(x) = 1

sinx, il faut que sinx6= 0. D’après l’exercice?? l’ensemble de définition deg est donc

Dg =R\ {kπ, oùk est un entier relatif}.

—

Exercice n

17

Soit la fonction f définie par f (x) = 2 2 + cos x . 1. Quel est l’ensemble de définition de f ?

Correction : Il faut que 2 + cosx6= 0.

Or on sait que, quelle que soit la valeur dex, on a toujours 1≥cosx≥ −1. Donc 2 + 1≥2 + cosx≥2−1, et en particulier 2 + cosxest toujours strictement positif. Il n’y a donc pas de valeur interdite : la fonction f est définie surR.

— 2. La fonction f a-t-elle une propriété de parité ?

Correction : Calulonsf(−x), pour un réelxquelconque :

f(−x) = 2

2 + cos(−x) = 2

2 + cosx =f(x),

où l’égalité du milieu vient du fait que la fonction cosinus est paire (cos(−x) = cosx). On a donc montré quef(−x) =f(x) pour tout réelx: la fonction f est donc paire.

—

3. La fonction f est-elle périodique, et si oui, quelle est sa période ?

On sait que cos(x+ 2π) = cosx, pour tout réel x. Donc : f(x+ 2π) = 2

2 + cos(x+ 2π)= 2

2 + cosx =f(x), ce qui montre quef est périodique, de période 2π.

—

4. Mêmes questions pour la fonction g(x) = sin

(2x) + sin(2x).

Correction :

(a) Quel est l’ensemble de définition de g?

La fonction sinus est définie surR: il n’y a donc ici pas de valeur interdite, et la fonction gest définie surR.

(b) La fonctionf a-t-elle une propriété de parité ? Calulonsg(−x), pour un réelxquelconque :

g(−x) = sin²(−2x) + sin(−2x) = (−sin(2x))²−sin(2x) = sin²(2x)−sin(2x),

où la seconde égalité vient du fait que la fonction sinus est impaire. On ne retrouve ni la formule de g(x), ni son opposé. Il semble donc que la fonctiong n’est ni paire, ni impaire ; mais il faut le montrer, et pour cela donner un contre-exemple (cf question??de l’Ex.??).

On sait que sin(π/2) = 1 et sin(−π/2) =−1, donc

g(π/4) = sin²(π/2) + sin(π/2) = 1 + 1 = 2 et

g(−π/4) = (sin(−π/2))²+ sin(−π/2) = 1−1 = 0.

Ceci montre que l’on n’ pas toujours g(−x) =g(x) (g n’est pas paire), nig(−x) =−g(x) (g n’est pas impaire).

(c) La fonctiong est-elle périodique, et si oui, quelle est sa période ?

On sait que sin(x+ 2π) = sinx, pour tout réelx. Donc sin(2(x+π)) = sin(2x+ 2π) = sin(2x), pour tout réelx, et on en déduit que

g(x+π) = sin²(2x+ 2π) + sin(2x+ 2π) = sin²(2x) + sin(2x) =g(x), ce qui montre queg est périodique, de périodeπ.

—

Exercice n

18 Soient les fonctions

u(x) = x

3x

4 , v(x) = 1

x et w(x) = sin x.

Donner les formules des fonctions composées

u

v, v

u, w

v, u

v

w, puis donner leurs ensembles de définition respectifs.

Correction : La fonctionu◦v est donnée par x7−→^v v(x) = 1

x

7−→u u(v(x)) =u(1 x) = (1

x)²−31

x−4 = 1 x² −3

x−4.

Ensemble de définition de (u◦v)(x) = _x¹2 −_x³−4 :

Puisque l’on divise parxet parx², il faut simplement quex6= 0 :D_u◦v=R\ {0}.

La fonctionv◦uest donnée par

x7−→^u u(x) =x²−3x−47−→^v v(u(x)) =v(x²−3x−4) = 1 x²−3x−4.

Ensemble de définition de (v◦u)(x) = _x2−3x−4¹ :

Il faut quex²−3x−46= 0 : on est donc ramené à résoudre l’équations x²−3x−4 = 0.

Le discriminant vaut ∆ = (−3)²−4.(−4) = 25>5, donc il y a deux solutions : x₁= 3 + 5

2 = 4 et x₂= 3−5 2 =−1.

L’ensemble de définition est doncD_v◦u=R\ {−1; 4}.

La fonctionw◦v est donnée par

x7−→^v v(x) = 1 x

7−→w w(v(x)) =w(1

x) = sin(1 x).

Ensemble de définition de (w◦v)(x) = sin(¹_x) :

La fonction sinus est définie surR, donc la seule valeur interdite provient du fait que l’on divise parx:D_w◦v = R\ {0}.

La fonctionu◦v◦west donnée par

x7−→^w w(x) = sinx7−→^v v(sinx) = 1 sinx

7−→u u( 1

sinx) = ( 1

sinx)²−3. 1 sinx−4.

Ensemble de définition de (u◦v◦w)(x) = (_sin¹_x)²−3._sin¹_x−4 :

Il faut que sinx6= 0. Mais on a déja vu dans l’exercice??que l’ensemble des valeurs dextelles que sinx= 0 est {kπ, oùkest un entier relatif}.

L’ensemble de définition deu◦v◦w est donc

D_u◦v◦w=R\ {kπ, oùkest un entier relatif}.

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