O. Emorine - 1 - Puissance, racines carrées et approximations
Puissances, racines carrées et approximations
Activité 1 : Puissance d’un nombre
1. Compléter le tableau suivant sans utiliser la calculatrice :
5 au carré 2 au cube 1 à la puissance 4 -2 au cube -5 au cube -3 à la puissance 4
5² 23 14 (-2)5 (-5)3 (-3)4
5×5 2×2×2 1×××1×× ×××1×××1 × (-2)××××(-2)×××(-2) × (-5)××××(-5)××××(-5) (-3)× (-3)× (-3)× (-3)
25 8 1 -8 125 81
2. Indiquer l’exposant pour chaque colonne de calcul.
3. Quel est le signe de la puissance d’un nombre négatif lorsque l’exposant est pair ? Lorsque l’exposant est impaire ?
……….
4. Compléter les écritures en utilisant la touche de votre calculatrice :
51 =5 06 =0 (-1,2)4 = 2,0736 (-1)3 = -1
2,86 =481,890304 17 =1 753 =421 875 (-25)1 =-25
Le produit de n facteurs égaux à a est noté an et s’appelle la puissance n-ième de a » ; n est appelé exposant :
an = a × a × a × ... ×a
La puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative si l’exposant est impair.
Cas particulier : a1 = a 1n = 1 0n = 0
Activité 2 : Multiples et sous multiples
L’unité d’une grandeur étant choisi (par exemple le litre L), les deux tableaux ci-dessous indiquent par quel nombre est multiplié l’unité :
Préfixe Symbole Multiplicateur Préfixe Symbole Multiplicateur
Téra T 1012 Déci d 10-1
Giga G 109 Centi c 10-2
Méga M 106 Milli m 10-3
Kilo k 103 Micro µ 10-6
Hecto h 102 Nano n 10-9
déca da 101 pico p 10-10
Ex : 1 millilitre = 1 mL = 1×10-3 L = 0,001 L
Sur le même principe calculer en mètres les longueurs suivantes : 0,25 dm=0,25×××10× -1m=0,025 m 0,8 km=0,8××××103m=800 m
255 µm=255×××10× -6m=0,000255 m 500 nm=500×××10× -9m=0,0000005 m Activité 3 :
Calculer :
a. 23×25 et 28 (=256) 32×34 et 36 (=729)
b. 45/42 et 43 (=64) 56/52 et 53 (=125)
c. (23)4 et 212 (=4096) (32)5 et 310 (=59049) d. (3
4)2 et 32
42 (=1/9) (5
2)3 et 53
23 (=15,625)
e. 30 et 50 (=1) f.
10-3 et 1
103 (=0,001) 2-5 et 1
25 (=0,3125)
O. Emorine - 2 - Puissance, racines carrées et approximations
Propriétés des puissances :
an ×××× am = an+m an
am= an-m (an)m = an××××m
(a
b)n = an
bn a0 = 1 Pour a ≠ 0 a-n =1
an En particulier : a-1=1
a 10n = 1000…00 (n zéros) 10-n = 0,000.0001 (n zéros) Notation scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif x est de la forme :
x=a×10n avec 1≤ a <10 et n un entier relatif
Exercices A2, A3 p 10
Activité 4 : carré et racine carrée
En utilisant les touches et de votre calculatrice, compléter les tableaux suivants :
x -5 -1,5 -0,8 0,2 1,1 13 21
x² 25 2,25 0,64 0,04 1,21 169 441
x 0,04 0,64 1,21 2,25 25 169 441
x 0,2 0,8 1,1 1,5 5 13 21
La racine carrée d’un réel positif a est le réel positif a (racine carrée de a) tel que ( a)2=a Le signe est appelé radical.
Activité 5 :
Calculer à l’aide des touches et de votre calculatrice : a. 2× 3 et 6 (≈ 2,449)
5× 8 et 40 (≈6,325)
c. ( 2)² (=2)
b. 7
9 et 7 9 5 6 et 5
6
(≈0,882) j
(≈0,913)
d. (-2)² et 2² (=2)
Propriétés des radicaux : pour a et b des nombres positifs, c positif ou négatif
a×b= a× b ab = ab
( a)²=a c²=|c|
Exercices A5 p 10
O. Emorine - 3 - Puissance, racines carrées et approximations
Un intervalle est une partie de l’ensemble des nombres réels Ψ compris entre deux valeurs extrêmes appelées bornes de l’intervalle.
Par exemple :
x∈[2 ; 3 ] signifie que 2≤ x ≤ 3 et on dessinera
x∈] 2 ; 3 [signifie que 2< x < 3 et on dessinera
x∈]-∞ ; 3 ] signifie que x ≤ 3 et on dessinera
x∈[ 2 ; +∞ ] signifie que x ≥ 2 et on dessinera
Exercices A6, A8 p 12
La valeur approchée d’un nombre à 10-n près est la valeur a tel que |x-a|≤10-n Exemple : 2≈1,414213… donc on peut dire que 2∈[1,4 ; 1,5]
1,4 est la valeur approchée à 10-1 près par défaut de 2 car | 2-1,4|≤10-1 et 2>1,4 1,5 est la valeur approchée à 10-1 près par excès de 2 car | 2-1,5|≤10-1 et 2<1,5.
L’arrondi d’un nombre à 10-n est la valeur approchée par excès ou par défaut à 10-n la plus proche de la valeur exacte du nombre.
Elle est obtenue en regardant le (n+1)ième chiffre après la virgule si ce chiffre est plus grand que 5 on prend la valeur approchée par excès comme valeur approchée sinon on prend la valeur approchée par défaut.
Exemple : si on veut l’arrondi au dixième (10-1) de 2 on regarde le 2ème chiffre après la virgule, c’est un 1 donc on prend la valeur approchée par défaut c'est-à-dire 1,4.
Exercices A9, A10 p 12
Exercices d’entraînement : Exercices 1, 2, 4 p 14 et 5, 11, 17 p 15
Problème : exercices 19, 23, 26 p16
Devoir maison : exercices 21 et 25 p 16
