Corrigé DNB 2019 – Mathématiques
Exercice 1 1)
Nombres à décomposer
Facteurs premiers
69 3
23 23
Donc 69 = 3 × 23.
Nombres à décomposer
Facteurs premiers
1 150 2
575 5
115 5
23 23
Donc 1 150 = 2 × 5² × 23.
Nombres à décomposer
Facteurs premiers
4 140 2
2 070 2
1 035 5
207 3
69 3
23 23
Donc 4 140 = 2² × 3² × 5 × 23.
2) Le seul facteur premier commun est 23. Il y a donc 23 marins.
Exercice 2
1) Le triangle AMD est rectangle en A.
tan ADM = côté opposé à D
côté adjacent à D= AM AD tan 60° =AM
AM = 2 × tan 60° 2 AM ≈ 3,46 m
2) Aire de la plaque = Longueur × largeur = 4 × 2 = 8 m².
MB = BA – AM = 4 – 2 × tan 60°
Aire du rectangle non utilisé = Longueur × largeur = 2 × (4 – 2 × tan 60°) = 8 – 4 × tan 60°
Proportion non utilisée = Aire du rectangle non utilisé
Aire de la plaque = 8 − 4 × tan 60°
8 ≈ 0,13 3) La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Dans le triangle ADM, les trois angles mesurent : 90°, 60° et 30 ° (180° – 90° – 60°).
Dans le triangle DPM :
* DPN = 90° ;
* PDN = ADN − ADM = 90° − 60° = 30°;
* PND = 180° − DPN − PDN = 180° − 90° − 30° = 60°;
Dans le triangle PMN :
* MPN = 90° ;
* PNM = DNM − DNP = 90° − 60° = 30°;
* PMN = 180° − MPN − PNM = 180° − 90° − 30° = 60°;
Les trois triangles AMD, PNM et PDN ont donc leurs trois angles respectivement de mêmes mesures. Ils sont donc semblables.
4) DN = AM = 2 × tan 60°
Le triangle AMD est rectangle en A.
cos ADM =côté adjacent à D hypoténuse = AD
DM cos 60° = 2
DM DM = 2
cos 60°
DM = 4 m
Coef/icient d0agrandissement =DM
DN = 4
2 × tan 60°≈ 1,15
Le coefficient d’agrandissement pour passer de PDN à AMD est donc bien plus petit que 1,5.
Exercice 3
1) a. B = π × rayon² = π × 0,75² = 0,5625π cm² Hauteur de sable = 4,2 ×2
3= 2,8 cm
Volume de sable = B × h = 0,5625π × 2,8 = 1,575π≈ 4,95 cm3.
b. 1,575π ÷ 1,98 ≈ 2,50 min ≈ 2 min 30 s.
2) a. 1 + 1 + 2 + … + 2 + 3 = 40 40 tests ont été réalisés.
b. Etendue = 2 min 38 s – 2 min 22 s = 16 s.
16 < 20 donc l’étendue convient.
La médiane est la moyenne entre le 20e et le 21e temps mesurés. La médiane est donc entre 2 min 29 s et 2 min 30 s. Elle est donc bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
Moyenne =1 × (2 min 22 s) + 1 × (2 min 24 s) + ⋯ + 3 × (2 min 38 s) 40
= 2 min + 1 204
40 = 2 min 30,1 s
La moyenne des temps est donc bien comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.
Le sablier testé sera donc mis en vente.
Exercice 4 1)
2) Le Script 1 correspond au dessin B car l’enchaînement « carré-tiret » est régulier.
Le script 2 correspond au dessin A car l’enchaînement « carré-tiret » est aléatoire.
3) a. La probabilité que le premier élément tracé soit un carré est 8
9.
b. La probabilité que les deux premiers éléments tracés soient des carrés est 8
9×8
9= 8
:. 4) Au début (à l’intérieur) de la boucle « répéter 46 fois », il faudrait rajouter les lignes :
si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1 alors mettre la couleur du stylo à rouge
sinon
mettre la couleur du stylo à noir.
5,00 cm
Position de départ Position d'arrivée
Exercice 5
1) a. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 4 par la translation qui transforme C en E.
b. Le rectangle 3 est l’image du rectangle 1 par la rotation de centre F et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre.
c. Le rectangle ABCD est l’image du rectangle 2 par l’homothétie de centre D et de rapport 3.
Ou
Le rectangle ABCD est l’image du rectangle 4 par l’homothétie de centre C et de rapport 3.
Ou
Le rectangle ABCD est l’image du rectangle 3 par l’homothétie de centre B et de rapport 3.
2) Aire d’un petit rectangle = Aire de ABCD ÷ 3² = 1,215 ÷ 9 = 0,135 m²
3) Longueur = <
9× largeur Aire = Longueur × largeur = 3
2× largeur × largeur =3
2× largeur² largeur9 = Aire ÷3
2= Aire ×2
3= 1,215 ×2
3= 0,81 m9
Comme la largeur est un nombre positif : largeur = √0,81 = 0,9 m Longueur = largeur ×3
2= 0,9 × 1,5 = 1,35 m
Exercice 6
1) Programme 1 : 5 × 3 + 1 = 16
Programme 2 : (5 – 1) × (5 + 2) = 4 × 7 = 28
2) a. A(x) = 3x + 1.
b. 3x + 1 = 0 3x = -1
@ = −1 3
Pour obtenir 0 comme résultat, il faut choisir −8
<. 3) B(x) = (x – 1)(x + 2) = x² + 2x – 1x – 2 = x² + x – 2
4) a. D’une part : B(x) – A(x) = x² + x – 2 – (3x + 1) = x² + x – 2 – 3x – 1 = x² – 2x – 3.
D’autre part : (x + 1)(x – 3) = x² – 3x + 1x – 3 = x² – 2x – 3.
Donc B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)
b. Pour que les programmes 1 et 2 donnent le même résultat, il faut que B(x) – A(x) = 0.
Il faut donc résoudre l’équation (x + 1)(x – 3) = 0.
Soit x + 1 = 0 x = -1
Soit x – 3 = 0 x = 3 L’équation a deux solutions : -1 et 3.
Pour que les programmes 1 et 2 donnent le même résultat, il faut choisir au départ, soit le nombre -1, soit le nombre 3.
