www.etude-generale.com TCSI–2nde Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Calcul vectoriel dans le plan
Vecteur du plan : Rappel
Dé…nition 1 Un vecteur !u est un objet mathématique qui se dé…nit par : Une direction(celle de la droite dans laquelle est inclus le vecteur) Un sens(orientation de la ‡èche)
Une norme : longueur du vecteur notée : k!uk Remarque 2 :
Un vecteur n’a pas de point d’application. On peut donc placer où l’on veut dans le plan euclidien. En cela il se di¤érentie de la force en physique qui a un point d’application.
Les trois caractéristiques d’un vecteur (direction, sens, norme) ne permettent pas de lui donner une position. Lorsqu’on « trace » un vecteur, on n’en donne en fait qu’un représentant.
Pour …xer un représentant particulier du vecteur !u, on peut prendre deux points A et B du plan. On note alors ce représentant : AB:!
Vecteurs égaux
Dé…nition 3 Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Propriété 4 Soient A ; B ; C et D quatre points non alignés du plan. AB! = DC! si et seulement si ABCD est un parallélogramme.
Remarque 5 On peut donc associer un parallélogramme à l’égalité de deux de deux vecteurs, ce qui simpli…e la démonstration pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
Addition vectorielle
Propriété 6 (Relation de Chasles)
Soient A et C deux points du plan. Pour tout point B du plan, on a : ! AB+ !
BC = ! AC
Exemple 7 :
AB!+EC!+BE!+CA! = AB!+BE!+EC!+CA!
= AE!+EC!+CA!
= AC!+CA!
= AA!=!0
Remarque 8 Cette addition de deux vecteurs ne s’applique pas à la norme, en e¤et : k!u +!v k 6=k!uk+k!v k mais k!u +!v k k!uk+k!v k
Propriété 9 (règle du parallélogramme) O; A et B trois points non alignés.
La somme des vecteurs !
OA et !
OB est le vecteur !
OC tel que le quadrilatère OACB est un parallélogramme.
Exemple 10 A; B et C trois points non alignés.
Construire le point E tel que : AE!=AB!+AC:!
A B
C E
Dé…nition 11 (vecteurs opposés)
Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais qu’ils sont de sens contraire.
Remarque 12 AB!= BA!
Exemple 13 ABC est un triangle et E est le milieu du segment [BC]. On considère le point M; tel que : !
CM = ! CA+ !
CE: Montrer que les quadrilatères ACEM et AEBM sont des parallélogrammes.
A
B
C E
M
On a :
CM! = ! CA+ !
CE
() CM! CA!=CE! () M C! CA!=CE! () M C!+CA! =CE! () M A!=CE!
() !
AM = ! CE
Ceci signi…e que le quadrilatère ACEM est un parallélogramme.
D’autre part, on a E est le milieu du segment [BC]. Donc : BE! = EC:! De plus : BE!=M A:! Ce qui montre que le quadrilatère AEBM est un parallélogramme.
Produit d’un vecteur par un réel
Dé…nition 14 Soit un vecteur !u et un réel k:
On dé…nit le produit k!u du scalaire k par le vecteur !u par :
Si k 0, alors k!u a la même direction et même sens que !u et sa longueur est multiplier par k:On a alors : kk!uk=k k!uk:
Si k 0, alors k!u a la même direction et un sens contraire à !u et sa longueur est multiplier par k:On a alors : kk!uk= k k!uk:
Si k = 0, on a : 0!u =!0:
Exemple 15 On a les vecteurs suivants :
Propriété 16 Soient !u et !v deux vecteurs et pour tous réels k et k0. On a : (k+k0)!u =k!u +k0!u
k(!u +!v ) =k!u +k!v k(k0!u) = (kk0)!u
k!u =!0 () k= 0 ou !u =!0
Exemple 17 AetB sont deux points tels que:AB = 6cm:Placer les pointsM et N dé…nis par les relations suivantes :
2AM!+BM!=!0 et 2N A! 5N B!=!0
Astuce. Pour placer les points M et N, on exprime les vecteurs AM! et AN! à l’aide du vecteur !
AB:
Pour le point M:
2AM!+BM! = !0 () 2AM!+ BA!+AM! =!0 () 3AM! AB!=!0
() AM!= 1 3
AB!
Pour le point N:
2 !
N A 5 !
N B = !0 () 2 !
N A 5 ! N A+ !
AB =!0 () 2N A! 5N A! 5AB!=!0
() 3N A! 5AB!=!0 () 3AN!= 5AB!
() AN!= 5 3
AB!
On obtient la …gure suivante :
Colinéarité de deux vecteurs
Dé…nition 18 Deux vecteurs!u et !v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que!v =k!u : Remarque 19 Cela découle directement de la dé…nition du produit d’un vecteur par un scalaire.
Exemple 20 A; B; C et D quatre points du plan tels que : 5AD!= 3AB!+ 2AC:! Montrer que les vecteurs BD! et BC! sont colinéaires.
Les vecteurs BD! et BC! sont colinéaires s’il existe un réel k tel que BD! =kBC:! BD! = BA!+AD!
= BA!+3 5
AB!+ 2 5
AC!
= AB!+3 5
AB!+ 2 5
AC!
= 2
5
AB!+ 2 5
AC!
= 2 5
AB!+AC!
= 2 5
BA!+AC!
= 2 5
BC!
Ceci signi…e que les vecteurs BD! et BC! sont colinéaires.
Propriété 21 (P arallelisme et alignement)
Deux droites(AB) et(CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs AB! etCD! sont colinéaires.
Les pointA; B et C sont alignés si, et seulement si les vecteursAB!etAC! sont colinéaires.
Exemple 22 A; B et C trois points du plan tels que : AB!= 4AC!+ 5CB:! 1. Montrer que : !
AC = 4 ! AB:
2. Que peut-on conclure ?
En utilisant la relation de chaslses, on a :
AC! = AB!+BC!
= 4AC!+ 5CB!+BC!
= 4AC! 4BC!
= 4 AC! BC!
= 4 ! AC+ !
CB
= 4AB!
Comme AC! = 4AB, alors les vecteurs! AC et! AB! sont colinéaires. Ceci signi…e que les points A, B et C sont alignés.
Exemple 23 ABC est un triangle et P le point dé…ni par : 5AB!+ 4P C!=!0: Montrer que ABP C est un trapèze.
Astuce. Pour montrer que ABP C est un trapèze, il faut montrer que les droites (CP) et (AB) sont parallèles, c’est à dire que les vecteurs CP! et AB! sont colinéaires.
Or on sait que :
5 !
AB+ 4 !
P C =!0 () ! AB= 4
5 CP!
Donc, les vecteursCP!et AB! sont colinéaires. Ceci signi…e que les droites(CP) et(AB) sont parallèles. D’où ABP C est un trapèze.
Milieu d’un segment
Dé…nition 24 Soit [AB] un segment.
On dit que I est le milieu du segment [AB] si : IA!+IB!=!0:
Propriété 25 Soit [AB] un segment.
I est le milieu du segment [AB] si et seulement si : AI!=IB ou! AB!= 2AI:! Démonstration 26 On a I est le milieu du segment [AB]:Donc :
IA!+ !
IB =!0 () ! IA= !
IB () ! AI = !
IB D’autre part, on a I est le milieu du segment [AB]: Donc :
IA!+ !
IB=!0 () ! IA+ !
IA+ !
AB =!0 () 2!
IA= !
AB () !
AB= 2! AI
Exemple 27 A; B ; C; M et N cinq points tels que: AC!+BC!=AM!+BN :! Montrer que le point C est le milieu du segment [M N]:
Propriété 28 (La propriété caractéristique du milieu) Soit [AB] un segment et I son milieu.
Pour tout point M du plan, on a :
2M I!=M A!+M B!
Démonstration 29 Soit [AB] un segment et I son milieu. Soit M un point du plan, on a :
M A!+M B! = M I!+IA! + M I!+IB!
= 2M I!+IA!+IB!
= 2 ! M I+!0
= 2 ! M I
D’où, pour tout point M du plan on a 2M I!=M A!+M B:!
Exemple 30 Soit ABC un triangle et M; N et P trois points tels que : AM! = 23AB ;! AN!= 13AC! et AP!=AB! 13BC:!
1. Montrer que : !
M N + !
M P = 2 !
AM + ! AN + !
AP :
2. Montrer que M est le milieu du segment [N P]:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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