Justi…er la dérivabilité de la fonction g sur ]0;+1[

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Matiére : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI

Série d’exercices sur la fonction logarithme Problème d’analyse 01.

Le but du probleme est d⁰etudier certaines proprietes de la f onction f:

On considère la fonction f dé…nie sur l’intervalle ]0;+1[ par :

f(x) =xln(1 + 1

x²) si x 0 et f(0) = 0:

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ) (unité graphique : 5cm)

Partie 01

On considère la fonction g dé…nie sur l’intervalle ]0;+1[par :

g(x) = ln(1 + 1

x²) 2 x²+ 1

1. Justi…er la dérivabilité de la fonction g sur ]0;+1[; puis montrer que pour tout x 2 ]0;+1[

g⁰(x) = 2(x² 1) x(x²+ 1)²

2. Étudier le signe de g⁰(x) pour tout x2]0;+1[. Déterminer la limite de la fonction g en +1, puis déterminer la limite de g en 0:

3. Déduire le tableau de variations de la fonction g:

4. En déduire qu’il existe un unique réel 0 tel que :g( ) = 0:Véri…er que 0;5 0;6:

5. Déduire des questions précédentes le signe de g(x) pour tout x2]0;+1[:

Partie 02

1. a) Calculer la limite quand x tend vers +1 de xf(x). (penser au changement de variable : X = _x¹2):

b) En déduire que f(x) tend vers 0 quand x tend vers +1: Montrer que pour tout x de ]0;+1[; on a

f⁰(x) = g(x)

c) Dresser le tableau de variations de f sur ]0;+1[ 2. L’étude de f en 0:

a) Montrer que xln(1 + _x¹₂) tend vers 0 quand X tend vers 0 par valeur supérieures.

b) Que peut-on en conclure ? c) étudier la dérivabilité de f en 0:

d) Préciser la tangente à la courbe de f au point O:

3. Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse 1:

4. Construire l’allure de la fonction f dans le repère orthonormé (O;!i ;!j ):

Problème d’analyse 02.

On considère la fonction f dé…nie sur l’intervalle ]0;2[ par : f(x) = ln( x

2 x)

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):

1. a) Calculer limx !0

x 0 f(x) et limx !2 x 2 f(x):

b) Justi…er la dérivabilité de la fonction f sur ]0;2[; puis montrer que pour tout x2]0;2[ on a :

f⁰(x) = 2 x(2 x) c) Dresser le tableau de variations de la fonction f:

d) Écrire une équation équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point A(1;0):

2. On pose : '(x) =f(x) x pour tout x de l’intervalle ]0;2[:

a) Montrer que : '(³₂) 0 et '(⁷₄) 0: (on prendra : ln 3 = 1;1 et ln 7 = 1;94) b) Déduire que l’équation f(x) =x admet une solution telle que : ³₂ ⁷₄; et

interpréter géométriquement le résultat obtenu.

c) Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f ¹dé…nie sur un inter- valle J qu’on déterminera.

3. Construire dans le même repère orthonormé (O;!i ;!j ) la courbe (C)et la courbe ( ) réprésentative de la fonction f ¹:

FIN

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