TRI 32

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 32

EXTRI320-EXTRI329

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans

Septembre 2011

(2)

EXTRI320 – EPL, UCL, Louvain, Juillet 2011

Pour les affirmations suivantes, cochez laquelle de ces affirmations est la vraie.

Un triangle qui ne contient pas le centre du cercle dans lequel il est inscrit, est

Obtus Rectangle Aigu

Dans l'inter



 

valle , l'équation 3sin 8sin3 possède exactement

4 4

1 solution 2 solutions 3 solutions

tan tan

L'expression est identiquement égale à

1 tan tan

tan tan tan

Si dans un triangle on

x x x

x y y

x y x y

ABC

 

   

 

  



 a sin² sin² sin² , alors

90 90 90

A B C

A A A

 

     

 

3

2

1) Obtus

2) 3sin 8sin

1er cas : sin 0 0

3 6

2ème cas : sin sin

8 4

6 0.21

sin 4 0.21 0.79 A rejeter

6 0.21

sin 4 0.21 1.21 A rejeter

3 solutions

tan tan

3)1 tan tan

x x

x x x

x

x y y



  

   

 

        

  

         



  

 

tan tan 1 tan tan tan

tan tan

1 tan

1 tan tan

x y

y y

x y

x y y

 

 

 



tany

 tan tan²

1 tan tan

x y



1 tan tanx y tan tanx y tan² 1 tan tan

y

x y



 ² 

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

tan 1 tan 1 tan tan

4) sin sin sin sin sin sin 0

sin sin sin 0 (Formules des sinus) 0 2 cos 0 (Formule des cosinus) cos 0 90 car et sont positifs et différ

x y

y x

A B C B C A

b c

A A A

a a

b c a bc A

A A b c

  



     

   

     

     ents de zéro.

Le 16 octobre 2010.

(3)

EXTRI321 – EPL, UCL, Louvain, Juillet 2011.

On cherche à relier quatre villes, qui forment les coins d'un rectangle de dimensions fois , par des routes de façon à ce que la somme des longueurs des tronçons (c-à-d les lignes en traits plein), s

a b

oit de longueur minimale.

Par souci de simplicité nous cherchons des solutions d'un des deux types suivants (avec deux points d'intersections intérieurs).

où les deux dessins sont symétriques par rapport à l'horizontale aussi bien que par rapport à la verticale.

1) Pour chacun des deux dessins, donnez les bornes que doivent satisfaire les angles et , en

  fonction de et .

2) Pour chacun des deux dessins, donnez les longueurs totales des tronçons, en fonction de , , d'une part et en fonction de , et d'autre part.

3) Donnez les dérivées de ces longu a b

a b  a b 

eurs totales par rapport à et et trouvez les solutions optimales de et à un degré près.

4) Pour 20 km et 30 km, calculez la longueur des différents tronçons du choix optimal à un km près.

a b

 

 

(4)

1) Les positions extrêmes de sont milieu de tan

90

Et donc : arctan 90 Par symétrie : arctan

2) Traitons le cas pour . La longueur totale des trançons est :

4 2 4. 2

sin N

O MN a

b P

a b

b a

a

L_ NC BC NP b

  

   

   

 



    



 

2 2 2 2 2

2

2. 2 tan 2

sin tan

Par symétrie : 2

sin tan

2 1 2

3) cos . cos

sin tan cos sin sin

2 cos 1 sin

Dérivée qui sera nulle pour : 2 cos 1 0 60

Par symétrie : 2

sin

a

a a

b

b b

L a

dL a a a a

d

a

dL b

d







 

  

 

  

 

       

     

   



       

 

  

32

cos 1 60

Les solutions optimales sont alors :

2 3

3 3

4) Pour 20 km et 30 km, le chemin optimal est donné par .

20 3 20 3

On a : 11.5 km et 30 6.2 km

3 3

20 3 2

4. 30

3

opt

a a

L b a b

L b a

a b L

NC MN

L







     

    

 

 

    

    0 3

30 20 3 64.6 km

3   

Le 4 novembre 2011^£+

(5)

EXTRI322 – EPL, UCL, Louvain, Septembre 2011.

On dispose d'une pièce de forme losange dont l'angle en est et la longueur de la diagonale est notée .

Représentez graphiquement le cercle le plus grand que l'on peut découper dans cette

ABCD A

AC d





2

pièce et exprimez mathématiquement son aire en fonction de et . Estimez cette aire au cm près, pour 12 cm et 60 .

Calculez l'expression mathématique de la chute (c-à-d l'aire restant de la piè d

d



    

 ce

losange après découpe du cercle) en fonction de , le rayon du cercle, et de . Calculez l'angle qui minimise cette chute pour fixe.

r r



 

2

2 2

2

2 2

2

sin 2

2 2 sin

2

L'aire du cercle est donnée par : sin

4 2

12 60

Donc : sin 9

4 2

L'aire du losange est :

. . . tan tan

2 2 2 2 2

4 4

tan2

2 sin 2 sin cos

2 2

Cercle

losange

d r

r PO d

A r d

A

d DB d d

A d DO d

r r

    

 

  

   

 

   

   

2

2 2

4 sin 2 L'aire de la chute est :

4 sin

Cette chute sera minimale si sa dérivée est nulle :

4 cos 0 cos 0

sin 2

C'est bien un minimum

2 0

chute losange cercle

chute

r

A A A r r

dA r

d

dA d A

  

    



          

 



 



min Autrement dit le losange est un carré.

Le 6 novembre 2011

(6)

 

  ² ²

Pour quelles valeurs de comprises dans l'intervalle 0,3 , la fonction 2

suivante est-elle strictement positive?

3 cos 3 sin 2sin cos 3 cos sin

x f x

f x x x x x x x

  

 

 

    

Solution proposée par Nicole Berckmans

 

   

Pour étudier le signe de , on va le factoriser.

1) Diminuons le degré des sin et cos .

3 cos 2 sin 2 3 cos sin

2) Groupons les termes afin de pouvoir utiliser les formules de Simpson 3 cos 2 cos

f x

x x

f x x x x x

f x x x

   

    

 

sin 2 sin Les formules de Simpson sont appliquées 2 fois

3 3

2 3 sin sin 2 sin cos

2 2 2 2

3) Mise en évidence

2 sin3 3 sin cos

2 2 2

4) Racines et signe

2 4 3

0 3 3 3 2

sin3 0 0 0

2

3 sin cos 0

2 2

x x

x x x x

f x

x x x

f x

x x



  

 

   

 

   

     

       

 

0 0 0 0

Conclusion : est strictement positive dans l'intervalle 0,3 2

2 4

si 0, ,

3 3 3

f x f x

x

 

    

 

 

 

  

   

    

(7)

Méthode alternative 1

 

     

  

2 2

3 cos 3 sin 2 sin cos 3 cos sin

3 cos sin cos 3sin cos 3 sin 3 cos sin

cos 3 cos sin 3 sin 3 cos sin 3 cos sin

3 cos sin cos 3 sin 1

Cherchons les racines dans l'intervalle 0,3 2 ) 3

f x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

a

    

     

     

   

 

 

 

 

cos sin 0 tan 3 et 4

3 3

) cos 3 sin 1 0 tan 3 cos 1

3 2

L'équation devient : cos 1.cos 0

2 2

3 3

3 Il reste à dresser le tableau de signes

2 4 3

0 3 3 3 2

3 cos sin 0 0

co

x x x x

b x x

x x

x k

x

x x

 

     

           

   

 

  

        

   

       

 

s 3 sin 1 0 0

0 0 0 0

Conclusion : est strictement positive dans l'intervalle 0,3 2

2 4

si 0, ,

3 3 3

x x

f x f x

x

        

    

 

 

 

  

   

    

(8)

Méthode alternative 2

(9)

Cette méthode fait appel à des notions qui ne font plus partie du programme du secondaire. Nous donnons cette alternative simplement pour montrer qu'il est parfois possible de résoudre certains problème

 

s en faisant appel à des théories qui en principe n'ont rien avoir avec le problème posé.

Dans l'expression 0, on reconnait une conique si sin et cos . Pour pouvoir factoriser celle-ci il faudr

f x  X  x Y  x

  ² ²

ait qu'elle soit dégénérée en deux droites ou une droite double ! Un rappel sur les coniques est donné ci-dessous.

Soit la fonction 3 cos 3 sin 2 sin cos 3 cos sin On pose cos et sin et on ob

f x x x x x x x

Y x X x

    

 

  ² ²

tient.

, 3 2 3 3

Ce qui est l'équation d'une conique avec :

3 1

4 0 : c'est donc une hyperbole.

1 3

3 1 3

2

= 1 3 1 0 : c'est une hyperbole dégénérée en ses deux asymptotes.

2

3 1

2 2 0 Les coefficients

F X Y  Y  YX  X  Y X

    



  



   

 

1 2

2

' '

1 1

1

' '

2 2

angulaires des asymptotes s'obtient à partir de : 3

2 2 3 0 3

3 Les équations des asymptotes sont :

2 2 3 1 3 2 3 2 3 4 3 1 0

3 1 0

3 4 3

2 2 3 1 2 3 2 3

3

x y

m

m m

m

T f m f y x y x y x

T y x

T f m f y x y x

  

    

 



            

    

          

    

1

3 0

3

3 0

Donc : , 3 1 3

Et donc : cos 3 sin 1 3 cos sin

Pour la suite : voir alternative 1

y x

T y x

F X Y y x y x

f x x x x x

 

   

   

(10)

2 2

Rappel

Classification synthétique des courbes du deuxième ordre Soit la conique :

2 2 2 0

On définit

et Alors

0 Ellipse réelle

1) 0 0 Ellipse dégénérée

0 Ellipse

Ay Bxy Cx Dy Ex F

A B D A B

B C E B C

D E F A

A A

     

    

  

     

   imaginaire

0 Hyperbole proprement dite

2) 0

0 Hyperbole dégénérée 0 Parabole proprement dite

3) 0

0 Parabole dégénérée Détermination des asymptotes d'une conique

L'équation d'une asymptote





 

    

 

    

' '

2

' '

à une conique s'écrit : 0

2 0

avec

et : les dérivées partielles respectivement par rapport à et à

2 2 2

: coefficient de direction des asymptotes.

x y

f mf

Am Bm C

f f x y

f By Cx E

f Ay Bx D

m

 

  

  

28 septembre 2010

(11)

Pour les affirmations suivantes, cochez laquelle de ces affirmations est la vraie.

La somme des angles , , et d'un quadrilatère dont les segments et s'intersectent

est toujours égale à 24

A B C D ABCD

AB CD



2

est toujours n'est pas

0° égale à 360° constante

Dans l'intervalle 0 , l'équation tan =1 admet strictement

2 1 tan

1 solution 2 solutions 3 solutions

sin sin

L'expression est identiquement ég cos cos

x x

x

b

a b

   



 



 

ale à

tan tan 2 tan

2 2

Si dans un triangle rectangle en , les côtés , et (opposés aux angles respectifs , et ) satisfont 3 , alors

75 75 75

a b a b

a b

ABC A a b c

A B C b c

B B B

 







     



2

1) N'est pas constante.

tan 1

2) 1 tan 2 1 tan 2 2 0.553

1 tan 2 2

Donc une seule racine dans 0, 2 2 sin cos

sin sin 2 2

3) tan

cos cos 2 cos cos 2

2 2

4) tan 3 3 60 75

x x x x k

x

a b a b

a b

b c

B B

c c

        



  

 

 

 

     



       

Le 6 novembre 2011

(12)

A partir d'un point de la surface de la terre supposée parfaitement sphérique de rayon ; on considère la calotte sphérique formée par les points tels que le chemin le plus court entre et le lon

A

r B

A B g de la surface de la terre est de longueur strictement inférieure à . On construit une tour de hauteur à la verticale du point .

1) Faites un croquis de la situation et indiquez-y les quantités ,

d h A

r d et ainsi que les variables intermédiaires que vous utiliserez dans vos calculs.

2) Donnez les formules qui permettent de calculer, en fonction des variables et , la hauteur minimale de telle que le

h

r d h sommet de la tour soit en vue

directe de tous les points de la calotte.

3) Calculez la hauteur à un mètre près pour les ensembles de données suivantes : 6371 km, 100 km et 6371 km, 15000 km.

h

r d  r d 

 

avec et en radian

cos

1 1

cos cos

1) Si 6371 km et 100

6731000 1 1 785

cos 100 6371 2) Si 6371 km et 15000

Il n'y a pas de solution car doit être plus petit

r d

h OC r OC

r

h r r r

d d

r r

r d km

h m

r d km

d

    



 

      

 

 

 

 

   

 

 

 

que le quart 2 6371

de la circonférence de la Terre : 15000 10007 4

   

Le 6 novembre 2011

(13)

EXTRI326 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2011.

Solution proposée par Jan Frans BROECKX

Le 31 janvier 2012

(14)

EXTRI327 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2011.

Le 31 janvier 2012

(15)

EXTRI328 – FACS, ULB, Bruxelles, Septembre 2011.

Le 31 janvier 2012

(16)

EXTRI329 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2011.

Deux observateurs, et distants de 1750 m sur une horizontale , observent au même instant une avion dans le ciel. Cet avion est dans le plan vertical de la base d'observation et les angles d'é

B C BC

A

BC lévation sont 70 et 84 .

Quelle est la hauteur de l'avion par rapport aux deux observateurs s'il se trouve entre ceux-ci? (Arrondir au mètre le plus proche).

B C

AD

   



Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

1 février 2012