-1-
Devoir sur table Signal et rayonnement + Chimie organique
DM1 – A rendre le 4 octobre 2018
1. Etude des vibrations d’un verre
Dans le vingt-et-unième album de la série « Les Aventures de Tintin », intitulé « Les Bijoux de la Casta- fiore », cette dernière est en mesure de faire exploser un verre par la simple utilisation de sa voix. Le présent sujet se penche sur les aspects physiques de ce phénomène et tente de déterminer les circons- tances dans lesquelles il est effectivement possible de réaliser une telle prouesse.
Afin d’en faciliter la lecture et l’analyse, certaines courbes et images expérimentales ont été simplifiées.
I - Analyse expérimentale des vibrations du verre
Il est extrêmement facile, en frappant un verre à pied, d’entendre le son que celui-ci émet. On se propose dans cette partie de déterminer, à partir d’une modélisation simple, quelques propriétés des oscillations libres d’un verre mis ainsi en vibration.
Un verre à pied, d’un diamètre de 12 cm, est frappé, à l’instant t = 0, au niveau du bord supérieur à l’aide d’un petit marteau. Le son émis est enregistré par ordinateur (figure 1. Son analyse spectrale peut alors être réalisée à tout moment de l’enregistre- ment).
Le microphone utilisé pour l’enregistrement présente une courbe de « réponse » en fonction de la fréquence donnée sur la figure 2. On précise que la « réponse » peut être assimilée à un facteur d’amplification dont le but est de comparer l’amplitude d’une grandeur caractéristique du signal électrique produit et celle d’une grandeur caractéristique de l’onde acoustique reçue par le microphone. Exprimée en décibels, ce facteur s’amplification s’exprime sous la forme 20.log(G).
La figure 3 représente le chronogramme de cet enregistrement et la figure 4 une analyse spectrale réalisée peu après le début de l’enregistrement. La figure 5 présente son analyse spectrale aux dates t = 1,0, 2,0, 3,0 et 4,0 seconde.
-2-
-3- I.A - Analyse qualitative de l’enregistrement
Les pics représentés dans les analyses spectrales correspondent à des modes propres de vibration du verre.
1. Quelle est la fréquence du signal enregistré ?
2. Commenter l’allure de la courbe de gain du microphone. Que vaut le gain du filtre sur la partie horizontale. Cette valeur présente-t-elle un intérêt pour la réalisation d’un suivi fidèle du phénomène étudié ?
I.B - Estimation du facteur de qualité Q
Quand le verre est en vibration, son bord supérieur oscille autour de sa position au repos. Afin d’estimer le facteur de qualité du verre, on le modélise par une masse 𝑚 mobile sur l’axe (Ox) horizontal associée à un ressort de raideur k, de longueur à vide nulle (figure 6). Les frottements seront, quant à eux, modélisés par un frottement fluide de type 𝑓⃗ = − 𝛼𝑣⃗ où 𝑣⃗ désigne le vecteur vitesse de la masse 𝑚.
3. (pour les 5/2) Montrer que l’équation différentielle traduisant l’évolution temporelle de x(t) s’écrit de la façon suivante, avec 𝜔0 et 𝑄 deux constantes que l’on exprimera en fonction de α, k et m :
𝑑2𝑥 𝑑𝑡2+𝜔0
𝑄 𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0
4. Quelle est la signification physique de 𝜔0 et de 𝑄 ? Quelles sont les unités de ces grandeurs dans le système international ? 5. Compte tenu du choc initial avec le marteau, déterminer, dans le cas d’un frottement « faible », l’expression approchée de
la solution x(t) avec les conditions initiales x(0) = 0 et (𝑑𝑥
𝑑𝑡)
(𝑡=0)= 𝑣0. Représenter son allure.
6. En quoi, l’enregistrement de la figure 3 est-il en accord à la modélisation par un frottement fluide ?
7. Proposer, à partir de l’évolution temporelle de l’amplitude du signal de fréquence 0,55 Hz sur les analyses spectrales, un ordre de grandeur du facteur de qualité Q.
Dans la suite de l’expérience, on chercher à mettre en résonance le verre à l’aide d’une excitation sinusoïdale.
8. Donner une estimation du temps nécessaire pour mettre le système en régime sinusoïdal forcé.
II. Étude de la résonance en amplitude du verre en régime sinusoïdal forcé
On souhaite étudier plus finement la réponse en amplitude du verre au voisinage de la fréquence de résonance (𝑓𝑟= 0,55 𝐻𝑧) précédemment déterminée.
Un hautparleur relié à un générateur basse fréquence produit une onde sonore sinusoïdale de fréquence f. Le verre, placé à proximité du haut-parleur (figure 7), est ainsi placé en régime sinusoïdal forcé.
L’équation différentielle traduisant l’évolution temporelle de x(t) est alors de la forme suivante ci-dessous, avec 𝜔 = 2𝜋𝑓 la pul- sation et ϕ la phase du signal acoustique délivré par le générateur basse fréquence :
𝑑2𝑥 𝑑𝑡2+𝜔0
𝑄 𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 𝐴0cos (𝜔𝑡 + 𝜙)
En régime sinusoïdal forcé, la solution est de la forme 𝑥(𝑡) = 𝑋 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑). Comme en électrocinétique, la grandeur com- plexe associée à 𝑥(𝑡) est 𝑥(𝑡) = 𝑋. 𝑒𝑗(𝜔𝑡 + 𝜑) avec 𝑗2= −1.
-4- 9. Que représentent le module et l’argument de x ?
10. Établir l’expression du module de x en fonction de 𝜔, 𝜔0, 𝐴0 et 𝑄.
11. À partir d’une étude qualitative, identifier le numéro de graphe de la figure 8 compatible avec le tracé du module de x en fonction de la pulsation ω.
12. À quelle condition sur le facteur de qualité peut-on envisager une résonance d’amplitude de 𝑥(𝑡) ? On note 𝑄0 la valeur minimale de 𝑄 permettant d’observer une résonance.
13. Dans le cas d’une résonance d’amplitude, exprimer la pulsation correspondante de résonance, notée 𝜔𝑟 en fonction de 𝜔0
et 𝑄.
Dans la suite, on suppose 𝑄 >> 𝑄0.
14. Simplifier dans cette hypothèse l’expression de la pulsation de résonance 𝜔𝑟 ?
15. On note 𝑋𝑟 le module de x pour 𝜔 = 𝜔𝑟. Établir son expression en fonction de 𝜔0, 𝐴0 et 𝑄.
16. Définir les pulsations de coupure 𝜔1 et 𝜔2 (𝜔1< 𝜔2) du module de x. Retrouver la relation liant 𝜔0 𝑒𝑡 𝛥𝜔 = 𝜔2− 𝜔1.
III. Le microphone électrostatique
Le microphone électrostatique, dont la courbe de réponse a été donnée figure 2, est constitué d’une membrane 𝑃1 de surface 𝑆, extrêmement légère de masse 𝑚𝑒. Celle-ci, réalisée en métal (ou en polyester rendu conducteur par un saupoudrage de métal), est mobile et constitue l’une des armatures d’un condensateur plan.
L’espace entre la membrane 𝑃1 et l’armature fixe 𝑃2 est entièrement rempli d’air de permittivité électrique 𝜀0. Au repos, la dis- tance entre les deux armatures parallèles est notée 𝑒. En mouvement, la liaison entre l’isolant et la membrane peut être modéli- sée par une force de rappel élastique de constante de raideur 𝑘𝑒.
Les variations de pression provoquées par l’onde sonore engendrent ainsi une variation de la capacité que l’on exploite dans le circuit électrique de la figure 15 de manière à suivre le signal u(t) aux bornes de la résistance 𝑅 = 10 𝑘Ω. Les variations de 𝐶(𝑡) et par conséquent de 𝑢(𝑡) sont à l’image de celles de la pression acoustique : 𝐶(𝑡) = 𝐶0+ 𝐶1cos(𝜔𝑡) avec 𝐶1≪ 𝐶0
-5-
17. On note u(t) la tension aux bornes de la résistance R et 𝑈0 la tension de polarisation du condensateur. Établir la relation liant 𝑢(𝑡), 𝑈0, 𝑅 𝑒𝑡 𝐶(𝑡). Montrer que 𝑢(𝑡) vérifie l’équation différentielle :
𝑅𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡+ (1 + 𝑅𝑑𝐶
𝑑𝑡) 𝑢 = 𝑈0𝑅𝑑𝐶 𝑑𝑡 On admet que l’équation différentielle peut être simplifiée sous la forme : 𝑑𝑢
𝑑𝑡+ 𝜔0𝑢 = 𝜔. 𝐴. cos (𝜔𝑡 +𝜋
2) et qu’en régime sinusoïdal forcé, la solution est de la forme 𝑢(𝑡) = 𝑈. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢).
18. Montrer, que pour des fréquences raisonnables (en dessous de 10 kHz), le graphe 20.log(U) en fonction de ω est compatible avec la réponse relative du microphone en fonction de la fréquence donnée figure 2.
IV. Rôle du haut-parleur dans la cavité acoustique
Le hautparleur représente l’autre élément important de la cavité. Afin d’analyser son influence, un générateur basse fréquence l’alimente avec une tension 𝑢𝑔(𝑡) = 𝑈𝑔. cos(𝜔𝑡). Le microphone précédemment étudié est utilisé comme capteur, un voltmètre mesure directement la tension efficace aux bornes de celui-ci (figure 16). Le relevé des mesures est représenté sur la figure 17.
19. À quel type de filtre peut-on assimiler le hautparleur ? Évaluer, à partir de la figure 17, les fréquences de coupure du filtre notées 𝑓𝑐1 et 𝑓𝑐2.
-6-
O
Nopinone
Br
OEt
O Zn
OH
COOEt [1]
MeOOC
OAc
OAc [5]
-OAc = -O-C-CH3
1) H2SO4, MeOH 2) CH3-C-CH3, H+
MeOOC
O
O [6]
O
O COOEt
O 1) LiAlH4, THF
2) TsCl, pyridine 3) NaCN, DMSO
O
CN
[2] [3]
2. Dispositifs électroniques utilisant des condensateurs
L’hinésol est une molécule de la famille des terpènes ayant des propriétés pharmacologiques en particulier dans le domaine antis- pasmodique. La première étape met en jeu une réaction de Réformatsky selon le schéma réactionnel suivant :
Les mécanismes peuvent être écrits avec des représentations simplifiées des molécules montrant les groupes fonctionnels en jeu. En revanche, lorsqu’il est demandé de représenté une molécule, celle-ci doit être complète.
1. Sachant que le zinc agit sur les dérivés bromés comme le ferait le magnésium, proposer un mécanisme pour la conversion observée.
2. Proposer une justification à la stéréosélectivité observée.
Par une étape non étudiée ici, le composé [1] se cyclise puis est soumis au traitement suivant :
3. Sachant que le réactif LiAlH4 est un puissant donneur d’ions hydrure et transforme les esters en aldéhyde, puis les aldéhydes en alcool primaires, proposer un mécanisme à son action sur le composé [2]. Expliciter ensuite les structures des composés intermédiaires non isolés lors du passage de [2] à [3]. Expliquer le rôle de l’étape impliquant le chlorure de tosyle.
La fonction nitrile R-CN du produit [3] est hydrolysée. Puis un traitement du produit par le méthanol en milieu acide permet d’ob- tenir le composé [4].
4. Identifier la structure du composé [4] en explicitant le mécanisme de la réaction entre l’acide carboxylique et le méthanol.
Quel est le rôle du milieu acide ? Donner deux possibilités permettant d’augmenter le rendement de cette réaction.
Par une étape non étudiée, la molécule [5] est synthétisée à partir de la molécule [4]. Elle est ensuite soumise au traitement ci- dessous :
5. Quelle est la fonction créée dans la molécule [6] ?
-7- OH
[7]
Hinésol OH
6. Quel est le rôle de la première étape de traitement par le méthanol en présence d’acide sulfurique ? Qu’aurait-on obtenu si le méthanol était remplacé par l’eau ?
Par une suite de réactions non décrites, on forme la molécule [7] ci-dessous, qui est ensuite traitée par de l’acide métachloroper- benzoïque (ou mCBPA) en milieu hydrogénocarbonate. On obtient la molécule [8].
7. Représenter la molécule [8]. A quelle famille appartient le mCPBA ?
8. Ecrire, au moyen de molécules simplifiées, l’équation de réaction associée à la transformation de [7] en [8].
La molécule [8] est ensuite chauffée en milieu acide concentré. Le spectre IR montre la disparition d’une bande large située autour de 3300 cm-1 et l’apparition d’une bande fine à 1650 cm-1.
9. Donner la structure de la molécule [9] ainsi obtenue en explicitant le mécanisme de cette réaction. Justifier les données IR.
La dernière étape permet d’obtenir la molécule d’hinesol par réaction avec l’aluminohydrure de lithium LiAlH4 dans l’éther diéthy- lique sur [9], suivi d’une hydrolyse.
10. Proposer un mécanisme permettant de justifier la formation de la molécule d’hinésol. Qualifier le type de sélectivité obser- vée et proposer une justification.
DONNEES SPECTROSCOPIQUES Table des nombres d’onde des vibrations d'élongation et de déformation
Ctet : C tétragonal Ctri : C trigonal >C=
Liaison Nature Nombre d’onde (cm-1) Intensité
F : fort ; m : moyen ; f : faible
O-H alcool lié Élongation 3200-3600 F ; large
Ctet-H Élongation 2850-2990 F
C=O ester Élongation 1715-1750 F
C=C Élongation 1620-1690 m
C=C aromatique Élongation 1450-1600 3 ou 4 bandes
