Solutions du Devoir n˚7

Solutions du Devoir n˚7 page 1 de 2

Solutions du Devoir n˚7

I) 8 points

1. a) f étant décroissante sur[2; +∞[, on a pour toutxde[n;n+ 1]: f(n+ 1)6f(x)6f(n).

Donc en intégrant cette inégalité de n à n+ 1 (inégalité de la moyenne) on obtient :

((n+ 1)−n)f(n+ 1)6 Z n+1

n

f(x)dx6((n+ 1)−n)f(n), soit f(n+ 1)6v_n6f(n)

b) En appliquant la propriété précédente sur[n+ 1;n+ 2], on obtient f(n+ 2)6v_n+16f(n+ 1).

Donc par transitivité : v_n+16f(n+ 1)6v_n. Donc v est décroissante à partir de 2 . 2. a) f(x) = 1−e^−x

x+e^−x

En posantu(x) =x+e^−x, on obtientu⁰(x) = 1−e^−x, doncf(x) =u⁰(x) u(x). On étudie le signe deu(x)sur[2; +∞[:

Quand a-t-on1−e^−x>0?

Pour e^−x<1, soit−x <0, soitx >0, ce qui est le cas ici.

Donc une primitive def est F :F(x) = ln(x+e^−x) b) D’après la relation de Chasles, v0+· · ·+vn=

Z n+1 0

f(x)dx

Doncsn=F(n+ 1)−F(0) = ln(n+ 1 +e⁻ⁿ⁻¹)−ln(1) = ln(n+ 1 +e⁻ⁿ⁻¹)

II) 5 points

Il faut d’abord étudier les positions relatives def etg. Pour cela, on étudie le signe de f(x)−g(x) = 3

3−x−x−1 =· · ·=x(x−2) 3−x .

D’après la règle des signes,f(x)−g(x)>0pourx <0,f(x)−g(x)<0pour0< x <2 etf(x)−g(x)>0pour2< x <3.

Donc la région entre les courbes (au sens large) correspond à 0 6 x 6 2 et sur cet intervallef(x)6g(x).

D’après une propriété du cours (aire entre deux courbes), il faut donc calculer Z 2

0

g(x)−f(x)dx= Z 2

0

g(x)dx− Z 2

0

f(x)dx(linéarité).

Une primitive def estF :F(x) =−3 ln(3−x)carf(x) =−3u⁰(x)

u(x) avecu(x) = 3−x, u(x)>0sur[0; 2]

Donc Z 2

0

3

3−x dx=F(2)−F(0) =−3 ln(1) + 3 ln(3) = 3 ln(3) D’autre part, une primitive deg estG:G(x) =x²

2 +x Donc

Z 2 0

x+ 1dx=G(2)−G(0) = 4−0 = 4

Donc l’aire cherchée est 4−3 ln(3) ≈0,704unités d’aire.

III) 3 points

SoitF(x) = (ax²+bx+c)e^2x. AlorsF⁰(x) = (2ax+b)e^2x+ 2(ax²+bx+c)e^2x F⁰(x) = (2ax²+ (2a+ 2b)x+ (b+ 2c))e^2x

On identifieF⁰(x)etf(x):





 2a= 1 2a+ 2b=−1 b+ 2c= 1

⇔





 a=1

2 b=−1 c= 1

IV) 4 points

1. D’après la formule donnée,sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Par linéarité,I+J = Z π/2

0

sin(x) + 2 sin(x) cos(x) 1 + 2 cos(x) dx=

Z π/2 0

sin(x)dx

Solutions du Devoir n˚7 page 2 de 2 I+J =−cos(π/2) + cos(0) = 1

2. Pour le calcul de I, on poseu(x) = 1 + 2 cos(x), doncu⁰(x) =−2 sin(x).

Sur [0;π/2],u(x)>0carcos(x)>0.

Donc une primitive de la fonction à intégrer est F:F(x) =−1

2ln(1 + 2 cos(x)) I=−1

2ln(1 + 2 cos(π/2)) +1

2ln(1 + 2 cos(0)) = 1 2ln(3) DoncJ = (I+J)−I= 1−1

2ln(3)