Solutions du devoir n˚6

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Solutions du devoir n˚6

Principes utilisés :

Multiplication :P(A∩B) =P(A)PA(B)

Addition : SiA etB sont disjoints :P(A∪B) =P(A) +P(B) Complémentaire :P(A) = 1−P(A)

I) 6 points

Pour un tirage,P(N) = 0,5, P(R) = 0,3,P(V) = 0,2.

P(A) = 0,3²= 0,09

P(B) = 0,5²+ 0,3²+ 0,2²= 0,38

P(C) = 1−0,38 = 0,62(On utilise le complémentaire) P(D) = 1−0,7²= 0,51(On utilise le complémentaire)

II) 8 points

1. a) • P(D) = 0,3 P_D(I) = 0,2 P_D(I) = 0,8

• P(C) = 0,2 PC(I) = 0,5 PC(I) = 0,5

• P(T) = 0,1 PT(I) = 0,7 PT(I) = 0,3

• P(A) = 0,4 PA(I) = 0 PA(I) = 1

b) Formule des probabilités totales (somme des chemins) :

P(I) = (0,3×0,2) + (0,2×0,5) + (0,1×0,7) + (0,4×0) = 0,23 c) P_I(s >10) = P(I∩(s >10))

P(I) = 0,4×0,2

1−0,23 ≈ 0,104

2. On fait un nouvel arbre résumé, avecI et Iau premier niveau.

Somme des chemins :

(0,23×0,4) + (0,23×0,6×0,23) + (0,77×0,23×0,4)≈ 0,195

III) 6 points

1. f(x) =e^u(x) avecu(x) = ln(x) x f⁰(x) =u⁰(x)e^u(x)= −ln(x) + 1

x² e^u(x), du signe de−ln(x) + 1.

Quand a-t-on−ln(x) + 1>0? Quandln(x)<1, soit 0< x < e

x 0 e +∞

f⁰(x) + 0 −

f(x)

0

e^1/e

1 Etudions les limites deu:

x→0lim ln(x)

x =−∞(pas d’indétermination, forme « −∞

0⁺ »), donc lim

x→0f(x) = 0

x→+∞lim ln(x)

x = 0(croissances comparées), donc lim

x→+∞f(x) = 1

2. a) Pour toutn>3,un6u3 (care <3 etf est décroissante sur[e; +∞[) Oru2=f(2) =√

2≈1,4 etu3= 3^1/3≈1,44.

Doncu₁< u₂< u₃ et donc pour toutnentier>1, on au_n6u₃

b) D’après le sens de variation def, on ne peut avoirum=un avecm < nque sim < eetn > e. Doncmne peut prendre que deux valeurs, 1 ou 2.

u₁= 1, donc d’après le sens de variation et la limite 1 en+∞, il n’y a pas de solution pourm= 1.

u2= 2^1/2. Quand a-t-onun= 2^1/2 avecn > e?

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On a vuu3> u2, essayonsu4:u4= 4^1/4= 4^1/2^1/2

= 2^1/2=u2

Donc le seul couple(m;n)solution avecm < nest (2; 4)