TaleST I Etude d’une fonction logarithme Lundi 19 janvier 2008
Devoir surveillé n˚6
Problème de bac, Bac sti gm, 1999
Soitf la fonction définie sur ] 0 ; +∞[ par
f(x) = x+ 2 + lnx
x .
La courbe représentativeCde la fonctionf dans le repère (O;−→ı;−→) est tracée sur la feuille ci-jointe (à compléter au fur et à mesure et à rendre avec la copie).
Partie I : Étude de la fonction f 1. Calculer la limite def en 0+. Que peut on en déduire ?
2. (a) Vérifier que pour toutxde ] 0 ; +∞[,
f(x) = 1 + 2 x+lnx
x . (b) Déterminer la limite def en +∞.
(c) En déduire l’existence d’une asymptote D à la courbe C. Donner son équation et la tracer sur la feuille ci-jointe.
3. (a) Prouver que, pour toutxde ] 0 ; +∞[,
f′(x) = −1−lnx x2 . (b) Montrer quef′(x) s’annule en changeant de signe ene−1.
(c) Établir le tableau de variation def. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de f.
Partie II : Position relative de deux courbes Soitg la fonction définie sur ] 0 ; +∞[ par
g(x) = 1 + 2 x etH la courbe représentative deg dans le repère (O;−→ı;−→).
1. (a) Étudier la fonctiongsur ] 0 ; +∞[ (limites, dérivée, tableau de variation).
(b) Donner les équations des deux asymptotes de la courbeH. 2. (a) Calculerf(x)−g(x) et étudier son signe.
(b) Étudier la position relative des deux courbesC etH.
(c) On noteK le point d’intersection deC et deH. Quelles sont ces coordonnées exactes ? 3. Placer le pointKet construire la courbeH sur la feuille ci-jointe.
Partie III : Calcul d’une aire
On noteAl’aire du domaine plan limité par les courbesC etH et par les droites d’équationsx= 1 etx=e2. 1. Soitula fonction définie sur ] 0 ; +∞[ par
u(x) = 1 2(lnx)2. Vérifier queuest une primitive de lnx
x sur ] 0 ; +∞[.
2. CalculerAen unité d’aire. (On rappelle que A= Z e2
1
f(x)−g(x)dx=u(e2)−u(1)) 3. Hachurer l’aire correspondante sur le graphique.
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N0M : . . . .
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4
−1
C
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4
−1
C H
K
b
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Correction du Devoir surveillé n˚6
Partie I : Étude de la fonction f 1. Calcul de la limite en 0+ :
x→0lim+ x+ 2 = 2 lim
x→0+ ln(x) =−∞
donc, par somme, lim
x→0+ x+ 2 + ln(x) =−∞
lim
x→0+ x+ 2 + ln(x) =−∞
lim
x→0+ x= 0+
donc, par quotient, lim
x→0+ f(x) =−∞
ce qui prouve que la droite d’équationx= 0 est asymptote verticale à la courbe def 2. (a) f(x) = x
x+2 x+lnx
x d’où : f(x) = 1 + 2
x+lnx x
(b) Calcul de la limite en +∞:
x→+∞lim 1 = 1
x→+∞lim 2 x = 0
x→+∞lim lnx
x = 0
donc, par somme : lim
x→+∞ f(x) = 1
(c) Le résultat précédent prouve alors que la droitey= 1 est asymptote horizontale à la courbe def . 3. (a) f′(x) = (1 + 0 +x1)×x−(x+ 2 + lnx)×1
x2 f′(x) = x+ 1−x−2−lnx
x2 f′(x) = −1−lnx
x2
(b) Il est clair quef′(x) est du signe de−1−lnxpuisque x2 est toujours positif.
Or−1−lnx≥0 ⇐⇒ −1≥lnx ⇐⇒ e−1≥x Et−1−lnx≤0 ⇐⇒ −1≤lnx ⇐⇒ e−1≤x Donc, f′(x) s’annule en changeant de signe ene−1 (c) Tableau de variation def :
x 0 e−1 +∞
Signe def′(x) + 0 −
1 +e
Variations def ր ց
−∞ 1
f(e−1) = 1 + 2
e−1 +lne−1
e−1 = 1 + 2e−e= 1 +e
Partie II : Position relative de deux courbes 1. (a) Limites :
lim
x→0+ 1 = 1
x→0lim+ 2 x= +∞
donc, par somme : lim
x→0+ g(x) = +∞
x→+∞lim 1 = 1
x→+∞lim 2 x = 0
donc, par somme : lim
x→+∞ g(x) = 1
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Dérivée : g′(x) = 0− 2
x2 donc : g′(x) =− 2 x2 Signe de g′(x) :
−2 est strictement négatif etx2 est positif d’où : g′(x)<0 sur ] 0 ; +∞[ Tableau de variation :
x 0 +∞
Signe deg′(x) − +∞
Variations def ց
1
(b) Les limites précédentes nous indiquent deux asymptotes pour la courbeH : x= 0 asymptote verticale ety= 1 asymptote horizontale
2. (a) f(x)−g(x) = lnx x
f(x)−g(x) est du signe de lnxpuisquexest toujours positif sur l’intervalle considéré.
Or, lnx≤0⇐⇒0< x≤1 et lnx≥0⇐⇒x≥1
Donc, f(x)−g(x)≤0⇐⇒0< x≤1 etf(x)−g(x)≥0⇐⇒x≥1 (b) On récapitule le résultat précédent dans un tableau :
x 0 1 +∞
Signe def(x)−g(x) − 0 +
Comparaison f(x)≤g(x) | f(x)≥g(x)
Position relative deC etH C est en dessous deH | C est au dessus deH Conclusion : Cest en dessous deH sur ] 0 ; 1 [ égale en 1 et au dessus deH sur ] 1 ; +∞[ (c) K(1;g(1)) donc : K(1; 3)
3. Voir graphique
Partie III : Calcul d’une aire 1. u′(x) = 1
2×2×1
x×lnx= lnx x donc, uest une primitive de lnx
x sur ] 0 ; +∞[ 2. A=
Z e2
1
f(x)−g(x)dx=u(e2)−u(1) A= 1
2(ln(e2))2−1
2(ln(1))2 A= 1
2 ×22−1 2×02 A= 2 unités d’aire 3. Voir graphique.
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