Mathématique ECS 1 17 mars 2018
Devoir surveillé 6.
Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Voici quelques points de rédaction à respecter scrupuleusement :
0.Il est inutile de recopier l’énoncé.
1.Prévoyez des copies (doubles) distinctes par exercice et traitez les questions dans l’ordre.
2.Vous pouvez admettre un résultat donné par l’énoncé à condition de l’indiquer clairement dans votre copie.
3.Les copies non soignées seront pénalisées dans la mesure de 10% de la note finale.
4. Les résultats obtenus à chaque question devront être encadrés.
5.N’utilisez pas d’encre rouge, ni de crayon à papier pour écrire sur la copie.
6. Ecrivez sur les lignes et sautez (au moins ) une ligne quand vous passez d’une question à une autre.
Aucune abréviation ne doit figurer dans vos phrases qui doivent être rédigées dans un français correct !
7.Ce qui est illisible ne sera pas lu, en particulier les surcharges dans les parties de la copie non destinées à la rédaction (bas de page, haut de page, marge, interlignes). Pas de ratures, vous avez du brouillon pour vos essais et recherches préalables. Si vous vous servez d’effaceurs, de stylos correcteurs ou autres moyens d’effaçage, n’oubliez pas, après le temps de séchage réglementaire, de procéder aux rectifications projetées.
8.Quelques rappels : les symboles∀,∃,=⇒,⇐⇒n’ont rien à faire dans une phrase. Ces symboles ne doivent pas figurer en début de ligne et le symbole⇐⇒ doit toujours avoir un membre à gauche et à droite à `chaque premier emploi. Je signale encore une fois que la flêche =⇒n’a pas le sens de « donc »et que m’écrire P ⇐⇒ Qne signifie pas que vous m’annoncez queP ouQest vraie ! Bannissez ces symboles de vos raisonnements et employez le symbole⇐⇒ uniquement dans le cadre de la résolution d’(in)équations ou de système d’(in)équations.
9.Une dernière recommandation importante : si vous ne parvenez pas à établir un résultat ou si vous n’avez aucune idée de la manière de l’établir, n’inventez pas !
10.Ne pas respecter l’un des points précédents entraînera une réduction de la note finale de 2,5% par défaut constaté.
La durée de l’épreuve est de quatre heures.
Aucune sortie définitive avant la fin de l’épreuve et pas de sortie toilette pendant les deux premières heures.
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Exercice 1. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à2 etA∈Mn(R).
(1) Montrer que le sous-ensembleF ={M ∈Mn(R)|AM=M A} est un sous-espace vectoriel deMn(R).
(2) On suppose n = 2 et A est la matrice 2 3
1 4
. Déterminer une base du sous-espace vectoriel F des matrices qui commutent avecA.
Exercice 2. Etablir, pour tout réelx >1, l’égalité : 2 Arctan
1
√x−1 +√ x
+ Arctan(√
x−1) = π 2
Exercice 3. Dans cet exercice, on emploiera la notion de suite équivalente dont on donne la définition ci-dessous.
Soit(bn)une suite de réels ne s’annulant pas.
On dit qu’une suite réelle(an)est équivalente à la suite(bn)si lim
n→+∞
an
bn
= 1.
On note alorsan∼bn.
Attention, cette notation ne doit pas être confondue avec la notation≈utilisée pour des valeurs approchées.
On considère la suite de nombres réels(un)n∈N définie paru0=a∈R+∗ et pour toutn≥0, un+1=un+u2n. Etude de la convergence de (un)n∈N
(1) Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
(2) Montrer que cette suite diverge vers+∞.
Comportement asymptotique de(un)n∈N
On définit la suite(vn)n∈Npar : vn = 1 2nlnun
1
(1) Prouver que pour tout entier ndeN: vn+1−vn = 1
2n+1ln(1 + 1 un
).
En déduire que quels que soient les entiers naturelspetn: 0< vn+p+1−vn+p≤ 1
2n+p+1ln(1 + 1 un
)
(2) En déduire que quels que soient les entiers naturelsket n 0< vn+k+1−vn ≤ 1
2nln(1 + 1 un
).
(on pourra commencer en écrivant vn+k+1−vn sous forme d’une somme telescopique) (3) Démontrer que la suite (vn)n∈Nest majorée, puis qu’elle converge vers une limite notéeα.
(4) Compléter le programme suivant pour qu’il calcule une valeur approchée de αà une précision10−3. eps=1E-3;
d=1;
u=a;
v=ln(a);
while ... then d=2*d;
u=...;
v=...;
end
(5) Montrer que pour toutn∈N, un ≤exp(α2n).
En passant à la limite pournfixé dans l’encadrement obtenue en (2), montrer que pour toutn∈N, exp(α2n)≤un+ 1.
En déduire une suite équivalente à la suite(un).
(6) On pose, pour tout n∈N, βn= exp(α2n)−un.
Montrer que la suite (βn)n∈N est bornée et qu’elle vérifie la relation suivante : 2βn−1 = (βn+1+β2n−βn) exp(−α2n) (6) En déduire la limite de la suite(βn).
Exercice 4. Deux urnesA etB, initialement vides, peuvent contenir au plusnboules (n∈N∗).
On s’intéresse au protocole suivant
•On choisit l’urne Aavec la probabilitép∈]0,1[, l’urneB avec la probabilitéq= 1−p.
•On met une boule dans l’urne choisie.
• On répète cette épreuve autant de fois qu’il est nécessaire pour que l’une des urnes A ou B soit pleine, c’est-à-dire contiennenboules, les choix des urnes étant mutuellement indépendants.
Partie 1. Préliminaires.
On définit la suite de terme généralan par : an=
√n 4n
2n n
pour toutn∈N∗.
(1) Calculer, pour tout entiern≥1, le rapport an+1
an . (2) Démontrer, pour tout entiern≥1, l’inégalité : an≤
r n 2n+ 1.
(3) Etudier le sens de variation de la suite(an)n∈N∗, et montrer qu’elle converge vers un réel`tel que : 1
2 ≤`≤ 1
√2.
2
On admet que`= 1
√π.
Partie 2. Etude de l’urne incomplète.
On noteRn la variable aléatoire égale au nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l’urne qui n’est pas pleine, à l’issue de l’expérience.
(1) Déterminer les lois deR1,R2 etR3. Justifier vos calculs.
(2) Calculer l’espérance et la variance deR1,R2 et R3. On suppose désormais n≥2.
(3) Quel est l’ensembleRn(Ω)des valeurs prises par la variableRn? (4) Soitkappartenant àRn(Ω).
(a) Calculer la probabilité qu’à l’issue du(n−1 +k)-ème tirage l’urneAcontiennen−1boules et l’urneB contienne kboules.
(b) Déterminer alors la probabilitéP([Rn =k]).
(c) Vérifier, lorsquep= 1 2, que
∀k∈J0, n−2K, 2(k+ 1)P([Rn=k+ 1]) = (n+k)P([Rn=k])
On suppose désormais p=1 2. (5) Déduire de (4c), l’égalité,
E(Rn) =n−(2n−1)P([Rn=n−1]).
En vous aidant de la question (3) de la partie 1., déterminer une suite simple équivalente à la suite(n−E(Rn)).
(6) De façon analogue, montrer que :
E(R2n) = (2n+ 1)E(Rn)−n(n−1) (7) En déduire l’expression deV(Rn)en fonction denetE(Rn).
(8) Pour toutn∈N∗, on poseun= n−E(Rn) 2n−1 .
Etablir une relation de récurrence entreunetun−1puis écrire un algorithme Scilab permettant de calculer l’espérance deRn.
3
