Devoir surveillé n°6

1

S

Nom : Prénom :

Barème n°1 : 5 points n°2 :4 points n°3 :3 points n°4 :3 points n°5 : 5 points TOTAL :20 points Note :

Exercice 1 :

Partie A : Etude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer : 1. La concentration à l’instant initial.

2. L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0.5 𝑔𝑟/𝐿 . On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction.

Partie B : Etude théorique

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0; 8] par : 𝒇(𝒕) = − 𝒕^𝟐

𝒕^𝟐+ 𝟏+ 𝟏

où t représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et 𝑓(𝑡) la concentration (en gr/L) du médicament dans le sang.

1. Montrer que : ∀𝑡 ∈ [0: 8]: 𝑓(𝑡) = ¹

𝑡²+1

2. Etudier les variations de 𝑓sur [0; 8].

3. Déterminer le nombre d’heures nécessaires pour avoir exactement 0.4gr/L dans le sang.

4.

a) Résoudre l’inéquation : 𝑓(𝑡) ≤ 0.1

b) On admet que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est inférieure ou égale à 0.1gr/L.

Pendant combien de temps ce médicament est-il actif ?

Exercice 2 :

Une machine produit des dosettes de café. Une dosette doit théoriquement avoir une masse de 8 g. Pour vérifier la qualité de la production, on prélève un échantillon de 50 dosettes et on relève la masse réelle de chacune.

1. La qualité de la production est jugée satisfaisante si les trois conditions suivantes sont satisfaisantes :

 La masse moyenne d’une dosette de l’échantillon diffère de la masse théorique de moins de 0.1g.

 Au moins 95% des données de l’échantillon appartiennent à l’intervalle : [8 − 2𝜎 ; 8 + 2𝜎] où 𝜎 représente l’écart type de l’échantillon.

 Plus de 65% des données de l’échantillon appartiennent à l’intervalle A partir de cet échantillon, la qualité de la production parait-elle satisfaisante ?

2. Construire le diagramme en boite de cette série en justifiant vos résultats.

Masses 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

effectifs 3 6 4 4 7 6 4 6 4 6

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 8h, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe ci-contre :

Exercice 3 :

a) On pose 𝑥 = 𝐴𝑀.

Démontrer que l’aire du domaine coloré est donnée par : 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 8.

b) Etudier les variations de la fonction 𝑓 sur [0; 4].

c) Myriam est persuadée que l’aire du domaine coloré occupe toujours au moins 40% de l’aire du carré ABCD.

A-t-elle raison ? Justifier

Exercice 4 :

Sur la figure ci-contre,

 ABC est un triangle rectangle isocèle en C.

 ABED est un carré

 EHFG est un parallélogramme

 (𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^𝜋

4[2𝜋]

1. Calculer la mesure principale de : (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2. Que peut-on en déduire sur les droites (AC) et (FG) ?

Exercice 5 :

ABCD est un parallélogramme. I et J sont les points définis par : 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ =²

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =¹

2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

K est le point tel que AIKJ est un parallélogramme. On note M le point d’intersection des droites (DI) et (BJ).

1. Compléter la figure :

2. On se place dans le repère (𝐴; 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ )

a) Quelles sont les coordonnées de B, D, C et K ? justifier.

b) Déterminer une équation des droites (DI) et (BJ).

c) En déduire les coordonnées de M.

3. Démontrer que les points M, K et C sont alignés.

Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 4, M est un point du segment [AB].

AMEF est un carré, H est un point de [CD] tel que MBH est isocèle en H.