Solutions du Devoir n˚ 2 page 1 de 2
Solutions du Devoir n˚ 2
I)
1. Pour que p
v(u(x)) soit défini il faut et il suffit que v(u(x)) soit défini et que v(u(x))>0.
Pour que 1
u(x) soit défini il faut et il suffit queu(x)soit défini et queu(x)6= 0.
u(x)est défini pour toutxréel (polynôme).
Donc les conditions de définition sont :3x−26= 0et 1
3x−2 >0, ce qui revient à : x6= 2
3 etx> 2
3, ce qui équivaut finalement à x > 2 3 . Donc le domaine de définition est
2 3; +∞
Conseil de rédaction : exprimez d’abord le domaine de définition sous forme d’un système de conditions à satisfaire, puis résolvez ce système.
2. • Dérivabilité (rédaction détaillée):
uest dérivable sur le domaineDf car c’est un polynôme.
Lorsque x∈Df, on au(x)∈]0; +∞[(pourx > 2
3, on a 3x−2>0)
Or v est dérivable sur ]0; +∞[ (fonction usuelle : inverse). Donc par composition v◦uest dérivable surDf.
Lorsque x∈Df,v(u(x))∈]0; +∞[(pourx > 2
3, on a 1
3x−2 >0).
Or w est dérivable sur ]0; +∞[ (fonction usuelle : racine). Donc par composition w◦v◦uest dérivable surDf.
• Dérivabilité (rédaction abrégée) : f est une composée de fonctions usuelles dé- rivables sur des domaines compatibles : 3x−2 6= 0 et 1
3x−2 > 0. Donc f est dérivable surDf.
f0(x) =· · ·=− 3 2(3x−2)√
3x−2 (dérivée d’une racine carrée composée).
II)
f est dérivable sur son domaine de définition d’après les règles sur les opérations et les fonctions usuelles (quotient de polynômes).
f0(x) =· · ·=x(6−x) (x−3)2
Le signe dex(6−x)est obtenu avec la règle du signe d’un trinôme (racines 0 et 6).
x 4 6 8
f0(x) + 0 −
f(x)
−16
−12
−12,8 f croît jusqu’àx= 6, avecf(6) =−12), puis décroît.
La fonction admet donc un maximum−12en 6. C’est donc la plus grande valeur.
f(4) =−16et f(8) =−12,8, doncf(4)< f(8), donc la plus petite valeur de f(x)est
−16, obtenue pourx= 4.
Plus grande valeur :−12. Plus petite valeur :−16
III)
f est dérivable surR car elle est obtenue par opérations et compositions de fonctions usuelles dérivables.
f0(x) =· · ·= (2−x)e−x/2(dérivée d’un produit, d’une exponentielle composée) f est croissante jusqu’àx= 2avecf(2) = 4/epuis décroissante.
•Limite en −∞: Dans ce cas,−x
2 tend vers+∞.
D’après les limites connues, la limite se présente sous la forme «(−∞)×(+∞)».
Cette forme n’est pas indéterminée, le résultat est −∞
•Limite en +∞: Dans ce cas,−x
2 tend vers−∞.
Solutions du Devoir n˚ 2 page 2 de 2 D’après les limites connues, la limite se présente sous la forme «(+∞)×0».
Cette forme est indéterminée. On essaye de résoudre l’indétermination en changeant de variable :X= x
2.X tend vers+∞.
La fonction s’écrit alorsf(x) =· · ·= 4X eX = 4
eX X
.
D’après la limite rappelée dans l’énoncé et les règles sur les limites, la limite def en +∞est donc 0 (forme « 4
+∞ »)
x −∞ 2 +∞
f0(x) + 0 −
f(x)
−∞ 0
2•
IV)
f est dérivable sur Rcar elle est obtenue par opérations et compositions de fonctions usuelles dérivables, avec un dénominateur non nul (ex−x >0).
f0(x) =· · ·= −xex+ 2ex−1
(ex−x)2 = u(x) (ex−x)2
Doncf0 est du signe de u. Pour trouver le signe deu, on utilise ses variations.
Courbe deu:
α• •
β
D’après le sens de variation deuet la position de ses zéros, uest strictement positive sur]α, β[et négative en dehors.(il faut absolument écrire cette phrase ou l’équivalent) Doncf est décroissante jusqu’àα, croissante jusqu’àβ, puis décroissante.
x −∞ α β +∞
f0(x) − 0 + 0 −
f(x)
Courbe def :
α•
β•
•
•
