SYSTÈME DU 2

(1)

Exercice 1 : SYSTÈME DU 2

^ÈME

ORDRE CAS GÉNÉRAL.

Soit un système modélisé par la fonction de transfert :

2

0 02

( ) ( )

2 1

( ) 1 . .

S p K

H p E p z

p p

 

 

 

On soumet au système une entrée en échelon : e t( )Ec u t. ( ).

Question 1 :

Déterminer l’ordonnée en + s(+). Conclure sur l’influence des paramètres caractéristiques K, z et ₀ sur le régime permanent.

Question 2 :

Calculer l’erreur statique e_r(    ) e( ) s( ). Que faudrait-il faire pour que ce système soit précis ?

Question 3 :

Déterminer le discriminant du dénominateur de la fonction de transfert. Sur quoi agit le coefficient z ?

(2)

Exercice 2 : MAXPID.

On s'intéresse à l’asservissement en position du bras du système Maxpid (sous-système d’un robot de récolte d’orange « Citrus » de la société Pellenc) présent dans le laboratoire de SII.

Ce système sert à étudier le principe de motorisation des différentes articulations du robot « citrus » :

(voir vidéo sur site du professeur)

Son comportement est modélisé par la fonction de transfert

2

( ) 9800

( ) 10000 600 35

c

p

p p p

 

    

c( )t

 est l’angle, par rapport au plan horizontal, de consigne du bras en °.

( )t

 est l’angle, par rapport au plan horizontal, atteint par le bras en °.

Question 1 :

Déterminer les paramètres caractéristiques de la fonction de transfert de ce système.

Question 2 :

En déduire le type de sa réponse à un échelon (non oscillatoire, oscillatoire amortie…). Si nécessaire, indiquer la valeur de la pseudo-période notée T_a.

Question 3 :

Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système soumis à une entrée de type échelon.

On soumet le système à une entrée en échelon _c( )t 20

Question 4 :

Donner, dans ce cas, le nombre de dépassement de la réponse ( )t . Indiquer, pour chacun d’entre eux, leur valeur relative et leur valeur absolue.

Question 5 :

Ce système est-il précis ? Sinon, donner l’erreur statique.

Question 6 :

Tracer l’allure de la réponse ( )t en précisant les points caractéristiques.

NB : il n’est pas demandé de calculer ( )t .

(3)

Exercice 3 : BANDEROLEUSE À PLATEAU TOURNANT.

(Selon le concours ATS 1999)

Pour limiter les effets dynamiques qui pourraient endommager le contenu des colis, on désire contrôler l’accélération ( )t d’un point situé sur la périphérie du plateau tournant d’une banderoleuse destinée à enrouler un film transparent sur les faces latérales de colis palettisés.

(voir vidéo sur site du professeur)

Modélisation.

Pour cela, un accéléromètre (capteur d’accélération), fixé sur la périphérie du plateau et de sensibilité S, est utilisé dans la chaîne de retour du système. Le système est donc asservi en accélération

Le moteur permettant la motorisation du plateau est modélisé par la fonction de transfert :

1 .

A

 p On modélise le correcteur par la fonction de transfert C p( ).

L’asservissement en accélération peut alors est représenté par le schéma-bloc suivant :

Avec : ( )p

 la transformée de Laplace de ( )t

3 -2

10.10^

 où g est l’accélération de la pesanteur

(4)

On applique à l'entrée une consigne en accélération _c( )t 20.g (où g est l’accélération de la pesanteur).

Première étude : Système asservi sans correction C(p) = 1.

Question 2 :

Déterminer l’expression de la fonction de transfert de ce système ainsi que ses paramètres caractéristiques. Faire l’application numérique.

Question 3 :

Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système à une entrée en échelon.

Conclure par rapport au système initial (= sans être asservi).

Question 4 :

Donner la valeur de l'accélération en régime permanent.

Ce système est-il précis ? Sinon, donner l’erreur statique. Conclure.

Question 5 :

Donner l’allure de la réponse (t) de ce système en précisant les points caractéristiques.

Deuxième étude : Système asservi avec un correcteur intégral C(p) = 1/p.

Question 6 :

Déterminer l’expression de la fonction de transfert de ce système ainsi que ses paramètres caractéristiques. Faire l’application numérique.

Question 7 :

Calculer le temps de réponse à 5 % de ce système à une entrée en échelon.

Conclure en le comparant au système asservi sans correction.

Question 8 :

Donner la valeur de l'accélération en régime permanent.

Ce système est-il précis ? Sinon, donner l’erreur statique. Conclure.

Question 9 :

Donner l’allure de la réponse (t) de ce système en précisant les points caractéristiques.

Bilan.

Question 10 :

Conclure sur les 3 cas (systèmes initial, asservi sans correction, asservi avec correction).

( )t



(5)

Exercice 4 : SYSTÈME DE CORRECTION DE PORTÉE D’UN PHARE AUTOMOBILE.

(Selon le concours CCP PSI 2003)

Présentation du système.

L‘assiette d‘un véhicule se modifie avec sa charge, le profil de la route ou les conditions de conduite (phase de freinage ou d‘accélération). Cette modification entraîne une variation d‘inclinaison de l‘axe du faisceau lumineux produit par les phares du véhicule. Ceux ci peuvent alors éblouir d‘autres conducteurs ou mal éclairer la chaussée.

Certaines voitures sont équipées de système de correction de portée.

Ce système fait appel à des capteurs « d‘assiette » (inclinaison entre l’axe de la voiture et la route) fixés sur les essieux avant et arrière du véhicule.

Les données issues de ces capteurs sont traitées par un calculateur (comparateur + correcteur) qui détermine la commande à transmettre, après amplification, aux actionneurs situés derrière les projecteurs.

La position du projecteur est ajustée en maintenant un angle de faisceau optimal évitant tout éblouissement et fournissant le meilleur éclairage de la route.

Le système étudié est un correcteur de portée statique. Il ne tient compte que de la variation d‘assiette due à la charge du véhicule et corrige la portée lorsque le véhicule est à l‘arrêt puis conserve cette correction lorsque le véhicule roule.

Éléments constitutifs du correcteur de portée :

Capteurs d’assiette : codeurs optiques permettant de mesurer le débattement des suspensions.

Système d’orientation : bloc d’orientation + moto-réducteur + dispositif vis écrou

Le bloc d‘orientation supporte les différentes lampes du phare (codes, clignotants…). Il peut pivoter par rapport au support lié à la carrosserie autour d‘un axe horizontal (axe de rotation indiqué sur la figure ci- dessous). Ce mouvement est motorisé grâce au moto-réducteur associé à un dispositif vis-écrou. Il existe aussi une possibilité de réglage manuel en sortie d‘usine ou en cas de défaillance du système électrique.

( )t



(6)

Diagrammes SADT niveau A-0, A0 et A3 :

Question 1 :

Déterminer A, B, C, D, E, F et G.

(7)

Étude du comportement du système de correction de portée non asservi.

On s’intéresse à la chaîne d’action du système de correction de portée de phare. Cela revient à simuler le comportement du système sans asservissement en position angulaire, on parle d’un système en boucle ouverte.

La chaîne d‘action complète comprend :

 L‘ensemble (capteur + calculateur) qui mesure l‘angle d’assiette ( )t du véhicule et détermine la commande u t_c( ) du moteur. L‘ensemble est assimilable à un système proportionnel de gain : K_c.

 Le moteur à courant continu dont la fonction de transfert est notée M p( ).

 Un retour tachymétrique (mesure de vitesse) associé au moteur et assimilable à un gain pur : 0,03 . 1.

tachy

K  V rad^ s.

 Le réducteur de vitesse dont le rapport de réduction est de 490.

 Le dispositif vis-écrou (de « pas » p = 6mm) qui transforme la rotation de l’axe du réducteur en translation de l’axe de sortie. (1 tour de la vis fait avancer de 1 « pas » l’écrou).

 Le bloc d‘orientation : l‘angle de correction de portée ( )t étant petit, on peut linéariser la loi entrée- sortie sur le domaine d‘utilisation ; l‘angle ( )t est proportionnel au déplacement x t( ) de la vis.

(θ(t) varie entre 20

 et 20

 pour x(t) compris entre -15mm et +15mm).

Question 2 :

Compléter le diagramme fonctionnel de la chaîne d‘action ci-dessous, en précisant le nom des constituants dans les blocs, les informations véhiculées entre les blocs ainsi que leur symbole et leur unité (les fonctions de transfert ne seront pas déterminées).

NB : - L’entrée B(p) est la transformée de Laplace de β(t) et la sortie Θ(p), la transformée de Laplace de θ(t).

- Attention, le bloc grisé modélise le passage de la vitesse angulaire ( )p à la position angulaire ( )p !!

Question 3 :

Compléter le diagramme fonctionnel de la chaîne d‘action ci-dessous, mais cette fois-ci en précisant les fonctions de transfert des constituants à l’intérieur des blocs.

Pour déterminer la fonction de transfert M p( )du moteur, on dispose de sa réponse indicielle (entrée de type échelon unitaire) obtenue expérimentalement :

r rad/s

r rad

r rad/s

r rad

(8)

Question 5 :

Proposer une hypothèse permettant de modéliser le moteur par un système du 1 ordre.

Question 6 :

Démontrer ce résultat en déterminant l’expression de sa sortie. Utiliser pour cela l’expression de la fonction de transfert obtenue à la question 4 et une entrée indicielle.

Question 7 :

Identifier M p( )à un 1^er ordre en déterminant ses paramètres caractéristiques sur la courbe.

Question 8 :

En déduire la fonction de transfert ( )

'( ) ( )

m c M p p

U p

  du moteur équipé du retour

tachymétrique. Indiquer les avantages et les inconvénients de cette boucle de retour sur le comportement du moteur.

La fonction de transfert de la chaîne d‘action complète est donnée par : ( ) 0,003 ( ) ^c.(1 0,025. ).

p K

B p p p

 

 (Les angles d‘entrée et de sortie sont exprimés en radian).

Question 9 :

Indiquer si cette fonction de transfert peut-être mise sous une forme canonique « classique » d’un système du 2^ème ordre. En déduire s’il est possible de tracer simplement la réponse du système à une entrée de type échelon.

On se place dans le cas ou le véhicule est brusquement chargé à l‘arrière : ( )t  ₀.

Question 10 :

Déterminer l’expression de ( )p et tracer, sans déterminer ( )t , l‘allure de l‘entrée et l‘allure de la réponse sur le même graphique.

Question 11 :

Est-ce satisfaisant ?

Étude du comportement du système de correction de portée asservi.

Pour remédier à ce problème, le système est asservi en position angulaire à l’aide :

 d’un capteur de position, de gain K_pos, qui mesure l‘angle ( )t ,

 d‘un amplificateur de gain pur A.

Question 12 :

Déterminer la nouvelle fonction de transfert ( ) ( ) p B p

 ainsi que ses paramètres caractéristiques.

Question 13 :

Expliquer en deux lignes pourquoi le problème a été remédié.

Question 14 :

A partir de la courbe ci-contre, déterminer la valeur A K. _pos permettant d’obtenir le système le plus rapide. En déduire le temps de réponse à 5 % dans ce cas.

pos