Automatique
Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système
(formes canoniques de la représentation d'état)
UV Automatique
ASI 3
Cours 10
Contenu
! Introduction
! Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Passage modèle d'état " fonction de transfert
# Cas d'un système monovariable
# Cas d'un système multivariable
! Passage fonction de transfert " modèle d'état
# Forme canonique de commandabilité
# Forme canonique d'observabilité
# Forme modale
Automatique
Introduction
!
Exemple : système mécanique (masse en translation)
!
Equation différentielle ! FT
!
Représentation d'état
Etats du système m F
z
Fr=f z
.
Entrée : u(t) = FSortie : y(t) = z(t)
γr
r m
F =
∑
F = mz&&+ fz&) (
1 )
( ) ) (
( F s s ms f
s s Z
H = = +
) ( )
1(t z t
x = x2(t) = z&(t)
) 1 ( ) ( )
( )
( 2
1 t z t x t
x& = & = z f z m
F = &&+ & F = mx&2(t)+ fx2(t) )
2 ( ) ( )
( 2
2 x t
m f m t F
x& = −
[ ]
=
+
= −
) (
) 0 (
1 ) (
1 0 )
( ) ( 0
1 0 )
( ) (
2 1
2 1 2
1
t x
t t x
y
F t m
x t x m t f
x t x
&
&
(Système d'ordre 2)
! Remarques
$
De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT$
De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'étatQuestion : Peut-on passer de la FT à la
représentation d'état et inversement ?
Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Descriptions d'un système
# Equation différentielle
# Réponse impulsionnelle
# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)
# Représentations d'état (A, B, C, D)
! Liens entre les descriptions
Fonction de transfert H(s)
Représentation d’état Réponse impulsionnelle
h(t) Equation
différentielle
u b u b y a y a
y&&+ 1&+ 0 = 1&+ 0
Automatique
Passage représentation d'état " " " " FT (MT)
! Forme générale
#
TL de l'équation d'état
#
TL de l'équation de sortie
Fonction de transfert ou matrice de transfert
+
=
+
=
) ( )
( )
(
) ( )
(
t DU t
CX t
Y
t BU t
AX X&
Conditions initiales supposées nulles : X(0) = 0
(
X&(t) = AX(t)+ BU(t))
L sX(s) = AX(s)+ BU(s)
( ) ( )
)
( s sI A
1BU s
X =
n−
− identité d'ordre nIn : matricen
A∈Rn× m
B ∈Rn×
n
C ∈Rp× m
D∈Rp×
t
nX ( ) ∈ R t
mU ( ) ∈ R
t pY( )∈R
( Y ( t ) = CX ( t ) + DU ( t ) )
L
Y(s) = CX (s)+ DU(s)( )
( )
( ))
(s C sI A 1B D U s
Y = n − − +
(
sI A)
B DC s
H( ) = n − −1 +
Passage représentation d'état " " " " FT (MT)
! Remarques
#
Calcul de l'inverse de (sI
n− A)
#
Nouvelle écriture de H(s)
(
sI A)
B DC s
H( ) = n − −1 +
) det(
)) (
) (
( 1
A sI
A sI
A com sI
n n T
n − − = −−
) (sI A com
M = n −
matrice des cofacteurs
] [mi,j
M = avec mi,j = (−1)i+ j detMi,j
Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne
A D sI
B A
sI com s C
H
n
n −− T +
= det( )
)) (
) (
( det( )
) det(
)) (
) (
( sI A
D A sI
B A
sI com s C
H
n T n
n − −+ −
=
Les pôles du système sont les racines de l'équation det(sIn − A) = 0
Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique det(
λ
In − A) =0Les pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute
l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
Automatique
Passage représentation d'état " " " " FT (MT)
!
Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie
Ru(t) i(t)
c Vc(t)
L Entrée : u(t)
Sortie : y(t) =Vc(t)
=
+
−
= −
X y
u L X
L R L
c X
] 0 1 [
1 0 1
1
& 0
Etats du système )
( )
1(t V t
x = c x2(t) =i(t)
c t i t T
V t
X ( ) =[ ( ) ( )] Modèle d'état
(voir cours 8)
Fonction de transfert
−
− −
=
−
L R L
c s
A sI
1
1 0
1 0
0 1
2
+
= −
−
L R s L
c s
A sI
1
1
2 det(sI2 − A) = s(s+R L)+1 Lc
Lc Rcs s
A Lc
sI 1
) det(
2
2 − = + +
+ −
=
−
s c
L L
R s A
sI com
1
1 )
( 2
−+
=
− L s L
c L R B s
A sI
com
C T
/ 1
0 1
] 1 0 1 [ ))
(
( 2
B Lc A
sI com
C T 1
)) (
( 2 − =
) det(
)) (
) ( (
2 2
A sI
B A sI
com s C
H
T
−−
= 1
) 1
( = 2 + +
Rcs s
s Lc H
Passage représentation d'état " " " " FT (MT)
! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie
= −
− + −
−
−
= −
X Y
U X
X
2 1
0 1
1 2
3 0 1
1
2
& 3 avec
=
) (
) ( )
(
2 1
t x
t x t
X
=
) (
) ( )
(
2 1
t u
t u t
U
=
) (
) ( )
(
2 1
t y
t y t
Y
−
−
− −
=
−
1 1
2 3 1
0 0 1
2 A s
sI
+
−
= +
−
1 1
2 3
2 s
s A sI
Calcul de la matrice de transfert
+
−
= +
−
3 2
1 1 )
( 2
s s
A sI
com
5 4 )
det(sI2 − A = s2 + s+
−
−
+ −+
= −
− 2 1
3 0 3 1
2 1 2
1 0 )) 1
(
( 2
s B s
A sI
com
C T
−
−
−+ − − +
=
− 2 1
3 0 ) 4 ( 2 1
2 )) 1
(
( 2
s s
B s A sI
com
C T
+
+ +
=
− 4( 4) 5( 1) 5 3 )) 4
(
( 2
s s
B s A sI
com
C T
Automatique
Passage représentation d'état " " " " FT (MT) : exemple 2
! Exemple 2 (suite)
) det(
)) (
) ( (
2 2
A sI
B A sI
com s C
H
T
−−
=
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
= +
5 4
) 1 ( 5 5
4 ) 4 ( 4
5 4
5 3 5
4 4 )
(
2 2
2 2
s s
s s
s s
s s
s s
s s H
Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.
Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple
=
) ( )
(
) ( )
( )
(
22 21
12 11
s H s
H
s H s
H s
H ( )
) ) (
(
1
11 U1 s
s s Y
H = ( )
) ) (
(
2
12 U1 s
s s Y
H =
) (
) ) (
(
1
21 U2 s
s s Y
H = ( )
) ) (
(
2 22 U2 s
s s Y
H =
=
=
) (
) ( ) ( )
( ) ( )
(
2 1
2 1
s U
s U s H s
Y s Y s
Y
) ( ) ( )
( ) ( )
( 11 1 12 2
1 s H s U s H s U s
Y = +
) ( ) ( )
( ) ( )
( 21 1 22 2
2 s H s U s H s U s
Y = +
Passage représentation d'état " " " " FT (MT)
! Remarques
#
Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le quadruplet (A, B, C, D)
#
Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie est appelée une réalisation de H(s)
#
Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A) = n est une réalisation
minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n
#
Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros)
(
sI A)
B DC s
H( ) = n − −1 +
Automatique
Passage FT " " " " représentation d'état
! Position du problème
! Forme canonique de commandabilité
#
Cas simple : m = 0 et b
0=1
A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation
n a m
s a s
a s
b s b s
b s
b s
U s s Y
H n
n n
m m
m m <
+ +
+ +
+ +
+
= +
= −
−
− − ,
) (
) ) (
(
0 1 1
1
0 1 1
1
L
L
?
) , , ,
(A B C D
On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après
0 1
1 )
( ) ) (
( U s s a s a
s s Y
H = = n + + +
L ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ) ( )
1s 1Y s a sY s a Y s U s
a s Y
sn + n− n− +L+ + =
) ( ) ( )
( )
( )
( 1 ( 1) 1 (1) 0
)
( t a y t a y t a y t u t
y n + n− n− +L+ + =
Equation différentielle
) ( ) ( )
( )
( )
( 1 ( 1) 1 (1) 0
)
( t a y t a y t a y t u t
y n = − n− n− −L− − +
Passage FT " " " " représentation d'état
!
Forme canonique de commandabilité : cas simple
Posons
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) (
) 1 (
) 2 1 (
) 1 2 (
1
t y
t x
t y
t x
t y t
x
t y t
x
n n n n
−
− −
=
=
=
=
M
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) (
) 1 1 (
) 2 2 (
) 1 1 (
t y t
x
t y
t x
t y t
x
t y t
x
n n n n
=
=
=
=
− −
&
&
M
&
&
Dérivation Equations d'état
) ( ) ( )
( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
1 2
1 1
0 1
3 2
2 1
t u t x a t
x a t x a t
x
t x t x
t x t x
t x t x
n n n
n n
+
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
& L
&
M
&
&
Forme canonique de commandabilité
) ( 1 0 0 0
1 0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
1 2 1
1 2
1 0
1 2 1
t u x
x x
x
a a
a x a
x x
x
n n n
n n
n
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
M M L
L
O O
M OO M
M L LL
&
& M
&
&
[ ]
=
− n n
x x
x x t
y
1 2 1
0 0 0
1 )
( L M
Remarques
$
Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase$
A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandableAutomatique
Passage FT " " " " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité
#
cas simple : schéma de simulation
#
Cas général : m < n et b
0≠0
u x a x
a x a
x&n = − 0 1− 1 2 −L− n−1 n + x&n xn xn−1
−1
an
+ +
u +
−2
an
+ +
−3
an
+ +
−2
xn
a1
+ +
x2 x1
a0
y
− ∫ ∫ ∫ ∫
1 , , 2 pour
) ( )
(t = x +1 t i = n−
x&i i L xi(t) =
∫
xi+1(t)0 1 1
1
0 1 1
1
) (
) ) (
( s a s a s a
b s b s
b s
b s
U s s Y
H n
n n
m m m m
+ +
+ +
+ +
+
= +
= −
−
− −
L L
Soit v une variable
intermédiaire telle que ) (
) ( ) (
) ) (
( U s
s V s V
s s Y
H =
0 1
1 )
( ) (
a s a s s
U s V
n + + +
= L
0 1 1
) 1
( )
( b s b s b s b
s V
s
Y m
m m
m + + + +
= − − L
(I)
(II)
Passage FT " " " " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
$ Equation (I)
Elle correspond au cas précédent
) 1 (
) 2 1 (
) 1 2 (
1
−
− −
=
=
=
=
n n n n
v x
v x
v x
v x
M
u x
a x
x x
x x
x x
n
i i i n
n n
+
−
=
=
=
=
∑
=− +−
1
0 1
1 3 2
2 1
&
&
M
&
&
$ Equation (II)
0 1 1
) 1
( )
( b s b s b s b
s V
s
Y m
m m
m + + + +
= − − L
) ( ) (
)
(s b s b1s b0 V s
Y = m m +L+ +
) ( )
( )
( )
(t b v( ) t b1v(1) t b0v t
y = m m +L+ +
) ( )
( )
( )
(t b x 1 t b1x2 t b0x1 t y = m m+ +L+ +
Représentation d'état
) ( 1 0 0 0
1 0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
1 2 1
1 2
1 0
1 2 1
t u x
x x
x
a a
a x a
x x
x
n n n
n n
n
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
M M L
L
O O
M OO M
M L LL
&
& M
&
&
[ ]
=
+ +
n m
m m
x x
x x
x
b b
b t
y
M L M
L
2 1 2 1
1
0 0 0
) (
Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les
Automatique
Passage FT " " " " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
u x a x
a x a
x&n = − 0 1− 1 2 −L− n−1 n + 1 ,
, 2 pour
1 = −
= x + i n
x&i i L xi =
∫
xi+11 0 2 1
1 b x b x
x b
y = m m+ +L+ +
x&n xn xn−1
−1
an
+ +
u +
−2
an
+ +
−3
an
+ +
−2
xn
+ +
y
−
b0
+
b1
+
bm
+
xm+1
+ +
a0 a1
x2
∫ ∫ ∫ ∫ x1
Schéma de simulation
Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés
Passage FT " " " " représentation d'état
! Forme canonique d'observabilité
n a m
s a s
a s
b s b s
b s
U s s Y
H n
n n
m m <
+ +
+ +
+ +
= +
= −
−
) , (
) ) (
(
0 1 1
1
0 1
L L
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(s a 1s 1Y s a1sY s a0Y s b0U s b1sU s b s U s Y
sn + n− n− +L+ + = + +L+ m m
) ( )
(
)) ( )
( (
)) ( )
( ( )) ( )
( (
) (
1 1 1 1
1 1
0 0
s Y s a s
Y s
a
s Y a s U b s s
Y a s U b s s
Y a s U b s
Y s
n n m m
m m m
n
− −
+ + − −
−
− +
+
− +
−
=
L
L
Divisons cette équation par sn
s s Y a s
s Y a s
s Y a s U b s
s Y a s U b s
s Y a s U s b
Y n
m n m m
n m m
n n
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
) (
( 1
1 1 1
1 1
0
0 −
− +−
−
− + + − − − −
+ −
= − L L
Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
